정규분포에서 카이제곱 분포의 pdf, mgf 유도

카이제곱은 표준 정규분포의 제곱들의 합으로 얻어지는 분포다. 자유도 k=1인 경우를 먼저 구한다. 카이제곱의 cdf를 미분해 pdf를 구한다. mgf를 구한다. 지수와 다항식이 복잡하게 붙어있는 경우엔 감마분포 꼴을 만들면 편하다. 여기서 적분식만 보면 이때 적분 값은 Gamma( 0.5, 1/{0.5-t} )의 pdf이므로 1이 된다. 다시 돌아와서 자유도가 k인 카이제곱분포는 독립인 표준정규의 제곱들의 합이므로 그 mgf는 다음과 같이 표현 가능하다. mgf가 Gamma( k/2, 2 )의 것과 동일하므로 카이제곱분포는 감마분포의 특수한 경우임을 알 수 있다. 따라서 pdf 또한 동일하므로 자유도 k인 카이제곱의 pdf는 다음과 같다....

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