가우스 적분(Gaussian Integral) 증명 (극좌표)

이번 시간에는 아래 그림처럼 생긴 재밌게 생긴 가우스 함수(Gaussian Function)에 대한 넓이를 구해보는 시간을 가져봅시다. 이런걸 가우스 적분(Gaussian Integral)이라고 하며, 통계학이나 미분적분학을 조금 깊게 들어가보면 나오게 되는 유명한 내용 중 하나입니다. 가우스 함수란 뭘까요? 통계학에서도 좀 보이는 이 함수는 아래와 같이 실수 전체 집합에서 정의된 함수를 말합니다. f(x) = e-x2 꼴로 정의된 이 특이하고 애매모호하게 생긴 함수는 그래프로 그려보면 종 모양처럼 생겼습니다. 이번에는 이것의 넓이를 한번 구해보도록 하죠. 가우스 함수는 실수 전체 집합에서 정의되므로, 넓이는 아래와 같습니다. 이 넓이를 I 라고 하겠습니다. 그대로 적분하는 방법이 없어서, 양변을 제곱해 I2 = ... 꼴로 만들어 줍시다. 그리고 정리하면 이제 직교좌표계(cartesian coordinate system)에서 정의되었던 저 적분을 극좌표계(polar coordina...