아르키메데스의 원리와 그 증명

# 대수학 # 수학적 귀납법 # 9 아르키메데스의 원리란 무엇일까? 아르키메데스의 원리 (Archimedean Property) a, b가 양의 정수이면, na ≥ b 를 만족하는 양의 정수 n이 존재한다. 예를 들어, a = 3, b = 35 라고 하면 3n ≥ 35 를 만족시키는 자연수 n이 존재한다는 것이다. 너무나 당연한 얘기다. 하지만, 당연한걸 증명하는게 수학 전공이다. 저번 시간에 알아봤던 정렬성의 원리를 사용하여 증명해본다. 아르키메데스의 원리의 증명 아르키메데스의 원리: a, b가 양의 정수이면, na ≥ b 를 만족하는 양의 정수 n이 존재한다. 아르키메데스의 원리가 참이 아니라고 가정하자. 그러면 양의 정수 a, b 에 대하여 모든 자연수 n이 na < b 를 만족한다. 이 경우, b - na > 0 이므로, b - na 는 항상 자연수이다. n = 1, 2, 3, ... 를 대입하면 b - na 는 자연수이고, 이를 집합으로 쓰면 S = { b - na Ⅰ ...

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