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(고1-1학기기말)이등변삼각형의 각의 이등분선은 수직이등분선이기도 하다-숙명여고2022 [내부링크]

이등변삼각형이라는 단서만 보고 AB=AC를 이용하려 하면 풀이과정이 길어진다. 1. 직선 l과 직선 m의 교점 A를 구한다. 2. 직선 l과 직선 n의 교점 B를 구한다. 3. 직선 m과 직선 n의 교점 C을 구한다. 4. AB=AC를 이용하여 기울기 m을 구한다. 이것보다는 A의 내각의 이등분선이 직선 n과 수직이라는 것을 이용하는 것이 간단하다. 먼저 자취를 이용하여 각의 이등분선을 구해보자. 두 개의 각의 이등분선이 구해진다. 위 그림에서 노란색 각의 이등분선은 기울기가 음수이다. 두 개의 각의 이등분선 중에서 기울기가 음수인 것을 선택한다. 킬러 문제까지는 아니지만 빌드업을 어떻게 하는가에 따라서 풀이의 복잡성과 시간이 달라진다. 접근 가능한 몇 가지 방법 중에서 어떤 선택을 할지는 운의 요소를 배제할 수 없다. 여러 가지를 시도하기에는 시간이 없기 때문이다. 행운을 빈다. #이등변삼각형 #각의이등분선 #수직이등분선 #두직선이수직일때 #직선의방정식

(고1-1학기기말)도형의방정식-합답형 문제 모음1 [내부링크]

합답형 문제는 사실상 3개의 문제를 푸는 것과 마찬가지이기 때문에 빠르게 풀 자신이 없으면 나중에 풀어야 합니다. 가장 많이 출제되는 합당형 문제 3개를 소개합니다. #도형의방정식 #합답형 #아폴로니우의원 #점과직선사이의거리최댓값

(고1-1학기기말)독특한 자취의 방정식 문제 [내부링크]

아래와 같이 좌표 없이 정사각형이나 정삼각형이 주어지면 꼭짓점을 반드시 좌표평면에 나타내야 합니다. P를 (x,y)라고 놓고 주어진 식에 대입하기만 하면 답은 쉽게 구해집니다. #자취의방정식 #점P의자취구하기

(고1-1학기기말)세일고2022년-참신한 문제들 모음 [내부링크]

#삼각형의넓이같을때 #내심구하는법 #삼각형을3등분하는경우 #직선이원과서로다른두점에서만나는경우

(고1-2학기중간)산술기하평균의 모든것 [내부링크]

양수인 두 수의 산술평균이 기하평균보다 항상 크거나 같다, 첫번째 증명 방식은 도형을 이용한 것이다. 아래 그림에서 산술평균은 언제나 반지름의 길이와 같고 루트ab는 반지름의 길이보다 작거나 같을 수밖에 없다. 두번째 증명방식은 대수적인 것이다. 양변을 제곱하여 빼면 항상 0보다 크거나 같다는 것을 증명할 수 있다. 산술기하평균은 최솟값을 구하는 스페셜리스트이다. 역수 관계로 만들 수 있는 두 수 역시 산술기하평균의 대상이다. 언제 등호가 성립하는지 구할 수 있어야 한다. 주어진 식을 전개하면 역수 관계가 나타나기도 한다. 위의 문제의 일부만을 보여주면 산술기하평균으로 보이지 않는다. 이 정도의 변형은 외워 두어야 한다. 실제 문제는 더 어렵게 출제된다. 인명여고2021 http://m.yes24.com/Goods/Detail/61385309 고1 수학 총정리 한권으로 끝내기 - YES24 고등 1학년 수학의 모든 것 ‘한권으로 완전정복’개념공식과 필수문제를 완벽 정리한 고1 수학

(고1-2학기중간)대칭차집합(feat.차집합) [내부링크]

차집합의 '-'는 빼기를 뜻하는 것이 아니라 비슷한 의미의 기호를 차용한 것으로 생각하면 된다. 차집합의 정의는 아래와 같다. A-B의 원소는 집합A에는 속하지만 집합B에는 속하지 않는 원소를 뜻한다. A, B의 관계에 따라서 아래와 같이 나타낼 수 있다. (1) A와 B의 교집합이 공집합일 때 (2) A와 B의 교집합이 존재할 때 (3) A가 B를 포함할 때 (4) B가 A를 포함할 때. 대칭차집합을 알아보자. 세모는 그리스어로 델타를 의미하고 영어의 알파벳 'd'에 해당한다. 차이를 뜻하는 difference의 머릿글자이다. 대칭차집합의 정의는 아래와 같다. 집합으로 표현하면 아래와 같다. 아래와 같이 변신할 수 있다. 아래와 같은 문제가 자주 출제된다. 이런 뜻이다. 벤 다이어그램을 이용하면 좋다. #차집합 #대칭차집합

(고1수학-1학기기말)인천국제고2021기출-원점에서 직선까지의 거리의 최댓값+두직선이수직+넓이의비와내분점 연계 [내부링크]

인천국제고2021 원점에서 (2,-4)를 지나는 직선까지의 거리가 최대가 되려면 아래와 같이 수직이어야 한다. 두 직선의 수직 조건인 m1*m2=-1을 이용해서 m2를 구한다. 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다. #인천국제고 #고1 #1학기기말 #원점에서직선까지의거리 #두직선이수직 #삼각형의넓이의비와내분

(고1-1학기기말)원의 접선의 방정식의 모든 것 [내부링크]

1. 원 위의 한 점에서의 접선의 방정식 : m1m2=-1로 푼다. * x1x+y1y=r^2이라는 공식을 써도 되지만, 이 공식은 원의 중심이 원점일 때만 사용할 수 있기 때문에 위에서 설명한 방식을 알고 있어야 원의 중심이 원점이 아닐 때도 사용할 수 있다. 2. 기울기가 주어진 접선의 방정식 : d=r로 푼다 3. 원 밖의 한 점에서의 접선의 방정식 : y=m(x-a)+b와 d=r로 푼다. 3-1. 접선이라는 말이 없어도 그려보면 접선이다. 3-2. 역시 그려보면 접선 문제다. 3-3. y축과 평행한 직선은 기울기가 없기 때문에 식으로 구해지지 않는다. 그래서 접선 문제는 반드시 그려봐야 한다. 4. 두 원에 동시에 접하는 접선은 닮음을 이용할 수 있는지 살펴봐야 한다. 5. 복잡한 도형 문제는 일단 그림을 그려보면 무슨 말인지 이해할 수 있다. 6. 같은 공식에 두 가지 의미가 있다는 것을 기억하자. http://m.yes24.com/Goods/Detail/61385309 고1

(고1-1학기기말)2021년9월 모의고사-원의 방정식 문제 [내부링크]

2021년 9월 모의고사 문제 중에 도형의 방정식 문제가 올해 1학기 기말시험에 출제되는 경우가 많다. 1. 현의 길이가 같으면 원의 중심에서 현까지의 거리가 같다. 2. x축에 접하는 원의 방정식 3. 원의 중심에서 현의 방정식까지 거리 구하기 1. 원이 원점을 지난다. 2. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. #2021년9월모의고사 #원의방정식 #고1 #1학기기말시험

(고1-1학기기말)신명여고2022기출-등변사다리꼴의 넓이를 이등분하는 문제 [내부링크]

보통은 삼각형 넓이를 이등분하는 문제가 출제되는데 독특하게 등변사다리꼴의 넓이를 이등분하는 문제가 출제되어서 소개한다. 신명여고2022 사다리꼴의 넓이를 이등분하는 조건은 아래와 같다. 윗변의 길이가 2와 3이므로 아래변의 길이도 1차이가 나야 한다. 아래변의 길이가 10이므로 5.5와 4.5로 자르면 1차이가 난다. 점P와 Q를 아래와 같이 체계적으로 구한다. PQ를 지나는 직선의 기울기를 구한다. #고1 #1학기기말 #등변사다리꼴 #넓이를이등분 #내분과외분 #직선의기울기 #도형의방정식 #삼각형넓이이등분과유사

(고1-1학기기말)수직이등분선의 활용-수직이등분선을 구하는 문제인지 몰라서 틀리는 유형 [내부링크]

수직이등분선을 구할 수 있지만 수직이등분선을 구해야 하는 문제인지 모를 때가 있다. 아래의 문제는 수직이등분선을 구하면 별 어려움없이 해결할 수 있는 문제들이다. 1. 도형을 접으면 수직이등분선이 만들어진다 잠일고2021기출 직선DE는 선분AA'의 수직이등분선이다. 2. 삼각형ABC가 정삼각형일 때, 꼭짓점 C는 선분AB의 수직이등분선 위에 있다.(C가 꼭지각인 이등변삼각형ABC의 경우도 마찬가지이다.) 대인고2021기출 선분AB의 수직이등분선을 구하면 a와 b의 관계식을 얻어진다. 즉, b를 a의 식으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 이제 변BC의 길이가 루트20이라는 것을 이용하면 a값을 구할 수 있다. 3. PA=PB와 같은 단서가 주어지면 수직이등분선을 떠올려야 한다. 중동고2021기출 선분AB이 수직이등분선과 이차함수의 교점을 구하는 문제이다. 이 문제는 교점의 x좌표의 곱이므로 근과 계수와의 관계를 이용할 듯하다. #고1 #직선의방정식 #수직이등분선 #1학기기말시험

(고1-1학기기말)부정방정식 활용 모음-미추홀외고2022기출 [내부링크]

1. 부정방정식 문제는 xy-x-y-1=0과 같이 xy의 계수가 1인 경우가 대부분이다. 그런데 이 문제는 xy의 계수가 2이다. 어떻게 하면 될까? 미추홀외고2022기출 양변에 2를 곱하면 4xy가 되어 아래와 같이 2x와 2y로 분리할 수 있다. x,y가 자연수이므로 2x-5와 2y-5 모두 -3보다 크거나 같아야 한다는 점에 주의해야 한다. 2. 사실 부정방정식 문제에서 가장 많이 출제되는 활용 문제는 아래와 같다. 근과 계수와의 관계를 이용하여 풀면 된다. 만일 두 근의 곱이 2m+1이고 두 근의 합이 m이라면 두 근의 합 등식의 양변에 2를 곱하여 2m을 만들어서 빼야 한다. 3. 최근에는 이런 형태의 부정방정식이 4쌍의 해를 갖는다는 것을 이용하여 좌표평면과 연결하여 사각형의 대각선의 교점을 구하는 문제가 자주 출제된다. 부정방정식의 해를 구하는 방법으로 x,y의 값을 구한다. 네 쌍의 해를 순서쌍으로 하는 평면좌표를 좌표축에 찍어서 대각선의 방정식을 각각 구하여 교점을

(고1-1학기기말)절댓값 부등식3. 미추홀외고2022기출 [내부링크]

1. 아래의 유형은 보통 연립되어 있지 않고 단독으로 문제가 출제된다. 물론 똑같은 풀이를 두 번해도 되지만, 중요한 것은 시간이다. 일단 원래대로 풀어보자. 미추홀외고2022 오른쪽 부등식을 먼저 풀어보자. 벽을 2개 올리면 3개의 구간이 만들어진다. 왼쪽 부등식을 풀어보자. 위의 두 부등식을 연립하자. 2. 문제는 위와 같이 풀 시간이 있는가 하는 것이다. 아래와 같이 x값에 0부터 양의 정수를 대입해가면서 조건을 만족하는지 살펴본 다음 음의 정수를 대입해가면서 조건을 만족하는지 살펴보는 것도 한 방법이다. 3. 자연수나 정수 조건의 경우 대입해서 문제를 해결하는 것도 좋은 방법이다. #절댓값부등식 #절댓값연립부등식 #고1 #1학기기말시험 #미추홀외고

(고1-1학기기말)원과 비례를 이용한 원의방정식 문제-연수고2022기출 [내부링크]

중학교 때 배운 원과 비례를 이용한 원의 방정식 문제다. 원과 비례를 떠올리지 못하면 풀기 어려운 문제다. 연수고2022 아래의 등식이 성립한다. 원과 비례를 사용하기 위해서 A와 원점을 잇는 직선을 그린다. 선분 PQ의 길이가 8이라는 것을 이용해서 원의 중심과 현까지의 거리가 5라는 것을 구할 수 있다. 이제 원의 중심인 원점과 직선 l 까지의 거리가 5라는 것을 이용하여 기울기를 구하면 된다. #원의방정식 #원과비례 #현의길이 #원의중심과직선사이의거리

(고1-1학기기말)정사각형의 넓이를 6등분할 때-직선의 방정식 개념 연계 문제 [내부링크]

대건고2022 먼저 직선 m과 n의 y절편을 D(0,b), E(0,c)라고 놓는 것으로부터 시작하자. 정사각형의 넓이인 324를 6으로 나누면 한 조각의 넓이가 54가 된다. 삼각형PDE의 높이가 9이므로 변DE의 길이도 구할 수 있다. 사각형OQPD의 넓이는 두 개의 삼각형으로 쪼개서 구할 수 있다. 두 삼각형 모두 높이가 9라는 것을 이용해야 한다. 직선 m와 n의 기울기의 합이 주어졌으므로 식을 한 개 더 만들 수 있다. 문자 3개에 식 3개이므로 a, b, c의 값을 모두 구할 수 있다. #정사각형의넓이를6등분할때 #직선의기울기 #삼각형의넓이

(고1-1학기기말)자취의 방정식의 모든 것 [내부링크]

1. 자취란? 점을 수로 나타낼 수 있다면, 선은 방정식으로 나타낼 수 있다. - 데카르트 왜냐하면, 선은 공통의 규칙을 가진 점의 모임이기 때문이다. 예를 들어, 선분AB의 수직이등분선은 A까지의 거리와 B까지의 거리가 같은 점의 자취이다. 즉, PA=PB를 만족하는 점 P의 자취의 방정식이 선분AB의 수직이등분선이 된다는 뜻이다. 이제 양변을 제곱해서 정리하면 직선의 방정식이 구해지는데 이것이 바로 수직이등분선의 정체이다. 수직이등분선을 구하기 위해서 중점을 구하거나 수직인 직선의 기울기를 구할 필요가 없었다는 뜻이다. 도형의 방정식은 원래 거리와 각만을 이용해서 구할 수 있다. 아래와 같이 중점과 기울기를 구하는 방식은 직선의 방정식을 구하기 위해서 '함수'개념을 도입한 것이다. 물론 이 방식이 계산에 유리하다. 두 직선 l, m이 이루는 각의 이등분선의 방정식 또한 자취의 개념으로 구할 수 있다. 각의 이등분선 위의 모든 점은 직선 l까지의 거리와 직선 m까지의 거리가 같기

(고1-1학기기말)세일고2021기출-Output Image해설-출제가능성높은문제체크 [내부링크]

민트색 박스는 출제 가능성 높은 트렌디한 문제임. 10. 두 원 중에 한 원과는 만나고 다른 원과는 만나지 않을 때 11. 삼차방정식의 근의 조건 : 보통은 중근 가질 조건이 많이 출제되나 최근에는 조건이 좀 더 추가되었다. 12. 부정방정식과 도형의 방정식을 연계했다. 14. 연립이차부등식의 해가 문자로 구해지는 경우에는 k가 양수일 때, 0일때, 음수일 때로 나눠 풀어야 한다. 15. 각의 이등분선과 아폴로니우의 원을 연계했다. 16. x=3이라는 직선은 방정식에서 구해지지 않는다. 18. 닮음으로 풀면 빠르다. 20. 원주각이 주어지면 중심각을 구해서 원을 그리면 된다. 위 문제의 경우 원(정확히는 부채꼴)이 두 개 구해진다. #삼차방정식의근의조건 #부정방정식 #각의이등분선 #아폴로니우스의원 #두원에모두접하는직선 #원주각과원의방정식

(고1-1학기기말)절댓값 부등식1. 절댓값이 여러 개 있을때 [내부링크]

절댓값은 거리 개념이다. 수직선 위의 두 점A(a)와 B(b) 사이의 거리를 구하라고 할 때 a와 b 중에 어떤 값이 큰지 알 수 없으므로 아래와 같이 절댓값을 사용해서 두 점 사이의 거리를 나타낼 수 있다. a와 b 중에 누가 큰 지를 가정하면 아래와 같이 절댓값을 풀 수 있다. 따라서 절댓값x는 아래와 같이 수직선 위에서 0과의 거리를 의미한다. 이제 절댓값이 부등식에서 사용될 때를 살펴보자. 아래와 같이 절댓값x가 2보다 작거나 같다는 것은 원점에서 x까지의 거리가 2이하라는 뜻이다. 절댓값x가 1보다 크거나 같다는 것은 원점에서 x까지의 거리가 1이상이라는 뜻이므로 x값이 원점을 중심으로 양쪽에 그려진다. 절댓값(x-1)이 2이하라는 것은 수직선에서 1과 x까지의 거리가 2이하라는 뜻이다. 계산할 때는 (x-1)과 원점 사이의 거리가 2이하라고 것을 사용하면 된다. 마찬가지로 절댓값(x-1)이 1이상이라는 것은 수직선에서 1과 x까지의 거리가 1이상이라는 것을 의미한다. 물론

(고1-1학기기말)선분의 내분점과 외분점-삼각형의 넓이비와 같다. [내부링크]

부개여고2021기출 선분AB를 m:n으로 내분하거나 외분하는 점을 P라고 할 때, 삼각형OAP 대 삼각형OBP도 m:n이다. 역으로 삼각형 OAP 대 삼각형 OBP가 m:n이면 P는 선분 AB를 m:n으로 내분하거나 외분한다. 내분점이나 외분점을 구하는 방식보다 면적을 이용한 방식이 편리할 때가 많다. 높이가 같은 두 삼각형은 밑변의 길이가 비가 곧 넓이의 비이다. 한 문제 더 풀어보자. 송도고2021기출 #내분점 #외분점 #외분점과내분점과면적 #삼각형의면적을이용하여내분점과외분점구하기

(고1-1학기기말)절댓값 부등식2. 계수가 문자일때는 거꾸로 풀기 [내부링크]

부등식 문제에 문자의 개수가 여러 개일 때는 수식으로 풀기 까다롭다. 이때는 거꾸로 푸는 것이 효과적이다. 결과에서부터 문제까지 거슬러 올라가는 것이다. 이렇게 풀기 위해서는 문자가 아니라 숫자로 주어진 부등식의 해법을 완전히 이해하고 있어야 한다. 하나 더 풀어보자. 아래와 같이 절댓값이 병렬로 있는 문제도 결론에서부터 거꾸로 풀면 빠르게 답을 구할 수 있다. 만수고2021기출 이런 유형의 부등식의 해는 아래와 같이 x=-1의 왼쪽, x=1의 오른쪽이 대칭을 이룬다. 즉, b=-2이면 b+4=2가 되어 정확히 대칭이 된다. 2에서 -1까지의 거리는 3이고 1까지의 거리는 1이므로 둘의 거리의 합인 4가 a값이다. #절댓값 #부등식 #고1 #1학기기말

(고1-1학기기말)2022년 6월 모의고사-기말시험에 나올 가능성 높은 문제 선정 [내부링크]

매년 6웚 모의고사 문제 중에 고차방정식과 이차부등식 문제가 기말시험에 자주 출제된다. 똑같이 출제되기도 하고 톤다운(쉽게변형)해서 출제되기도 한다. 출제가능성이 높은 문제를 선정해보았다. 판별식에서 구해진 k에 대한 이차부등식도 x에 대한 이차부등식처럼 풀면 된다. (가)조건에서 a값이 음수이기 때문에 뒤에서 a값이 양수와 음수 두 개 나올 것이라고 예측했으나 a=-1만 구해져서 a값이 음수라는 조건을 쓸 필요가 없어졌음. 하지마 시험에는 a값이 두 개 나올 수 있음. 계산하지 않고 풀어야 한다. 시험에 나올 가능성 99%이다. 복이차방정식 문제는 최근 트렌드이다. 역시 시험에 나올 가능성 99%이다. 연립이차부등식의 정수해는 반드시 나온다. #2022년6월모의고사 #고1수학 #1학기기말고사 #이차부등식 #복이차방정식 #네실근을가질때 #이차연립부등식 #정수해 #세꼭짓점까지거리제곱의최솟값 #무게중심

(고1-1학기기말)백석고2021킬러B-수직이등분선과 각의이등분선의 연계 [내부링크]

인천백석고2021기출 각의 이등분선을 구한다. 이등변삼각형의 수선은 각의 이등분선이기도 하다. x절편과 교점을 구하여 삼각형의 넓이를 구한다. #수직이등분선 #각의이등분선 #이등변삼각형

(고1-1학기기말)일차식과 이차식의 연립부등식이 항상 성립할 때-그래프로 풀기 [내부링크]

동산고2021기출 아래와 같이 그래프를 먼저 그리면 문제를 이해하는데 크게 도움이 된다. 하나 더 풀어보자 인제고2021기출 역시 아래와 같이 그리면 이해가 쉽다. 직선은 평행하거나 일치하지 않으면 반드시 한점에서 만나게 되기 때문에 어떤 직선이 다른 직선보다 항상 위에 있으려면 평행해야 한다. #연립부등식 #이차연립부등식 #고1 #1학기기말고사 #부등식이항상성립할때 #동산고등학교 #인제고등학교

(고1-1학기기말)중산고2021-Output Image 해설 [내부링크]

기출분석/16번까지는 무난하다. 20분 안에 해결해야 한다. 17번은 그림 잘 그려야 한다. 18번은 문자가 5보다 클 수도 작을 수도 있다는 데 주의해야 한다. 19번은 두 직선이 수직으로 만나는 것을 발견 못하면 계산 시간이 길어진다. 20번은 점 P, Q 가 선분 AB를 지름으로 하는 원 위에 있다는 걸 알아야 풀 수 있다. 첨부파일 인천중산고등학교＿1학년＿2021＿1학기기말＿수학（상）＿공통＿문제.pdf 파일 다운로드 #고1 #1학기기말 #중산고 #도형의방정식 #원의방정식

도형의 방정식에서 눈치껏 찾아야 하는 단서들 [내부링크]

두 직선이 수직으로 만나려면 기울기의 곱이 -1이면 된다. 이른바 m1 곱하기 m2는 -1이다. 그래서 기울기가 -1인 직선과 수직인 직선의 기울기는 1이다. 문제가 이렇게 직접적으로 출제되지 않는 것이 진짜 문제다. 예를 들어, 2x+y+1=0과 x-2y+2=0라는 두 직선이 주어졌을 때, 여러분은 두 직선이 수직으로 만난다는 것을 눈치채야 한다. 수직인지 아닌지 물어보지 않아도 말이다. 만일 이 두 직선의 교점과 두 직선 각각의 x절편으로 이루어진 삼각형의 외심을 구하라는 문제였다면, 이 두 직선이 수직으로 만나는 것을 눈치채는 순간 게임 끝이다. 두 x절편의 중점이 바로 외심이기 때문이다. 직각삼각형의 외심이 빗변의 중심에 위치하는 것은 기억하겠지. 물론 이 문제는 세 점을 모두 구해서 외심 (a,b)에서 세 점까지의 거리가 모두 같다는 것을 이용할 수도 있지만, 이 방법은 최소한 3분 이상의 시간이 소요된다. 10초와 3분. 시간이 오래 걸릴 뿐만 아니라 계산이 많아지면 그만

(고1-1학기기말)파푸스의 중선정리 총정리-두 개의 변수를 한 개의 변수로 만들어주는 도구 [내부링크]

- 아폴로니우스의 중선정리라고도 한다. 좌표축에서 점과 점 사이의 거리만으로 쉽게 증명할 수 있다.(M을 원점으로 놓고 B와 C를 x축에 놓으면 된다) 이런 모양을 주고 특정 변의 길이를 구하거나 빈칸에 숫자를 넣으라고 하면 파푸스의 중선정리를 이용하면 된다. D와 E는 BC의 삼등분점이다. 이런 모양이 나와도 파푸스의 중선정리를 이용하면 된다. D는 변BC의 중점이고 E는 변DC의 중점이다. E가 BC를 3:1로 내분한다는 단서가 주어지기도 한다. 파푸스의 중선정리는 두 개 변수를 한 개의 변수와 한 개의 상수로 만들어주는 마법같은 도구이다. 위에서도 AM이 상수이므로 PM이나 QM의 길이의 최솟값만 찾으면 된다. 역시 파푸스의 중선정리를 이용하여 두 개의 변수를 하나의 변수와 하나의 상수로 바꿔서 원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최솟값을 구하는 문제로 변형했다. 무게중심과 파푸스 중선정리의 콤비네이션 문제이다. http://m.yes24.com/Goods/Detail

(고1-1학기기말)아폴로니우스의 원-각의 이등분선 정리 연계 [내부링크]

두 점까지의 거리의 비가 2:1인 점 P의 위치를 구해보자. 만일 점 P가 수직선 위의 점이라면 아래와 같이 두 개가 존재한다. 선분 안쪽에 하나(내분점), 선분 바깥쪽에 하나(외분점). P가 좌표평면 위의 점이라면 P의 자취는 원이 된다. 위에서 구한 내분점과 외분점을 지름으로 하는 원. 삼각형ABP의 넓이가 최대가 되려면 원 위의 점P가 아래와 같이 선분AB와 평행하면서 선분AB에서 가장 멀리 떨어진 곳에 위치해야 한다. 즉, 높이가 반지름일 때 삼각형ABP의 넓이는 최대가 된다. 아폴로니우스의 원이 각의 이등분선 정리와 만나면 킬러 문제가 된다. 아래의 그림처럼 각APB의 이등분선이 P1을 지나도록 하면 각의 이등분선 정리에 의해서 PA : PB가 2:1이 되어 아폴로니우스의 정리와 같아진다. 즉, 선분AB를 2:1로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름으로 하는 원이 된다. http://m.yes24.com/Goods/Detail/61385309 고1 수학 총정리 한권으로 끝내기

(고1-1학기기말)각의 이등분선-내각의 이등분선과 외각의 이등분선의 방정식 구하기 [내부링크]

내각의 이등분선의 정리와 외각의 이등분선의 정리의 공식이 같다. 하나만 정확히 외우면 된다. AB의 길이와 AC의 길이를 구하면 BD와 DC의 길이의 비를 알 수 있다. 내분점과 외분점 구하는 공식을 이용하여 직선AD의 방정식을 구할 수 있다. 두 직선이 이루는 각의 이등분선은 두 직선까지의 거리가 같은 점의 자취이다. 두 개가 구해진다. 각의 이등분선이라는 말 대신에 내심이라는 단서가 주어질 수도 있다. http://m.yes24.com/Goods/Detail/61385309 고1 수학 총정리 한권으로 끝내기 - YES24 고등 1학년 수학의 모든 것 ‘한권으로 완전정복’개념공식과 필수문제를 완벽 정리한 고1 수학 총정리9종 수학교과서와 개념서를 철저히 분석하여 ‘고1 수학의 개념과 공식’을 꼼꼼하게 완벽 정리하였고 고1 수학에서 상위권이 되려면 꼭 필요한 특급비법 ‘개념 점프력... m.yes24.com http://m.yes24.com/Goods/Detail/92071277 중

(고1-1학기기말)직선의 방정식-외심과 내심 빠르게 구하는 법 [내부링크]

계양고2021년기출 세 직선의 교점으로 이루어진 삼각형의 외심을 구하는 문제이다. 세 직선에서 특이한 점이 없으면 아래와 같이 세 교점 A, B, C를 구한 다음 외심(a,b)에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 것을 이용하여 외심을 구하면 된다. 문제는 계산 시간이다. 이렇게 풀면 적어도 3~5분의 시간이 걸린다. 하지만 주어진 세 직선 중에서 두 직선이 수직이라는 것을 발견하면 계산 과정이 많이 줄어든다. 교점도 2개만 구하면 되고 그 둘의 중점이 바로 외심이기 때문이다. 이번에는 세 직선으로 이루어진 삼각형의 내심을 구하는 문제이다. 인천 계양고등학교에서는 위 문제와 아래 문제를 마지막에 배치했다. 계양고2021기출 역시 교점 3 개를 구한다음 3개 중의 두 개의 각의 이등분선의 교점을 구하면 된다. 외심을 구할 때와는 달리 각의 이등분선은 두 개씩 구해지기 때문에 좌표축에 그려서 내각의 이등분선을 선택해야 한다. 계산 시간도 시간이지만 선택 상황 자체가 심리적으로 위축되게 만든

(고1-1학기기말)원의 방정식-이런 단서는 다 원이다 [내부링크]

1. 세 점이 주어질 때 2. 지름의 양끝 점이 주어질 때 3. 두 점 A, B까지 거리의 비가 주어질 때(1:1은 수직이등분선이 되어 제외) 4. 지름을 한 변으로 하고 원에 내접하는 삼각형은 모두 직각삼각형이다. 5. 각의 이등분선의 역발상 - AC:BC가 m:n일 때, PC가 각APB를 이등분하면 AB:AC도 m:n이 되어 아폴로니우스의 원이 성립한다. 6. 원주각이 주어지면 중심각을 구해서 자취의 길이를 구할 수 있다. #원의방정식 #원이되는조건 #도형의방정식 #고1 #1학기기말대비 #아폴로니우스의원 #세점이주어질때원의방정식구하기

(고1-1학기기말)포스코고등학교 2021기출-Output Image해설 [내부링크]

기출분석/8번, 11번, 13번, 15번 문제가 time-killer입니다. 킬러B나 킬러C는 없지만 거의 모든 문제에 함정, 구조적인 해석이 약간씩 들어가서 시간 내에 푸는 것이 쉽지 않아 보입니다. 첨부파일 인천포스코고등학교＿1학년＿2021＿1학기기말＿수학（상）＿공통＿문제－1.pdf 파일 다운로드 #포스코고등학교 #고1 #1학기기말 #고차방정식 #이차부등식 #연립이차부등식 #도형의방정식 #직선의방정식 #원의방정식

만점은 시험의 목표가 아니다. [내부링크]

중학교 때 시험에 대한 잘못된 인식이 고1 시험을 망친다. 상위권 중학생들은 수학 시험에서 한두 문제만 틀려도 아쉬워하고 심지어 울기도 한다. 학부모들도 왜 실수하는지 모르겠다며 문제를 더 풀려야 한다고 학원에 요구하기도 한다. 센 문제집을 몇 번 돌려서 거의 외우도록 시키는 학원도 있다. 달달 외워서 맞는 만점에 집착하지 말자. 그럴 가치도 이유도 없다. 그럴 시간이 있으면 고1 수학을 대비해야 한다. 물론 고1 수학시험에서도 만점을 목표로 공부하는 것이 나무랄 일이 아니다. 그러나 현실적으로 고1 수학에서 만점을 받는 학생은 중학교 수학에 비해 터무니없이 적다. 따라서 대부분의 학생은 만점이 아니라 '아는 문제를 시간 내에 정확히 푸는데' 초점을 맞춰야 한다. 모르는 문제나 알더라도 시간이 걸릴 만한 문제는 포기하든지 나중에 풀어야 한다는 뜻이다. 고등학교는 학교마다 문제의 난이도가 천차만별이고 학생의 수준에 맞춰 문제를 출제하기 때문에 어느 학교나 평균이 비슷하다. 그렇다고 해

가르친 보람이 있던 날 [내부링크]

고1 디폴트 과정을 나가는 중3반. 워밍업 테스트에 아래와 같은 문제를 출제했다. 간단한 복이차식 문제로 x제곱을 A로 치환해서 아래와 같이 풀면 된다. 보통 t로 치환하지만 문자를 처음 사용한 프랑스와 비에트가 변수를 A로 사용했기 때문에 그에 대한 존경을 담아 나도 A를 사용한다. 쉬운 문제이지만 위의 풀이가 기억나지 않으면 안 푸는 것이 보통이다. 그런데 한 학생도 아니고 두 학생이 위와 다른 방식으로 풀었다. 한 학생은 인수정리를, 한 학생은 근과 계수와의 관계를 사용했다. 3차방정식과 4차방정식을 푸는 교과서적인 방법이다. 참고로 설명했던 4차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 추론했다. 오랫만에 가르친 보람을 느꼈다. 기억으로 풀지 말고 논리로, 논리가 안되면 추론으로 풀어내라고 가르쳤지만, 잘 작동되지는 않았었다. 실망도 하고 스트레스도 많이 받았었지만, 오늘만큼은 기분이 좋다.

(고1-1학기기말)부개여고2021킬러B-방정식과 부등식 콤비네이션 [내부링크]

3차방정식과 연립이차부등식이 연계된 문제이다. 3차방정식을 인수정리와 조립제법으로 풀 수 없기 때문에 킬러A유형이다. 항등식의 계수비교법으로 풀어야 한다. 또한 알파와 베타가 정수이기 때문에 부정방정식의 풀이법도 알아야 한다. 이렇게 구한 k와 p값을 아래의 연립이차방정식에 대입한다. 가장 어려운 이차연립부등식 유형이다. 킬러A급이다. 킬러분석/킬러A유형 두 개가 물리적으로 결합된 킬러B급 문제이다. #고등수학상 #고1 #1학기기말 #고차방정식 #항등식 #연립이차부등식 #절대부등식

(고1수학-1학기기말)동인천고2021기출로 알아보는 Output Image접근법의 중요성 [내부링크]

Input이 있으면 Output이 있다. 문제를 해결한다는 것은 주어진 단서를 Input해서 문제에서 요구한 결과를 Output하는 것이다. 그런데 사실 수학에서 요구하는 과정은 정확히 반대다. 먼저 Output되는 것을 상상한 다음 구체적인 값을 구하기 위해서 Input 단서를 이용해야 한다. 나는 이것을 Output Image접근법이라고 한다. 이것은 정답을 구하라는 것이 아니라 정답이 구해지는 상황을 우선 설정해야 한다는 것을 의미한다. 그리고 나서 Input 단서를 보면 이미 주어진 것(known)과 구해야 할 것(unknown)을 파악할 수 있다. 그런 다음 구해야 할 것을 구하기 위해서 필요한 공식이나 해법을 떠올리면 된다. 만약 어떤 공식이나 해법을 써야 할지는 알지만 정확한 방법이 기억나지 않는다면 기록해두고 반복해서 연습해야 한다. 사실 어떻게 풀지만 알아도 수학이지만, 수학시험에서는 그렇지 않기 때문이다. 아래는 동인천고등학교의 2021년 기출문제의 output i

(고1수학-1학기기말)숭덕여고2021Output Image해설 [내부링크]

[기출분석] 18번은 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최댓값과 최솟값 구하는 문제를 정삼각형과 절묘하게 연계시켰다. 20번은 포물선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값의 최댓값을 구하는 문제로 절댓값이 포함되어 킬러B까지 난이도가 상승했다. 첨부파일 숭덕여자고등학교＿1학년＿2021＿1학기기말＿수학（상）＿공통＿문제.pdf 파일 다운로드 #고1 #1학기기말 #도형의방정식 #이차부등식 #원의방정식 #직선의방정식

(고1-1학기기말)중산고2021킬러A-원의방정식 [내부링크]

킬러분석/문제에서 주어진 두 원의 방정식을 좌표에 정확하게 옮기는 것이 관건이다. 직선의 y절편과 작은 원이 (0,10)에서 만나는 것을 알아야 한다. 작은 원과는 접할 때를 제외하고는 항상 두 점에서 만나므로 큰 원과 접할 조건을 구해야 한다. 아웃풋 이미지의 중요성이 확인해주는 문제이다. #고1 #1학기기말 #원의방정식 #도형의방정식 #고등수학상 #중산고등학교

(고1수학)상산고2021 킬러A-직선의 방정식 [내부링크]

킬러분석/어떻게 빌드업하는가가 중요하다. 점A의 좌표를 점B와 점C를 이용하여 나타내기만 하면 계산의 어려움은 없다. 다만 이 문제는 구조적으로 점B와 점C의 좌표를 구하지 못하고 n만 구할 수 있다. #직선의방정식 #고등수학상 #1학기기말 #고1수학 #킬러문제푸는법 #무게중심 #점과직선사이의거리

이해중독 [내부링크]

통계에 중앙값이라는 것이 있다. 자료를 작은 수부터 나열했을 때, 한 가운데 있는 수를 의미한다. 예를 들어, 자료가 1, 4, 5와 같이 세 개라면 4가 중앙값이 된다. 만일 이 순간 자료의 개수가 짝수이면 어떻게 하지?라는 생각이 들었다면 여러분은 수학적으로 사고한 것이다. 자료가 1, 4, 6, 9와 같이 짝수개이면 가운데 값이 4인지 6인지 아니면 없다고 해야할지 알 수 없다. 여러분 스스로 개념의 허점을 찾는 것, 이것은 수학적 사고 중에서 가장 중요한 사고 중의 하나이다. 물론 수학자들은 자료가 짝수개일 때도 정의해 놓았다. 가운데 2개의 평균으로 말이다. 4와 6의 평균은 5이므로 1, 4, 6, 9의 중앙값은 5가 된다. 수학 공부는 이런 식으로 흘러야 한다. 개념을 배우는 과정이든 문제를 해결하는 과정이든 수동적으로 받아들이는 것이 아니라 적극적으로 개입해야 한다. 자신의 생각과 비교하여 옳은 것은 강화하고 틀린 것은 수정해야 한다. 만일 여러분이 아래와 같이 공부하

(고1수학)정발고2021킬러A-직선의방정식 [내부링크]

킬러분석/보통은 x축과 y을 따라 점이 움직이는데 y=x-4를 따라 움직이는 것이 특이하다. 기울기가 1이거나 루트3일 때는 x축의 양의 방향과 이루는 각을 이용해서 풀어야 할 때가 많다. 기울기가 1이면 45도 기울기가 루트3이면 60도이다. 이 문제는 점C가 원점에서 출발하지 않고 (4,0)에서 출발하므로 C의 좌표가 (t,t)가 아니라 (4+t, t)라는 것에도 주의해야 한다. #탄젠트와기울기 #직선의기울기 #고등수학상 #도형의방정식 #1학기기말대비 #고1 #두직선이수직으로만날때 #정발고

왜 고1 수학이 중요할까? - kt엔절 [내부링크]

며칠 전이다. 고1수학이 중요한 이유를 생각하다가 머릿글자가 K, T, N ,G라는 것을 발견했다. KT&G는 한국담배인삼공사에서 바뀐 이름이다. 정말 대단한 발견이라고 생각하고 학생들에게 말했더니 KT&G를 아는 학생이 한 명도 없었다. 아이고! 그래서 이 아이디어를 접을까도 생각했지만 나름 괜찮아서 그냥 쓰기로 했다. 사설이 길었다. 죄송하다. 그래서 KT&G가 뭔데? 정확히는 소문자 k, t, n과 G이다. 여기서 G는 절댓값의 머릿글자 'ㅈ'이다. 물론 억지다. 그래서 결국 'kt엔절'이라고 타협했다. 여기서도 '엔젤' 느낌으로 쓰긴 했다. k는 계수가 숫자에서 문자로 넘어가는 것을 포괄한다. 상수를 문자로 나타낼 때, a, b, c 와 k를 가장 많이 사용한다. 방정식 2x-4=0의 해는 x=2이다. 그런데 ax+b=0의 해는 간단하지 않다. a=0일 수도 있기 때문이다. a가 0일 때는 a가 0이 아닐 때와 전혀 다른 방식으로 해를 구해야 한다. 이처럼 숫자가 문자로 바뀌

(고1수학)휘문고2021킬러B-이차부등식 [내부링크]

킬러분석/중간까지는 자주 보는 유형이지만, 부등식을 만족시키는 정수의 개수에 절댓값을 입혀서 평범한 문제의 난이도를 킬러B까지 상승시켰다. 절댓값3a가 어떻게 처리되는지 주의깊게 관찰하고 연습해야 한다. #고1수학킬러 #휘문고 #1학기기말 #이차부등식 #고등수학상 #절댓값

개념은 홀로 존재하지 않는다 [내부링크]

나는 중학수학총정리 한권으로 끝내기(2016,쏠티북스)라는 교재를 쓰면서 중학교에서 배우는 전체 개념을 99꼭지로 설명했다. 개념 자체를 공부하는 것이라면 하루에 한 개씩 약 100일이면 되고 하루에 3개씩 하면 한 달에도 끝낼 수 있는 분량이다. 문제는 99개의 개념을 공부하는 것과 문제를 푸는 것이 별개라는 것이다. 일단 개념을 이해하는 것과 기억하는 것은 별개다. 사실 쉽게 이해된 지식은 더 쉽게 망각된다. 쉽게 이해되었다는 것은 기존 지식과 잘 연계된다는 뜻인데, 뇌는 이런 지식을 굳이 별도로 기억하려 하지 않는다. 더 큰 문제는 개념과 개념의 연계다. 사실 홀로 존재하는 개념은 드물다. 개념은 다른 개념과의 연계를 통해서 의미를 갖는다. 그리고 그 연계는 반드시 맥락context이 있다. 맥락이 어떻게 작용하는지 살펴보자. 아래의 이미지가 무엇으로 보이는가? 13으로 보일 수도 있고 알파벳 B로 보일 수도 있을 것이다. 이렇게 홀로 존재할 때는 이것이 13인지 B인지 누구도

(고1-1학기기말)중동고2021킬러B-원의방정식 [내부링크]

Buildup/(가), (나)의 조건을 만족하는 원을 그리는 것부터 해야 한다. 또한 원에서 현이라는 조건이 주어지면 아래와 같이 원의 중심에서 현까지 수선을 내려야 한다. 그러면 합동인 두 직각삼각형이 나타난다. Pass/기울기가 1이거나 -1인 직선이 주어지면 x축과 45도 각도를 이룬다는 것을 이용해야 할 때가 많다. 이 문제도 직각이등변삼각형을 찾아야 한다. 굵은 노란색 삼각형이 직각이등변삼각형이다. 킬러분석/이 문제는 조건을 만족하는 원과 현을 그리고 기울기가 -1일 때 x축과 45 각도를 이룬다는 성질을 집요하게 이용해야 한다. #고등수학상 #도형의방정식 #원의방정식 #기울기가1일때 #기울기는탄젠트 #현의성질 #1학기기말고사대비 #킬러문제푸는법

(고1-1학기기말)가림고2021킬러A-이차부등식 [내부링크]

킬러분석/빌드업이 어렵다. 처음에 f(x)=a(x-알파)(x-베타)로 놓으면 자연스럽게 흘러간다. #고등수학상 #고1 #1학기기말대비 #이차부등식 #절대부등식

질문에 즉답하면 안되는 이유 [내부링크]

중3. 1학기 중간고사 만점. 고1 과정 디폴트 단계 학습중인 학생의 에피소드이다. 디폴트 단계는 교과서에 수록된 개념을 누적 반복하여 뇌에 영구적인 길을 내주는 것을 목표로 한다. 수업 시작과 동시에 누적 내용을 테스트하고 풀어주기 때문에 앞쪽에서 배운 개념은 수십 번 반복하게 된다. 하나도 모르겠어요! 그런데도 그 학생은 처음 한두 문제에서 스텝이 꼬이자 바로 '하나도 모르겠어요'라고 샤우팅을 한 것이다. 기존의 테스트에서는 처음에 나눗셈이나 항등식 문제를 출제했는데 이번에는 순서를 바꿔 3차방정식 문제를 먼저 냈더니 그런 반응을 보인 것이다. 그 학생은 그와 유사한 3차방정식 문제를 지금까지 수십 번 풀었고 다 맞혔다. 나는 '3차방정식은 어떻게 푸는 거야?'라는 역질문을 했다. 그 학생은 당연히 풀었고 그 테스트에서 만점을 받았다. 나는 문제를 풀어주지도 않았고 힌트를 주지도 않았다. 그저 문제가 무엇인지 정확히 알려 주었을 뿐이다. 질문에 즉답해서는 안된다. 모른다는 말에는

문제는 속도야! [내부링크]

노발 No발상 오발 fault 정발 default=delete fault 즉발 speed 창발 sense 뇌는 기본적으로 정교하지 않다. 이른바 러프rough하다. 오직 연습을 통해서만 정교해진다. 수천번, 아니 수만번 이상 뛰었을 김연아도 점프하다가 넘어질 때가 있다. 뇌란 그런 것이다. 뇌세포neuron는 서로 화학적으로만 연결될 수 있다. 말단의 시냅스틈이 신경전달물질에 의해서 연결되거나 끊어진다. 뇌는 정보를 컴퓨터처럼 어딘가에 저장하는 것이 아니라 뇌세포의 연결 패턴으로 저장한다. 우리는 이것을 기억이라고 한다. 그런데 신경전달물질은 더 이상의 자극이 없으면 다시 흡수되거나 흩어진다. 기억의 패턴이 몇 개 끊기면 이른바 '오발'이 시작된다. 여기서 몇 개 더 끊어지면 오발을 넘어서 '노발'이 된다. 우리는 이것을 망각이라고 한다. 노발이 되기 전에 반복하면 오발에서 '정발'이 된다. 같은 패턴이 반복되면 시냅스 말단이 부풀어 올라서 신경전달물질을 더 많이 받아들 수 있게 된

(고1수학)운정고2021킬러A-원의방정식 [내부링크]

킬러분석/k값에 관계없이 한 점을 지나는 직선의 방정식과 자취 개념을 섞었다. 원 위의 한 점과 지름의 양끝을 이으면 항상 지름이 된다는 성질을 이용했다. 아웃풋을 추론했다면 계산이 매우 쉬워서 킬러A에 넣었다. #원의방정식 #한점을지나는직선의방정식 #자취의방정식 #원위의직각삼각형 #고등수학상 #도형의방정식 #운정고

(고1수학)늘푸른고2021킬러A-직선의방정식 [내부링크]

킬러분석/수직이등분선을 의미하는 조건을 파악하면 시간을 번다. 문제 자체의 난이도는 어렵지 않지만 계산 과정이 많아서 킬러A에 넣었다. #수직이등분선 #직선의방정식 #두직선이수직으로만날때 #고등수학상 #도형의방정식 #늘푸른고

달인과 고수의 차이 [내부링크]

달인은 자기 자신과 싸우고 고수는 남과 싸운다. 스포츠에서 기록경기는 달인이 되어야 하고 대결을 해야 하는 경기에서는 고수가 되어야 한다. 그렇다면 수학의 달인일까, 수학의 고수일까? 수학의 달인이 되고 싶은 사람은 문제를 많이 풀 것이고 수학의 고수가 되고 싶은 사람은 왜 지는지(틀리는지) 분석할 것이다. 중학교 시험문제는 서로 약속한 대로 치고 받는 '약속 대련'이 주를 이루기 때문에 문제 유형을 많이 풀어 외우면 충분하지만, 고1 때부터는 '실전 대결'에 가깝기 때문에 그저 문제를 많이 푸는 것만으로는 부족하다. 싸움의 기술만 배울 수 있을뿐 실전에서 상대방이 어떻게 공격할 지는 알 수 없다. 상대는 정직하게 공격하지 않고 페이크fake를 쓰며, 여러 기술을 연계해서 공격한다. 상대가 어떤 페이크를 주로 쓰는지 어떤 기술을 연계하는지 분석할 필요가 있다는 뜻이다. 각종 개념서와 유형문제집에도 여러 페이크와 연계 기술이 수록되어 있지만, 매년 새로운 페이크와 기술이 출제되기 때문

(고1수학) 분당고2021킬러B-복이차방정식 [내부링크]

킬러분석/복이차방정식이 서로 다른 실근을 가지려면 치환된 이차방정식이 서로 다른 두 양근을 가져야 한다. 그런데 두 양근 중에서 큰 양근이 9보다 작아야 하는 조건까지 만족해야 한다. 이때는 이차함수의 그래프를 이용해야 한다. #고1수학 #복이차방정식 #킬러문제푸는법 #1학기기말고사 #분당고 #고등수학상 #고차방정식

(고1수학)영등포여고2021킬러A-복이차방정식 [내부링크]

킬러분석/복이차방정식이 서로 다른 두 실근과 서로 다른 두 허근을 가지려면 치환된 이차방정식의 두 근의 부호가 서로 다르면 된다. 양근은 실수가 되고 음근은 허수가 된다. 그런데 이 문제는 실근과 허근을 가지면 된다고 했다. 즉, 치환된 이차방정식의 한 근은 0이고 다른 한 근은 음수여도 된다는 뜻이다. 두 근의 곱이 0이 되게 하는 조건을 구한 다음 다른 한 근이 음수인 값을 고르면 된다. #고1수학 #복이차방정식 #킬러문제푸는법 #1학기 기말고사 #영등포여고 #고등수학상 #고차방정식

(고1수학) 청라고2021킬러A - 복이차방정식 [내부링크]

킬러분석/복이차방정식이 서로 다른 네 허근을 갖기 위한 조건은 치환된 이차방정식의 두 근이 모두 음수이거나 허수이면 된다. 제곱해서 허수가 되는 수는 허수밖에 없기 때문이다. #고1수학 #1학기기말고사 #복이차방정식 #수학킬러문제푸는법 #고등수학상 #고차방정식 #청라고

고1수학은 중학교 수학과 무엇이 다른가? [내부링크]

1. '~하지 않고' 나눗셈을 배우고 나면, 바로 나누지 않고도 나머지를 구하는 방법을 배우고 곱셈을 배우고 나면 곱하지 않고도 곱셈의 결과를 추론하는 방법을 배웁니다. 중학교 때는 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 근을 구하면 그만인데 고1 때는 근을 구하지 않고도 근이 실수인지 허수인지, 두 근이 양수인지 음수인지, 두 근의 합과 곱은 어떻게 되는지 알아야 합니다. 2. 보이지 않는 것을 다룸 중학교 때는 루트 안에 음수가 들어가면 수가 아니라고 배웁니다. 설명할 수 없기 때문이죠. 그런데 고1때는 그것을 허수라고 이름짓고 실수와 마찬가지로 '수'로 취급합니다. - 사실 베셀이나 가우스 등의 수학자들이 허수를 볼 수 있게 만들었지만 교과에는 빠져 있습니다. 3. 도구의 교차 사용 중학교 때는 이차방정식은 이차방정식이고 이차함수는 이차함수인데 고1때는 이차방정식을 이차함수로 풀고 이차함수를 푸는데 이차방정식을 이용합니다. 즉, 도구를 교차해서 사용하는 법을 배운다는 뜻입니다. 이렇

(고1수학)대일외고2021킬러A- 이차부등식 -10점짜리후보 [내부링크]

킬러분석/최고차항의 계수가 0인지, 음수인지, 양수인지에 따라 접근이 완전히 달라지는 문제입니다. 특히 축의 위치를 파악하는 것이 중요한데, 이 문제는 축이 x=2로 고정되어서 그마나 최고난도는 피했습니다. #대일외고 #고1수학 #수학킬러푸는법 #이차부등식 #1학기기말대비 #고등수학상

(고1수학)양정고2021킬러A-내분과외분 [내부링크]

킬러분석/내분과 외분 개념을 독특하게 이차방정식과 연계했습니다. 높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다는 특징까지 사용했습니다. 어렵지 않은 개념이라도 여러 개념을 콤비네이션으로 사용하면 난이도가 올라갑니다. #양정고#고1수학 #킬러문제푸는법 #내분과 외분 #1학기기말고사 #고등수학상 #도형의방정식

수능 킬러 문제는 4점이 아니라 8점이어야. [내부링크]

킬러 문제 하나를 풀기 위한 노력은 상상을 초월한다. 그럼에도 불구하고 수능에서 킬러 문제를 제대로 풀어낼 확률은 높지 않다. 그런데도 킬러문제의 배점은 4점에 불과하다. 쉬운 4점짜리의 10배, 어려운 4점짜리의 2~3배의 노력이 들어감에도 그저 4점에 불과하기 때문에 킬러 문제는 포기하고 나머지 문제를 다 맞는 전략을 취하는 학생들도 많다.(심지어 킬러 문제 2개를 제외한 모의고사 문제집도 있다.) 킬러 문제를 아예 빼버리면 몰라도 지금과 같은 수준으로 계속 낸다면 8점 정도는 되어야 한다고 생각한다. 대신 쉬운 4점짜리를 3점으로 내리고 문항수를 늘리면 된다. 지금의 30문항을 35에서 40문항까지 늘려도 문제없다고 본다. 배점은 기술의 난이도에 비례해야 한다. #수학킬러 #수능수학 #수능개편

피드백받을 준비가 되어 있는가? [내부링크]

지금은 누가 세계 1위인지 모르겠지만 내 시대의 골프황제는 타이거 우즈였다. 당시 내가 가장 이상하게 생각한 것은 세계에서 가장 골프를 잘 하는 타이거 우즈에게도 전담 코치가 있다는 것이었다. 세계 1위를 누가 가르친다는 말인가? 물론 그 의문은 바로 풀렸다. 타이거 우즈도 사람인지라 가장 좋았을 때의 폼을 유지하는 것이 쉽지 않으며, 작은 차이를 잡아내서 피드백해주는 것이 코치의 역할이라 했다. 물론 멘탈을 잡아주는 것도 당연한 역할이었을 것이다. 나는 줄곧 수학이 운동과 비슷한 과목이라고 생각해왔다. 골프도 야구도 탁구도 볼링도 단순하게 말하면 팔을 돌리는 운동이다. 그런데 속도와 정확도, 전략과 전술에 따라 일반인과 선수는 말할 것도 없이 선수끼리도 큰 차이가 난다. 수학도 그저 더하고 빼고 곱하고 나누는 방법에 불과하다. 개념은 그저 빙산의 일각일뿐 나머지 거대한 부분은 계산이다. 그런데 계산이 복잡해지고 여러 개념이 섞이면 정답율이 눈에 띄게 떨어지고 심지어 문제를 해결한

(고1수학) 현대고2021킬러A - 연립이차부등식 [내부링크]

킬러분석/부등식의 해가 문자로 주어질 경우 대소비교에 주의해야 한다. 또한 정수의 개수를 구할 때 부호에 등호가 있는지 없는지도 확인해야 한다. 또한 이 문제에서는 p값이 정수가 아니었으면 ㄷ은 틀린것이 된다. 예를 들어 b=1.5, r=6.5이면 r-b=5이지만 그 사이의 정수는 5개뿐이다. p값이 정수밖에 안되므로 난이도가 떨어졌다. #현대고등학교 #고1수학 #킬러문제푸는 법 #1학기 기말 대비 #강남현대고 #고등수학상

수학은 필기하는 법이 다르다. [내부링크]

수학에서 필기는 보고 쓰는 것이 아니라 쓰고 보는 것이다. 그게 가능한 과목이다. 개념설명이든 문제풀이든 칠판에 써 있는 글씨를 마치 그림 그리듯이 한줄 한줄 '복붙'하듯이 따라 쓰면 안된다. 설명과 판서가 끝난 뒤에 칠판을 스캔하고 가급적이면 한 호흡에 쓰도록 하자. 이것은 기존의 필기가 아니라 문제를 다시 풀어보는 것이어야 한다. 한 호흡에 풀기 어렵다면 가끔씩 맞게 가고 있는지 정도만 확인하면 된다. 만일 잘못된 길로 가고 있다면 그 부분을 체크해 놓아야 한다. 다음에도 똑같이 잘못된 길로 갈 가능성이 있기 때문이다. 만일 이해를 못한 부분이 있다면, 바로 질문해야 한다. 제발 남의 눈치 따위는 보지 말자. 그렇게 눈치가 보이면 다음부터는 예습을 좀 해오면 된다. 예습하는 법에 대해서는 따로 다루겠다. 필기는 공부의 시작이자 끝이다. 노트를 나만의 개념서이자 비법서로 만들어야 한다. 배운 개념과 온갖 실수 포인트, 함정 문제, 그렇게 풀지 않으면 절대로 풀 수 없는 문제가 들어

(고1수학)제물포고2021킬러B-직선의방정식 [내부링크]

킬러분석/두 직선이 수직으로 만나는 조건과 이차부등식이 항상 성립하는 조건의 콤비네이션 문제입니다. 쉬운 개념들도 연계되면 난이도가 많이 올라간다는 것을 알 수 있습니다. #고1 #1학기기말고사 #이차부등식 #직선의방정식 #두직선이수직 #인천제물포고 #수학킬러문제 #고등수학상 #도형의방정식