(통계) { 1-F(x)} 의 무한합=E(X)?

X는 음이 아닌 이산형 확률변수다. X의 cdf를 F(x)=P(X≤x)라 하면. 다음이 성립함을 증명하라. 위 식은 다음과 같다. F(x)의 합만 따로 확인합니다. 여기서 저 합을 x에 따라 행별로 따로 보면 계단 모양이 보입니다. x 0부터 x까지 p(i)의 합 0 p(0) 1 p(0)+p(1) … n-1 p(0)+p(1)+...+p(n-1) n p(0)+p(1)+...+p(n-1)+p(n) 이걸 다시 열 방향으로 봅니다. 그렇다면 p(0)은 n+1개, p(1)은 n개… p(n)은 1개가 존재합니다. 그렇다면 저 이중 합을 다음과 같이 바꿀수 있겠습니다. 이걸 가지고 처음 식으로 돌아갑니다. 여기서 모든 확률의 합은 1이 되므로 앞의 항은 사라진다. 이렇게 [1-F(x)]의 합이 X의 기대값이 됨을 확인할 수 있다. 이 방법에는 문제점이 존재한다. 극한이 존재해야 하는데 다만 검색하다 짜증난 누군가에게 도움이 되었으면 한다....

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