x^x^x^x^... ＝ 3 의 해는 존재할까?

미리 알아둘 것 람베르트 W 함수 무한 지수 탑 함수 예전에 재미있게 생긴 무한 지수 탑 함수를 살펴보고 관련 내용을 <무한 지수 탑 함수 알아보기> 란 제목으로 간단하게 글을 올렸는데 아래와 같은 댓글이 올라왔습니다. 간단히 말해서 아래 등식을 왜 풀 수 없는지에 대한 글이었습니다. 이때 왜 x가 3의 세제곱근이면 안 되는가...? 라는 질문이었습니다. 물론 이런식으로 생각할 수 있습니다. 이렇게 되는 경우 겉보기로는 합당해 보이지만, x^x^x^x... = y 형태의 함수에서 해당 함수의 값이 정상적인 값을 가지기 위해 x와 y가 가질 수 있는 값의 범위(정의역, 치역)은 아래로 한정되어 있습니다. 이때 3의 세제곱근은 그 근삿값이 1.44224 정도이고, e(1/e)는 1.4446 이므로, x로만 보면 그 근삿값이 아슬아슬하긴 하지만 맞습니다. 그러나 y에 들어가는 3의 경우 최대 한도치 e(대략 2.71828)보다 크기 때문에 애초에 주어진 식이 제대로 된 값을 가지지는 못한...