고급 수학 2 - 미분의 활용

1. 코시의 평균값 정리 롤의 정리 : 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 함수 f(x)가 열린구간 (a, b)에서 미분 가능할 때, f(a)=f(b)이면, f'(c)=0 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. 코시의 평균값 정리 : 롤의 정리를 일반화하여, 두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며 구간 내의 모든 점에서 g'(x)≠0 이면 아래의 식을 만족하는 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. g(x)=x로 잡으면, 평균값의 정리가 된다. 기하학적으로 보면, 속도 벡터(f'(t), g'(t))에 의해 접선의 방향이 정해지고, 이 두 접선은 평행하기에 코시의 평균값 정리를 만족하는 c가 적어도 하나 이상 있음을 볼 수 있다. 2. 로피탈의 정리 함수 f(x)와 g(x)가 x=a에서 연속이고 f(a)=g(a)=0이면 f(x)/g(x)를 a에 한없이 가까워질 때의 계산을 할 때 x=a를 직접...

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