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4.3 집합의 치환형 표기법 [내부링크]

내포적 표기법이랑 매우 비슷하다. 내포적 표기법은 앞에는 변수, 뒤에는 조건이 붙어있는데 반해, 치환형 표기법은 앞에 변수가 아닌 식이 써져있다. ℕ의 하나하나의 요소 n에 대해, 2n으로 나타나는 요소를 모은 집합이다. 술어를 사용해 나타낼수 있다. 일반화하면,,,,

논리함수, Logical function, Switching function등으로도 부른다. 쌍대함수 dual function 이상을 만족하는 g를 f의 쌍대함수라고 한다. 대표적으로, x+y와 x*y는 서로 상대함수이다. 이때, 두 함수의 진리값표를 변수값에 대한 이진수 순으로 나열할때, 두 함수의 진리값은 상하 순서와 참거짓이 반전되있음을 알수 있다. 자기쌍대함수 self-dual function 논리함수 f의 쌍대함수가 f자신일때, f를 자기쌍대함수라고 한다. 자기 자신의 쌍대이므로, 진리값표 또한 상하순서와 참거짓이 반전되어있음을 알수 있다. 대표적으로, 다수결함수가 있다. f(x, y, z) 를 다수결의 결과를 반환하는 함수라 할때, 모든 input(투표자 전원의 찬반)이 반전되면, 결과도 반전된다. 자기반쌍대함수 다음을 만족하는 논리함수 f를 자기반쌍대함수라고 한다. 모든 input이 역전될때 같은값을 return하므로, 진리값표는 상하대칭임을 유추할수 있다. 자기반쌍대함

NPN-equivalent function [내부링크]

NPN동치 일부 혹은 전체의 변수값, 혹은 함수 전체에 부정을 씌우거나 변수의 위치를 바꾸는것으로 같아지는 함수를 NPN동치라고 한다. 일부 혹은 모든 변수의 부정 (Negation) 일부 혹은 모든 변수의 순서변경 (Permutation) 출력결과의 부정 (Negation) 이중 1, 2번으로 얻어지는 동치류를 NP-동치류, 2번만으로 얻어지는 동치류를 P-동치류, 1번만으로 얻어지는 경우를 N-동치류라고 부르기도 한다. f(x1, x2, x3, x4)와 f¯(x1¯, x3, x2, x4)는 NPN동치이다. 쌍대함수는 서로 NPN동치이다. 논리곱과 논리합은 NPN동치이다. 어떤 논리함수와 NPN동치인 모든 논리함수로 이루어지는 집합을 NPN동치류라고 한다. 2변수함수의 경우, 존재 가능한 논리함수는 16종류이다. 진리치표 4개와 각각에 대응하는 0과 1로부터 24=16 하지만 2변수함수의 NPN동치류는 4종류이다. 3변수의 경우 논리함수 256종 NPN동치류는 14종, 4변수의 경

Canonical form [내부링크]

리터럴 literal 변수, 혹은 그 부정 리터럴은 그 자체로 곱항이면서 합항이다. 곱항 product term 1개의 리터럴 혹은 복수의 리터럴의 논리곱 x, y, x*y, !x*y 등등.. 같은 변수가 들어가서는 안된다. x*x, x*!x 등 합항 sum term 1개의 리터럴 혹은 복수의 리터럴의 논리합 x, y, x+y, !x+y 등등... 같은 변수가 들어가서는 안된다. 곱의 합 sum-of-products form, disjunctive form, AND-OR형 논리함수를 1개의 곱항 혹은 복수의 곱항의 합으로 표현한것 x*y, x*y+x*z, x+y, x+!y*z 등등... 합의 곱 product-of-sums form, conjunctive form, OR-AND형 논리함수를 1개의 합항 혹은 복수의 합항의 곱으로 표현한것 x+!y, (x+y)*(!x+z), (x+y)*z 등등... 최소항 minterm n변수 논리함수에 대해, n개의 리터럴로 이루어지는 곱항 n변수를

Shannon’s expansion [내부링크]

섀넌 전개 Shannon’s expansion 논리함수 f(x1, ..., xi, ..., xn)은 다음과같이 전개가능하다. 3변수 논리함수 f(x, y, z)를 계속전개해 나가면, 즉, 모든 함수는 최소항과 정수의 곱, 주가법표준형으로 나타난다. 논리함수 f(x1, ..., xi, ..., xn)는 다음과 같이도 전개 가능하다. 이 식을 사용해 전개하면 주승법표준형으로 나타나진다.

Simplification [내부링크]

논리식의 간단화 분배율, 보원율, 단위원율로부터 얻어지는 공식 진리값표로부터 주가법표준형으로 논리식을 나타낸뒤, 위의 공식을 사용해 간단화시킨다. 예제 다음의 진리값표로부터 간단화된 논리식을 작성하라. 풀이 최소항으로부터 주가법표준형을 작성한다

Quine–McCluskey algorithm [내부링크]

콰인-매클러스키 알고리즘 리터럴수가 내림차순인 표를 만들고, 가장 왼쪽에 최소항을 부정수 순으로 나열한다. 부정수 i와 i+1의 그룹으로부터 Ax+A!x=A를 적용가능한 두 항을 찾아, 그 적용결과를 우측에 쓴다. 적용된 항들은 지운다 멱등법칙(x=x+x)으로부터 지워진 항을 다시 사용해도 된다 지워지지 않은 곱항을 주항이라고 부른다. 모든 주항의 합을 취한다 f=xz+xy 얻어진 결과가 가장 단순한 형태라고 확신할수는 없다. 가장단순한 형태를 만들기 위해서는 커버테이블을 작성할 필요가 있다.

Karnaugh map [내부링크]

카르노 맵 진리값 표로부터 곱의합 표현의 논리식을 단순화 각 항목에는 1개의 최소항이 대응하고있다. 모든 항목은 상하좌우의 인접한 항과 공식 Ax+A!x=A를 적용가능하다. 공식을 적용한 결과끼리도 다시 적용가능하다. 진리값표의 값을 카르노맵에 옮긴뒤, 가능한 큰 사각형모양으로 1을 감싼다. 한변의 길이는 1, 2 혹은 4칸이다. 3칸을 한번에 묶을 수는 없다. 또한, 사각형끼리 겹쳐지는것은 상관없다. 각각의 묶음에 대응하는 곱항의 합을 취한다. 5변수 이상의 경우에는 3차원공간으로 확장시켜 생각한다.

내가 보려고 모아두는 자료 [내부링크]

영상 LTI시스템의 인과성 https://youtu.be/cPF36_5Q_xg 읽을거리 오토마톤 이론 https://www.momoyama-usagi.com/entry/info-automaton01 논리대수와 논리함수 https://www.ieice-hbkb.org/files/01/01gun_08hen_01.pdf

3.4 전칭명제와 존재명제 [내부링크]

전칭명제 집합 U = {a, b, c, d}(a,b,c,d는 임의 상수)를 변역으로 하는 변수 x에 대해, x<x+1이라는 술어가 있다고 하자. 이와 같이 모든 변수에 대해 성립하는 술어를 전칭명제라고 한다. 존재명제 술어 x+1=2와 같이, 어떠한 x에 대해 x+1이 성립할때 존재명제라고 한다 연습문제, 다음의 명제가 전칭명제인지 존재명제인지를 구분하고 그 참 거짓을 나타내어라. (1) 모든 x에 대해 x<x+1이다. (2) 어떤 x에 대해 x+1=2이다. (3) 모든 x에 대해 x+1=2이다. (4) 어떤 x에 대해 x>x+1이다. (1) 모든 x에 대해 만족해야 하므로 전칭명제, 참 (2) 존재명제, 참 (3) 전칭명제, 거짓 (4) 존재명제, 거짓 보편양화사, 전칭양화사(universal quantifier) P(x) : 자유변수 x에 대한 술어 전칭명제 : 모든 x에 대해 P(x) for all x라고 읽는다. \forall이라쓰면 입력됨 존재양화사(existential q

3.5 술어에 관한 "~라면"의 사용법 [내부링크]

P(x), Q(x) : 술어 P(x)→Q(x) : 술어 P(x) : x>3 Q(x) : x>4 일때, P(x)→Q(x)는 x>3이라면 x>4이므로 x의 값을 넣어보지 않으면 진위를 알수없다 x>3이라면 x>4라고 문장으로 쓸때는 for all x, if x>3, x>4를 의미한다. 변수x의 변역은 ℝ, P(x) : x2<0 Q(x) : x=1 P(x)라면 Q(x). 즉, x^2<0이라면 x=1 이때 "라면"은 전칭명제를 의미한다. 이므로, 과 동치이다. 이때 not (x2<0)은 항상 (x의변역에대해) 참이므로, 위의 명제는 참이다. ∀x P(x)→Q(x)에서 ∀x는 생략 가능하다. 이때 위의 예제와 같이, P(x)의 진리집합이 공집합인경우, 명제는 항상 참이되는것을 알수 있다.

특성방정식의 유도 [내부링크]

다음과같은 이차선형미분방정식이 존재한다고 하자. dx/dt를 y로 둔다면, 이를 행렬로 나타내면 (d/dt x= 0*x + y, d/dt y = -c/a x - b/a y이므로) 이때 x=Aeλt로 두면, y=λAeλt, dx/dt = λx, dy/dt = λy이므로 이때 λ는 고유치로서, 다음과같은 고유방정식을 세울수있다. (선형대수학에 대해선 이 블로그에선 다루지 않음) 이 고유방정식을 미분방정식에 대한 특성방정식이라 한다. 일반화를 통해, d/dxn은 λn으로 바꿔쓸수 있다.

2.3 복소함수의 미분 [내부링크]

복소평면의 영역 D에 대해, f(z)를 D상의 복소함수, a를 D내부의 점이라 할때, f(z)가 미분가능하다는것은, 극한 가 존재할때이다. 또한, 이 극한을 f'(a)로 쓰고, f(z)의 z=a에서의 미분계수라고 한다. 실수의 미분과 같이, 다음이 성립한다. 예제 1 f(z)=zn을 미분하여라 예제 2 f(z)=z¯를 미분하여라 이때 극한값은 θ에 의존하므로 미분불가능. 예제3 f(x+iy)=(x+y)+(2x+3y)i 를 미분하여라 이 함수는 (x+y)+(2x+3y)i=(2+1/2i)z+(-1+3/2i)z¯로 쓸수있다. (x+iy=z, x=iy=z¯이므로 x=(z+z¯)/2, y=(z-z¯)/(2i)를 대입해서 정리) 이때 두번째항 (-1+3/2i)z¯이 미분불가능하기에 이 함수는 미분불가능.

2.4 코시 리만 방정식 [내부링크]

f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)로 나누어 생각할때, 분명히 u(x,y)와 v(x,y)모두 미분가능하더라도 함수 f(z)는 미분 불가능한 경우가 있다 도대체 무엇으로 미분가능성이 나뉘어지는걸까? 잘생각해보면 다음은 동치이다. 이때 를 코시 리만 관계식이라 한다.

3.1 복소선적분 [내부링크]

아니 시123발 선생님 미분 제대로 한거같지도 않은데 벌써 적분을 하나요 2변수함수랑 완전 똑같아서대충 넘어가는거같은데 저는 미적분학을 좆말아먹어서 2변수이상의 미적분을 못하는데 어떡하죠 t∈[a, b]로 매개변수 매겨진 복소수평면상의 곡선 에 대해, x(t), y(t)가 서로 C1급으로, 속도벡터가 모든 t∈(a,b)에서 일때, C는 매끄러운 곡선으로 불린다. 연속적인 복소함수의 적분 D⊂ℂ : 영역 C⊂D : D내의 매끄러운 곡선 1변수함수의 구분구적법 In(t, [a, b])는 이 대상(띠모양)의 도형의 표면적,,,같은느낌 (실제 도형으로 존재한다면 표면적은 양면이니까 적분값은 표면적의 1/2인가?) 이때 f(z)의 곡선 C를 따른 적분을 로 정의된다. 이때 다음이 성립 복소적분도 결국엔 실수함수의 적분과 같다. 문제는 내가 실수함수의 적분도 못하는 병신이란건데. 증명 조까 씨발 예제 1 경로 에 대한 적분 를 각각 계산하라 따라서 0과 1+i를 잇는 2개의 길 C1 C2에 대

Boolean Algebra [내부링크]

논리연산 AND, 논리곱 두 명제가 모두 참일경우 참값을 반환한다. AND는 곱셈과 동치이다. OR, 논리합 두 명제중 한 명제만 참이어도 참값을 반환한다. 덧셈과 동치이다. NOT, 부정 참과 거짓을 뒤집는다. 연산법칙 쌍대성을 확인할수 있다. (좌우가 서로 곱과 합, 0과 1을 바꾸는것으로 성립) 불대수에는 역원이 존재하지 않기에 이항불가하다. 충족가능성 논리함수 f(x1, x2, ..., xn)에 대해, f(x1, x2, ..., xn)=1이 되는 x1, x2, ..., xn의 조합이 존재할경우, 함수 f는 충족가능하다. 반대로, 그러한 조합이 존재하지 않을경우 함수 f는 충족불가능하다.

4.1 술어와 집합의 등가성 [내부링크]

술어 P(x)가 주어질때, 그 진리집합이 정해진다. 집합 A가 주어질때, "x는 A의 요소이다. (x∈A)"라는 술어를 만들수 있다. 술어 P(x)에 대해서는 P(x)의 진리집합, 집합 A에 대해선 x∈A라는, 집합과 술어의 대응관계를 생각할수 있다. ㄷ+한자를 누르면 편하게 입력할수 있단걸 처음알았습니다

4.2 명제대수와 집합대수의 동일성 [내부링크]

명제대수 명제전체의 ∨,∧,￢의 연산에 관한 대수 집합대수 어떠한 보편집합의 부분결합전체의 ∪,∩, c에 관한 대수 명제대수와 집합대수에 관한 대응관계를 생각할수 있다. 이거가지고 집합의 연산을 술어의 연산으로 바꿔 생각할수 있다 not 연산에 대해서는 다음과같다

07 유한 오토마톤 [내부링크]

유한오토마톤 (finite automaton, FA) 이산적인 입력 및 출력을 가지는 기계의 수학적 모델 내부구성(상태)의 수가 유한 유한상태계의 설계를 위한 유용한 도구 엘레베이터의 제어구조 스위칭회로 유한개의 상태의 집합 각 입력기호가 일으키는 상태전이의 집합 모든 상태는 각각의 입력에 대해 전이하는 상태가 정해져 있음 한개의 초기상태 q0를 가짐 복수의 최종상태 (수리상태)를 가짐 유한오토마톤의 예시 - 강 건너기 문제 양치기(M)와 늑대(W)와 양(G)과 양배추(C)를 강 건너편까지 옮기기 배에는 남자와 하나만 태울수 있다 늑대와 양만 남으면 늑대가 양을 먹는다 양과 양배추만 남으면 양이 양배추를 먹는다 MWGC= WC=MG MWC=G C=MWG MGC=W G=MWC MG=WC =MWGC 상태전이도 (transition diagram) FA에 대응한 방향그래프 각각의 정점은 상태에 대응 간선은 상태전이에 대응 초기상태정점은 그를 나타내는 화살표가 존재 종료상태를 나타내는 정점

08 비결정성 유한 오토마톤 [내부링크]

비결정성유한오토마톤(nondeterministic finite automaton, NFA) 1개의 상태에서 같은 입력기호에서 0개 이상의 상태전이가 가능 상태전이처가 입력문자에 의해 일의적으로 결정되지 않는다 입력이 없더라도 상태전이 가능 비결정성이 아닌 오토마톤은 결정성(deterministic) 오토마톤(DFA) 비결정성유한오토마톤에서 수리가능한 집합은 결정성유한오토마톤에서도 수리가능 비결정성유한오토마톤은 논리전개상 불가결하다 NFA의 상태전이도 유한오토마톤의 정식화 (Q, Σ, δ, q0, F) Q : 상태 (state)의 유한집합 Σ : 입력알파벳 (input alphabet) δ : Q×Σ→2Q의 전이함수 (transition function) δ(q, a)는 상태 q와 라벨 a에 전이가능한 모든상태의 집합 q0 : q0∈Q의 초기상태 (initial state) F : F⊆Q의 최종상태 (final state)의 집합 NFA의 상태전이도 δ의 확장 δ의 치역을 2Q로 확장

09 ε-동작을 포함하는 유한 오토마톤 [내부링크]

ε동작 공입력 ε에 의한 상태전이 ε동작을 포함하는 유한 오토마톤의 예시 임의개의 0, 임의개의 1, 임의개의 2가 순서대로 나열된 열을 수리하는 오토마톤 ε동작을 포함하는 비 결정성 유한 오토마톤(nondeterminisitc finite automaton with ε-move) (Q, Σ, δ, q0, F) Q : 상태 (state)의 유한집합 Σ : 입력알파벳 (input alphabet) δ : Q×(Σ∪{ε})→2Q의 전이함수 (transition function) q0 : q0∈Q의 초기상태 (initial state) F : F⊆Q의 최종상태 (final state)의 집합 ε동작을 포함하는 전이함수 ε-CLOSURE(q) 어떠한 상태 q에서 ε-동작에만 의해 전이되는 상태(전이처)의 집합 전이도로부터 라벨이 ε이 아닌 유향그래프를 모두 제거할때, q에서 도달 가능한 정점의 집합 P-closure = P 폐포(閉包) ε-CLOSURE(q0) = {q0, q1, q2} δ

01 전자기파의 스펙트럼 [내부링크]

전자기파란? 전기의 흐름으로부터 자기장이, 자기장의 변화로부터 전기장이 생긴다는 상관관계(전자기유도)가, 파동(진동)의 형태로 전파되는것 전자기장의 주기적인 변화가 진공중이나 물질중을 통과하는 횡파 멕스웰의 전자이론에 의해, 빛이나 X선이 전자기파라는것이 밝혀졌다. 전자기파의 종류 전자기파의 파장과 에너지 진공중에서의 빛의 속도 c = 2.9979 * 108 ≈ 3.0 * 108 파의 기본 식 c = vλ 빛의 에너지 E = hv = hc/λ (h : 플랑크상수) 파장의 역수(진동수) 에너지에 비례 진동수(frequency) v(Hz) = c/λ 파수(wavenumber) (cm-1) = 1/λ 빛 눈에 들어와 시감각을 자극하는 물리적 요인 가시광선뿐아니라 적외선과 자외선까지를 포함 가시광 약 380 nm ~ 780 nm 색 시각중 광파의 스펙트럼 구성의 차이에 의해 구별되는 감각 빛의 파장뿐 아니라, 일반적으로 색상, 채도, 명도의 3요소로 이루어짐 전자기파의 스펙트럼의 예시 태양

02 파장의 기술 [내부링크]

빛 입자성 파동성 회절 간섭 기하광학 빛의 기술 파면(wave front)이 평면인 파를 일반적으로 평면파(plane wave)라고 한다 파의 일반식 파(1차원)의 진폭, 주기, 파장, 변위 위상 x와 시간 t를 각각 λ와 T로 나누어 무차원화 매질의 변위가 위치 x와 시간 t만에 함수로 표현되며, y와 z에 의존하지 않음 평면파와 구면파 평면파와 달리 구면파(spherical wave)에서는 파면이 구면상으로 넓혀진다. 직선편광 원편광 구면파 볼록렌즈에 의한 평면파/구면파의 변환 파수와 각주파수 k : 파수(wavenumber) 단위길이당 포함되는 파의 수 λ의 역수 1/λ 단위 [m-1] w : 각주파수(angular frequency) 1초당 각도변화량 w 단위 [rad/s] 초기위상과 위상속도 초기위상 initial phase x = 0, t = 0일때의 위상 위상속도 phase velocity 등위상면이 나아가는 속도 파의 복소수표시 광학이나 양자역학에서는 복소수표시도 빈번

03 전자기파로서의 광파 [내부링크]

맥스웰 방정식 가우스 법칙 전하의 주위에는 사방으로 발산하는 전기장(자속밀도 D)가 발생한다 가우스 법칙 자하가 있어도 자기장(자속밀도 B)는 발산하지 않는다. 자하는 반드시 쌍을 이룬다 (N극 혹은 S극만의 자석은 존재하지 않음) 페러데이의 전자기 유도 법칙 자속밀도가 변화하면 E가 회전한다. 자속밀도를 변화시키면 전류가 발생한다 앙페르법칙 전류 j가 흐르거나, 전기장이 변화하면, 그 주위에 자기장이 발생한다 맥스웰방정식에서 사용되는 값 데카르트 좌표계에서의 발산(div)과 회전(rot)의 계산 전자기파로서의 광파 맥스웰방정식에 의하면, 전기장의 시간변화와 그 자기장의 시간변화는 서로 유도되며 진공중을 이동한다. 전자파는 횡파(transverse wave)이다. 전자파가 x방향으로 이동할때, 전기장벡터의 진동이 y방향이라면 자기장벡터의 진동은 z방향이다 E 전기장벡터 H 자기장벡터 S 포인팅벡터 파동방정식 x방향으로 이동하는 전기장의 파에 대해 y방향으로 진동하는 전기장 y방향으로

04 반사와 굴절 [내부링크]

기하광학(geometrical optics) 다루는 물질이 빛의 파장 λ에 비해 충분히 크고, 광파의 파동성이 무시가능할때, 파면에 수직한 광선(ray of light)만을 생각해도 충분하다 광선은 직진한다 광선역행(광선역진)의 원리 가역성 혹은 상반성(reciprocity) 반사 경면반사(specular reflection) 물체의 표면이 충분히 매끄러울때 일어나는 반사 확산반사(diffuse reflection) 물체의 표면히 충분히 거칠때 일어나는 반사 정반사광 광원에서 조명된 각도와 반대방향의 같은 각도로 튀어 나오는 빛 확산광(산란광) 정반사가 아닌 여러방향으로 확산되어 반사되는 빛 광척감 물질의 반사특성과 광택 반사성분 경면반사 확산반사 시점의존성 물질의 겉보기 경면성분 거칠기성분 레일리 기준 Rayleigh criterion 경면반사가 일어날 조건 표면의 올록볼록의 표준편차를 h라고 할때, (광로차가 파장에 비해 충분히 작아야함) 굴곡의 평균과 표준오차 cf. 평균 ym

10 정칙표현 [내부링크]

정칙표현 (regular expression) 언어를 표현하는 간단한 표현 유한 오토마톤에서 수리되는 언어의 클라스는, 정칙표현으로 나타나지는 언어의 클래스와 같다. UNIX커멘드행의 *, ?등 연접 Σ를 기호의 유한집합, L1, L2를 Σ의 유한집합이라 할때, 집합 { xy | x∈L1, y∈L2 }가 연접 L1L2로 표현 L1으로부터 취한 아무 원의 뒤에 L2의 아무 원을 계속해서 쓸수 있는 열의 전체 연접의 예 L1={10, 1}, L2={011, 11} 일때 L1L2={10011, 1011, 111} L은 집합이므로 1011은 하나만 포함된다. 폐포 L의 Kleene폐포 폐포의 예 폐포와 정폐포 L*는 임의개의 L의 원을 연접해서 만들어지는 어의 전체 L+는 L*중 0개의 경우(ε)를 제외한 것 L자체가 ε을 표현할때만 L+가 ε를 포함 폐포의 성질 LL*=L+ L*L*=L* L*L+=L+L*=L+ L+L+=LL+ 정칙표현의 정의 ∅는 정칙표현으로, 나타내는 집합은 공집합 ε

2.1 명제와 진리값 [내부링크]

명제 : 참(真)인가 거짓(偽)인가를 판단가능한 문장이나 식 명제의 예 1+1=2 (참) 34 > 54 (거짓) 명제가 아닌것 A는 키가 크다 1+1 명제변수 명제를 나타내기 위한 기호 p, q, r등을 사용 진리값 명제변수가 취하는 값, 참(T) 혹은 거짓(F)

2.2 논리 연산자와 진리값표 [내부링크]

기본적인 논리연산자 진리값표 항진명제(tautology) 항상 참이 되는 명제 모순명제 항상 거짓이 되는 명제

2.3 명제대수 [내부링크]

논리동치論理同値 두개의 명제가, 포함되어있는 명제변수의 진리값이 같을때 같은 진리값을 반환할때, 이를 논리동치라고 한다. 명제대수의 법칙

2.4 함의와 동치의 논리연산자 [내부링크]

함의 p라면 q p가 F인경우가 잘 이해가 안될수있는데 니가 김태희면 내가 강동원이다 라는 예제를 생각해보면 내가 강동원이든 아니든 니가 김태희가 아니니까 좀 이상하지만 맞는말이된다 표가 이상함, 내가 밑에 쓴게 맞음, 추후 수정예정 둘은 같은 연산자(논리동치)임을 확인할수 있다 동치 논리동치랑은 다른 애다! p와 q는 동치이다 p와 q가 같은 진리값(t,t 혹은 f,f)를 가질때 t를, 다를때 f를 반환한다. 조건문

3.1 술어 [내부링크]

술어 : 값이 정해지지 않은 변수를 포함해, 그 변수의 값에 따라 참, 거짓이 판별되는 문장 x는 2이상이다 x+1=2 이러한 문장은 x를 변수로 하는 술어이며, x를 자유변수라고 한다. 이러한 x를 변수로 갖는 술어는 P(x), Q(x)등으로 나타낸다. x는 2이상이다 라는 술어를 P(x)라고 할때, P(1)는 거짓, P(3)은 참이다. 자유 변수 x에 대한 술어를 x에 대한 조건이라 하며, 변수 x가 취할수 있는(술어의 참거짓과 관계없이) x의 변역이라 한다.

3.2 진리집합 [내부링크]

술어 P(x)의 진리집합이란, 술어(조건) P(x)를 만족하는 U의 요소전체의 집합이다. {x | P(x)}의 내포적 기법으로 표기할수 있다. 이때 보편집합은 U이며, P(x)가 진리집합에 x가 속하기 위한 조건을 나타낸다. 예를들어, x의 변역을 자연수전체로 둘때, 조건 P(x) : x≤3의 진리집합은 두개의 명제에 대해, 진리값 표가 일치할때 둘을 논리동치라 하듯, 두개의 술어에 대해, 진리집합이 일치할때 둘을 동치라 한다. 위의 예제에 대해, Q(x) : x <4 라고 하자. Q(x)의 진리집합은, { x | Q(x) } = { x | P(x) }이므로, P(x)와 Q(x)는 동치임을 알수 있다. 물론 x의 변역이 달라진다면(예를들어 자연수가 아닌 실수 전체라면), 진리집합이 달라지므로, 둘은 동치가 아니다. 동치관계인 술어에 대해, 이러한 표현을 사용할수 있지만, 명제의 논리동치와 구분하기 위해, 두번째 표기를 사용하기로 한다. x의 변역 U를 자연수 전체, P(x) : x≤

3.3 술어의 연산과 진리집합 [내부링크]

2.4절에서 다루었던 논리연산자 를 술어에도 동일하게 적용할수 있다. 명제에서 다루었던 함의와 동치에 대해서도 같은 적용이 가능하다. 이상의 내용이 이해가 안되서 암기를 해야겠다 하는 대학생은 다른 진로를 찾아보는편이 낫지 않나 생각합니다.

1.6 여러가지 계산연습 [내부링크]

이전절에서, α∈ℂ에 대해, 임을 보였다. 이때, 삼각함수의 미분과, 덧셈정리등은 기존의 삼각함수와 같은 성직을 갖는것을 확인할수 있었다. cos(1+i)를 a+ib의 형태로 나타내어라 복소수의 복소수승 와~ 복소수만큼 곱한다는게 무슨 개소리일까, 근데 사실 우리는 이미 오일러 공식에서 이를 접했다. 식을 위의 꼴로 정리해 마지막에 삼각함수 꼴로 바꿔주면 된다. 는 지랄이고 로그함수를 이용하면된다 ii를 계산하여라 로 쓸수 있다. 따라서, 로 바꿔쓸수있다는 개지랄은 하지마시고, 앞에꺼만 바꿔쓰면된다. 이와같이, i의 i승은 실수가 된다는... 놀라운 사실을 알수있다 이로서 기존에 사용하던 함수들을 복소수 영역으로 끌어와 재정의하고 익혀보았다. 다음시간부터는 복소함수를 다룬다.

2.1 복소함수 [내부링크]

제 2장 복소함수와 미분 2.1 복소함수 복소수 z에 대해, w를 대응시키는 함수 이때, z=x+iy, w=u+iv로 두면, 의 실수 2변수의 실수함수 u(x, y), v(x, y)를 사용해 나타낼수 있다. u(x,y) : f(z)의 실수부 v(x,y) : f(z)의 허수부 이하의 복소함수의 실수부와 허수부를 구하여라 (1) (2)

2.2 복소함수의 극한 [내부링크]

연속성 f(z) : D를 정의역으로 포함하는 영역 a : D혹은 그 경계상의 점 에 대해, f(z)가 z=a에서 극한값 c∈ℂ를 가진다는것은, 다음 복소함수의 극한값을 구하여라 (1) (2) 따라서 극한값은 존재하지 않는다. 연속함수 f(z) : D를 정의역으로 포함하는 영역 a : D의 점 이상을 만족할때, f(z)는 a에서 연속이다. 또한, f(z)가 D의 모든 점에서 연속일때, f(z)는 D에서 연속이다. f(z)=u(x, y)+iv(x, y)로 쓸때,

1.1 집합이란 [내부링크]

집합 : 어떤 것을 모아둔것 요소원要素元 : 집합을 구성하는 것 b는 A의 요소이다 b는 A에 속한다 A는 b를 요소로서 가진다 위는 모두 같은 표현이며 다음과같은 기호로 표현한다. 중복해서 써도 틀린건 아니지만 요소는 하나씩만 쓴다 아무 요소도 포함하지 않는 집합을 공집합空集合라고 한다 집합 A와 B가 같다는것은, A와 B가 각각 가진 요소가 같을때에 한정한다 집합내의 요소는 순서에 의존하지 않는다 부분집합 집합 A의 모든 요소가 집합 B의 요소로 이루어질때, A는 B의 부분집합이다. 부분집합의 정의에 의해, 모든 집합은 자신의 부분집합이다. 서로가 서로의 부분집합이라면 두 집합은 같은 집합이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 보편집합 普遍集合 의론의 대상이 되는 모든것을 모아둔것을 그 의론에 대한 보편집합이라고 한다. (본 강의에서는 0은 자연수로 다루지 않겠다.) 이외에도 ℚ : 유리수 전체의 집합 ℝ : 실수 전체의 집합 ℂ : 복소수 전체의 집합 보편집합을 다루면 보집

1.2 집합의 표기 [내부링크]

외연적外延的기법과 내포적内包的기법 외연적기법은 요소를 나열하는 방법이며, 내포적기법은 요소가 만족하는 성질을 사용해 표현한다. 외연적기법을 내포적기법으로 바꿀수 있다 보편집합을 명시하고 싶을때, 와 같은 식으로 표기할수 있다. 내포적 기법의 일반형은 다음과같이 나타낼수 있다.

1.3 집합의 기본적 연산 [내부링크]

덤으로... 위와 같이, 자기자신을 포함하지 않는 집합들을 원소로 가지는 집합이 있다고 하자. 이때 집합 R은 자기 자신을 포함하는가? 위와 같이, 어떻게 해도 모순이 생겨버리게 된다. 이는 집합론에서 유명한 러셀의 역설로, 이발사의 역설이나 거짓말쟁이 역설로도 알려져있다.

시간함수의 라플라스 변환 [내부링크]

라플라스변환 시간함수 x(t)의 라플라스 변환을 X(s)라고 할때, (j는 허수단위) 라플라스 변환은 주파수 영역에서 사용하기 위한 장치이다. 푸리에변환과 라플라스변환 비슷한것으로 푸리에 변환이 있는데, 지수부분과 적분범위에 약간의 차이가 있다. 푸리에 변환이 불가능한 함수들도 이 차이때문에 라플라스변환은 가능하다. 푸리에변환이 불가하지만 라플라스변환이 가능한 함수 단위 스텝함수 푸리에 변환시 라플라스 변환

03 증명 [내부링크]

귀납법 P(n) : 음이 아닌 정수 n에 관한 명제 P(0) : 증명의 근간 P(n-1) : 귀납법의 가정 P(n-1)이라면 P(n) 시그마 공식의 유도 구성적증명 정리를 증명하기 위해 그 근거를 쌓아올림 배리법, 귀류법 정리의 부정을 가정해 모순을 도출 √2가 무리수임을 증명

04 잘못된 증명 [내부링크]

2=1 당연하지만 0으로 나누면 안된다 모든 말은 같은 털색을 가진다 임의의 h마리의 말의 집합에 대해, 모든 말은 같은 털색을 가진다. h=1일때는 자명하다. h=k일때 이 가설이 성립한다고 하자. h=k+1의 집합 H에 대해, H에서 임의의 한마리를 제외한 k마리로 이루어진 집합 H1에서 성립 다른 임의의 한마리를 제외한 k마리로 이루어진 집합 H2에서도 성립 따라서 모든 말은 같은 털색을 가진다 H1과 H2가 공통요소가 없는 h=2인 경우에서 성립하지 않는다.

05 집합 [내부링크]

집합 (set) 집합은 어떤 종류의 대상을 중복없이 모은것이다. 모여지는 대상을 원元, 요소(member)라고 한다. 요소가 없는 집합도 존재할수 있으며 이를 공집합이라 한다. ∅={ } 집합의 표기법에는 모든 요소를 나열하는 외연적표기와 명제를 사용한 내연적표기가 있다 https://blog.naver.com/asukajang/223072176719 부분집합 A가 B의 부분집합 A⊆B A의 모든 요소는 B의 요소에 포함된다 A가 B의 진부분집합 A⊂B A⊆B and A≠B A와 B가 같다 A=B A⊆B and B⊆A 집합의 연산 합 A∪B = { x | x ∈ A or B } 공통부분 A∩B = { x | x ∈ A and B } 차 A-B = { x | x ∈ A and x ∉B } 곱집합 A×B = { (x, y) | x ∈ A and y ∈ B } 멱집합 2A = { B | B⊆A } 집합의 농도 (cardinality) 집합 S1이 집합 S2상의 1대1사상이 존재할경우, 둘

06 관계 [내부링크]

관계 (relation) 순서쌍의 집합을 이항관계 (binary relation)이라 한다. 쌍의 첫번째 요소의 집합이 정의역 (domain) 쌍의 두번째 요소의 집합이 치역 (range) 정의역과 치역이 집합S로 동일할때,이를 S상의 관계 (realtion on S) (a, b)가 관계 R에 속할 때 aRb로 쓴다. 관계의 성질 반사적 (reflexive) S의 각요소 a에 대해 aRa가 성립 비반사적 (irreflexive) S의 각요소 a에 대해 aRa가 성립하지 않음 대소관계 "<"에 대해 a<a 는 항상 성립하지 않으므로 비반사적 추이적 (transitive) aRb 및 bRc일때 항상 aRc가 존재 a<b 및 b<c라면 a<c 대칭적 (symmetric) aRb일때 항상 bRa이다 비대칭적 aRb일때 bRa가 절대 성립하지 않음 비대칭적인 관계는 항상 비반사적 a<b일때 b<a는 성립하지 않음, 대소관계가 비반사적인것은 비대칭성으로부터 자명하며 실제로 a<a는 성립하지 않

1.4 복소수의 극형식 [내부링크]

2.1.1 극형식 α=a+bi를 복소수평면상의 점 (a, b)로 취급할때의 극좌표를 (r, θ)라고 한다. 이때 a=r cosθ, b=r sinθ인것으로부터 이것을 α의 극형식이라 한다. 이때 θ는 α의 편각이라 하며, 2.1.2 극형식의 곱 복소수 α1, α2에 대해, 이상으로부터 복소수의 곱은 확대(축소)와 회전임을 알수 있다. 2.1.3 드 무아브르의 공식 더 나아가, 이를 이용해, α의 n제곱근은, (xn=α의 해는) 연습문제 (1+i)1/3을 구하여라

1.5 지수함수와 삼각함수 [내부링크]

앞으로는 극형식 α=r(cosθ+i sinθ)에 대해, 오일러 공식 를 도입해, 로 줄여쓰기로 하자. 교수님이 귀찮다고 함. 이 기호는 지수법칙도 만족하는것을 확인할수 있다. 이것저것 확인해볼수있다 그런데 eα는 뭘까? 에초에 복소수만큼 제곱한다는게 무슨 개소리일까?? α=a+ib에 대해, eα는 다음과 같이 정의된다. 그럼 log α는 ㅜ멀까? 이젠 막나가는거같은데 log x는 ex의 역함수임에 유의하면, log eα=α 근데 인데, 뒤의 iθ부분이 바뀔수 있다는 문제가 있기때문에, 범위를 제한할 필요가 있다. 그럼 sin α, cos α는 뭘까?? 기존의 삼각함수에 대해, 로 나타낼수 있다. 이것을 이용해, α=a+ib를 대입하면

02 그래프, 트리 [내부링크]

그래프 (graph) G=(V,E) 정점(노드)의 집합 V (Vertex) 간선의 집합 E (Edge) 경로 (v1, v2), (v2, v3), ... , (vk-1, vk) (k≥1)이 모두 간선인 어떠한 정점의 나열 v1, v2, ..., vk 길이 v1, v2, ... , vk (k≥1)가 그래프의 경로일때 경로의 길이는 k-1 방향그래프 (directed graph, digraph) G=(V,E) 정점의 집합 V 정점의 순서쌍, 방향간선(arc)의 집합 E v→w가 방향간선일때, v는 w의 전자(predecessor), w는 v의 후자(successor) 트리 (tree, ordered directed tree) root가 하나 존재한다. predecessor를 갖지않는다. 트리의 모든 정점은 루트로부터의 경로가 존재한다. 루트를 제외한 정점은 각각 하나의 predecessor를 가진다. 이 predecessor를 부모노드라고 한다. 각 정점의 successor는 왼쪽에서 오

1.1 복소수의 연산 [내부링크]

제 1장 복소수와 복소평면 1.1 복소수의 연산 1.1.1 복소수 복소수란, 2개의 실수 a,b와 문자 i를 사용해 α=a+ib로 표현되는 수를 말한다. 이때, a를 α의 실수부実部, b를 α의 허수부虚部라고 부른다. 로 나타낸다, 또한 i를 허수단위라고 하자. 1.1.2 복소수의 합 2개의 복소수 α=a+ib, β=c+id의 합(+), 차(-)는 α±β=(a±c)+i(b±d) 로 정해진다. 1.1.3 복소수의 곱 α와 β의 곱을 i2=-1로 정해, 합과 곱의 분배법칙 αβ=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(bc+ad) 로 정해진다. 1.1.4 복소수의 행렬표시 복소수의 합, 차, 곱의 구조는 다음과 같이 행렬의 연산을 이용해 표현가능하다. 특히, 가 되는데, 각각을 제곱하면 복소수의 합, 차 복소수의 곱 1.1.5 복소수의 나눗셈

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