이항연산에서의 '역원'

# 대수학 # 이항연산 # 7 역원이란 무엇일까? a에 대한 역원(inverse element)이란, a * x = x * a = e 를 만족시키는 원소 x를 의미한다. 역원이란 어떤 원소와 연산했을 때 연산값이 항등원이 되는 원소를 의미한다. (항등원은 모든 원소에 대해 성립하지만 역원은 특정 원소에 대해 성립함에 주의한다.) 역원은 어떻게 구할까? 예를 들어, a * b = a + b + 10 이라는 이항연산 *를 정의해보자. 이 연산에서 5에 대한 역원을 찾아보자. 5에 대한 역원을 x라고 한다면 5 * x = e 가 성립해야 한다. 저번 시간에 이 이항연산에서 항등원 e = -10 이라고 구했다. 따라서, 5 * x = -10, 5 + x + 10 = -10 에서 x = -25임을 구할 수 있다. 역원이 여러 개 존재할 수 있을까? 결론부터 말하자면, 역원은 2개 이상 존재할 수 없다. 이를 증명하기 위해 역원이 2개 있다고 가정해보자. 원소 a에 대한 두 역원을 x1 ...

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