[공업수학] 코시-리만 방정식 예제

#공업수학 #복소해석 1. 코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann Equations) z = x + yi 인 복소공간에서 f(z) = u(x,y) + i v(x,y) 가 연속이고 미분가능하면 u, v는 아래 방정식을 만족합니다. 위 방정식을 코시-리만 방정식이라 부릅니다. 즉 f(z)가 정의역 D에서 해석적(analytic)이라면 D의 모든 점에서 f(z)의 편도함수가 존재하고 코시-리만방정식을 만족합니다. 2. 증명 복소함수는 어느 방향으로 Δz 를 잡더라도 미분계수가 존재할 때 미분가능합니다. 따라서 x, y 두 방향으로의 f(z) 미분계수를 따져봅시다. Δx와 Δy를 이용해 f'(z)를 표현합니다. 이때 1번 경로는 Δy=0 인 경우니까 1번 경로에 대한 임의의 점 z에서의 미분계수는 아래와 같습니다. 따라서 x축과 평행한 방향으로 접근했을 때 미분계수는 아래와 같습니다. 2번 경로의 경우 Δx=0 이므로 y축과 평행한 방향으로 접근했을 때 미분계수는 아래와 같습니다. ...

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