[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Linearization for implicit methods

Implicit method의 어려운 점은 일반적으로 각 시간단계에서 비선형 대수 방정식을 풀어야 한다는 것이다. 비선형 initial value problem에서 선형화 기술을 이용하여 iterative 한 절차를 피할 수 있다. 일반 미분방정식과 TR을 고려해보자. f(yn+1, tn+1)에 대해 테일러 급수를 전개해보자 한편 (yn+1-yn)은 아래와 같으므로 위의 식에서 마지막 항 [1/2(yn+1-yn)2...]은 h2에 비례한다. 또한 가장 처음의 식(yn+1=...)에서 f(yn+1, tn+1)에 h/2를 곱했으므로 결국 h3에 비례한다. 이렇게 에러항의 차수와 같아지므로 이를 무시하더라도 accuracy는 변함이 없다. 따라서 이 공식(Linearized TR)은 iteration 없이 globally 2nd-order accuracy를 가진다. * Linear stability analysis (y'=λy) TR과 같이 absolutely stable 하다. (하지만...

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