matina76의 등록된 링크
matina76로 등록된 네이버 블로그 포스트 수는 200건입니다.
삼각형의 내심과 외심, 다양한 문제 - 5문항 [내부링크]
지난번에 이어서 이번에도 삼각형의 내심과 외심 문제를 함께 풀어봐요. 종이와 필기구 준비했지요? 반드시 먼저 풀어보고 확인해 봐야 해요. 1. 내심은 내각의 이등분선의 교점 평행선 사이의 엇각의 크기는 같다. 이 성질을 이용하면 삼각형 BDI, CEI는 이등변삼각형입니다. 2. 2번에서 이용한 성질을 이용하면 삼각형 BDI, CEI가 이등변삼각형이므로 점 D, E는 선분 BC의 삼등분점입니다. 3. 삼각형의 넓이를 구하는 법은 두 가지입니다. (밑변)×(높이)×1/2 1/2×r(a+b+c) 4. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 있습니다. 꼭짓점에서 외심까지 반지름을 연결하면 각 AOC의 바깥쪽의 각이 각 x의 두 배입니다. 5. 삼각형의 둘레의 길이는 2a+2b+4, a+b=10, 삼각형 넓이는 1/2×2(2a+2b+4) 여러 가지 문제들을 풀어봤어요. 이해가 잘 되었나요? 잘 보고 차근차근 따라가면 이해가 될 거예요. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요.^^
삼각형의 내심, 개념 정리, 중2 수학 [내부링크]
이번에는 삼각형의 내심에 대하여 알아볼게요. 내심과 외심의 성질을 잘 구분해서 알고 있어야 해요. 이제 삼각형의 외심에 대해 알아볼까요? 1. 삼각형의 내심 (1) 접선과 접점 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선은 원에 접한다고 합니다. 이때, 원에 접하는 직선을 접선, 원과 직선이 만나는 점을 접선이라고 합니다. 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직입니다. (2) 내접원과 내심 내접원 - 한 다각형의 모든 변이 원 I에 접할 때, 원 I는 다각형에 내접한다고 합니다. 이때, 원 I를 다각형의 내접원이라고 합니다. 내심 - 내접원의 중심을 내심이라고 합니다. . 2. 내심의 성질 (1) 세 내각의 이등분선의 교점 (2) 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다. (내접원의 반지름) 내심의 증명> (3) 증명> 삼각형의 내각의 합이 180도이므로 이해하기 쉽습니다. (4) 증명> 삼각형의 외각의 크기는 이웃하지 않은 내각의 크기의 합이라는 성질을 이용하면 됩니다.
삼각형의 외심, 개념 정리, 중2 수학 [내부링크]
이번에는 삼각형의 성질 중에서 외심에 대해 알아볼게요. 외접원의 중심인 외심과 내심에 대해 순차적으로 공부해 볼 건데요. 비슷해 보이지만 다른 내용이니까 잘 구분해서 알고 있어야 해요. 1. 삼각형의 외심 외접 - 한 다각형의 모든 꼭짓점이 원 O 위에 있을 때, 원 O는 다각형에 외접한다고 합니다. 외접원 - 이때, 다각형에 외접하는 원 O를 외접원이라고 합니다. 외심 - 외접원의 중심. 2. 삼각형의 외심의 성질 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심. 세 변의 꼭짓점에서 외심에 이르는 거리는 같다. (외접원의 반지름) 그림에서 보면 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 것, 꼭짓점에서 외심까지 이르는 거리는 외접원의 반지름이므로 같다는 것을 알 수 있습니다. 외심의 증명 증명 과정에서 특히 RHS 합동이라는 것을 꼭 기억해야 합니다. 증명> 삼각형 AOB, AOC, BOC는 모두 이등변 삼각형이므로 밑각의 크기가 같습니다. 삼각형의 내각의 크기의 합이 180도임을 생각하면 이해
이등변삼각형, 직각삼각형 합동 문제 - 5문항 [내부링크]
이번에는 시험에 잘 나오는 문제 유형들로 가지고 왔어요. 1. 이등변삼각형의 밑각의 크기가 같다. 삼각형 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 각의 합. 요 성질을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 2. 3. 4. 점 D에서 변 AB에 수선을 그어서 합동인 직각삼각형을 만들어야 한다. 삼각형 넓이를 구한다. 이 두 가지를 꼭 기억해야 합니다. 5. 직각삼각형 합동으로 선분 DE의 길이를 구한다. 삼각형 ABC는 사다리꼴에서 두 직각삼각형을 빼서 구한다. 문제를 풀 때, 꼭 기억해야 할 내용을 기억해서 다음에 그 문제가 나왔을 때 풀 수 있도록 해야 합니다. 사소한 습관이 모여서 실력이 됩니다. 오늘 내용도 꼭 다시 풀어서 복습해야 해요.^^
직각삼각형의 합동, 각의 이등분선, 중2 수학 [내부링크]
이번에는 직각삼각형 합동에 대해 알아볼게요. 이미 알고 있는 삼각형의 합동 조건으로도 합동을 알 수 있지만, 특히 직각삼각형일 때는 직각삼각형의 합동 조건을 알고 있으면 합동인 삼각형을 빠르고 쉽게 찾을 수 있습니다. 1. 직각삼각형의 합동 조건 (1) RHA 합동 - 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 직각삼각형은 합동이다. 증명> 두 직각삼각형이 ASA 합동이므로 빗변과 한 예각의 크기가 각각 같으면 항상 합동입니다. (2) RHS 합동 - 빗변의 길이와 한 변의 길이가 각각 같은 직각삼각형은 합동이다. 증명> 두 직각삼각형이 ASA 합동이므로 빗변의 길이와 한 볏의 길이가 같으면 항상 합동입니다. 2. 각의 이등분선 (1) 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각을 이루는 직선까지 이르는 거리는 같다. (2) 각을 이루는 두 직선에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다. 증명> (1) 두 직각삼각형이 RHA 합동이므로 각의 이등분선에서 각을 이루는 직선까지의 거
이등변삼각형, 기본적인 문제, 중2 수학 - 5문항 [내부링크]
이등변삼각형의 성질들이 문제에서 어떻게 활용되는지 봐야지요? 1. 이등변삼각형의 밑각의 크기가 같으므로, 각을 이등분한 각도 같습니다. 삼각형 DBC도 이등변삼각형입니다. 2. 종이접기에서는 평행선 사이의 엇각의 크기는 같다. 접은 각과 남은 공간의 각의 크기는 같다. 이 부분을 기억하세요. 이 문제에서는 밑각의 크기가 같으므로 삼각형 ABC가 이등변삼각형입니다. 3. 두 직각삼각형이 합동이니까 삼각형 ABC의 밑각의 크기가 같습니다. 4. 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분한다. 직각삼각형에서는 넓이를 구하는 방식이 두 가지라는 것을 기억해야 해요. 5. 이등변삼각형의 밑각의 크기가 같다. 삼각형의 외각의 크기를 구한다. 이 두 가지를 기억하면 어렵지 않아요. 기억해야 할 내용이 많지는 않아요. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요~^^
이등변삼각형, 개념 정리, 중2 수학 [내부링크]
이번에는 중2 삼각형 중 이등변삼각형을 공부해볼 거예요. 정말 쉬운 단원이니까 잘 정리해봐요. 1. 이등변삼각형 - 두 변의 길이가 같은 삼각형 꼭지각 - 길이가 같은 두 변이 이루는 각 밑변 - 꼭지각의 대변 밑각 - 밑변의 양 끝 각 2. 이등변삼각형 성질 (1) 두 밑각의 크기가 같다. 증명> (2) 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 증명> 3. 이등변삼각형이 되기 위한 조건 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. 증명> 예제> 이등변삼각형은 어렵지 않아요. 잘 보고 알아두면 됩니다. 오늘도 복습 잊지 마세요.
수학 문제를 풀면 푸는 문제마다 안 풀리고, 풀더라도 확신이 없을 때 해야 하는 것 [내부링크]
수학 공부를 할 때, 배우는 대로 다 알 것 같나요? 푸는 문제마다 다 술술 풀리나요? 그렇다면 얼마나 좋을까요? 배우고 나면 돌아서면 까먹고, 다시 봐도 모르겠고, 아는 것 같은데 문제를 풀어보면 모르는 것 같지요. 그냥 잊어버려서, 개념을 이해 못 해서 모르는 거면, 공부를 더 하면 될 것 같은데, 개념은 아는 것 같은데, 문제가 안 풀리면 어떻게 해야 할까요? 도대체 아는 건지 모르는 건지 헷갈리지요. 확실하게 말할 수 있는 건, 개념을 아는 것 같은데 문제가 안 풀린다? 아직 잘 모르는 겁니다. 아는 것 같지만, 모르는 거니까 개념을 꺼내 쓰지 못하는 겁니다. 여러 번 강조한 것 같은데 개념은 공부하면 백지에 다 써 내려갈 수 있어야 제대로 아는 겁니다. 알지만 문제가 안 풀린다면, 무조건 개념으로 돌아가야 합니다. 개념 공부를 다시 해서, 백지에 써 내려갈 수 있을 정도로 머릿속에 넣습니다. 공식이 나온다면 증명도 다 할 수 있어야 하고, 성질들이 나온다면 이유도 꼼꼼히 알
중2 확률, 여러 가지 유형 문제, 중학교 수학 - 5문항 [내부링크]
이번에도 확률의 다양한 유형 문제들을 풀어볼게요. 확률은 같은 내용이 형태를 바꿔서 나오기 때문에 달라 보이지만 알고 나면 같은 문제입니다. 눈을 크게 뜨고 살펴볼까요? 1. 삼각형의 결정 조건을 기억해야 합니다. 확률의 계산을 배우더라도, 확률의 기본은 전체 경우의 수 중 해당 경우의 수의 비율인 것을 잊으면 안 돼요. 2. 확률, 경우의 수에서는 부등식, 방정식, 함수 개념이 함께 나오는 경우가 많습니다. 이미 배운 내용을 잘 알고 있어야 합니다. 이 문제에서는 일차함수의 교점에 대한 내용이 나왔습니다. 교점은 일차함수의 공통 해이므로 연립방정식의 해입니다. 두 식을 연립해서 a, b의 관계식을 구해야 합니다. 3. 전구에 불이 들어오려면, A, B 중 하나라도 닫혀있으면 됩니다. 불이 들어오지 않으려면, A, B 모두 열려있어야 합니다. 4. a × b가 짝수가 되려면, (짝수)×(짝수), (짝수)×(홀수), (홀수)×(짝수)일 때입니다. 구해야 하는 경우가 너무 많으니까, 여
중2 수학, 확률, 여러 가지 문제 유형 - 5문항 [내부링크]
확률의 개념을 공부했으니 이제 문제를 풀어봐야지요. 개념 잘 기억하고 있지요? 1. 비기는 경우는 모두 같은 것을 내는 경우와 모두 다른 것을 내는 경우가 있습니다. 두 경우의 확률을 구해서 더합니다. 승부가 결정되려면 전체 확률 1에서 비기는 경우의 확률을 빼면 됩니다. 2. 적어도 한 명은 남학생이 대표로 뽑히려면, 남학생 한 명, 여학생 한 명 또는 모두 남학생이 대표로 뽑히는 두 가지 확률을 구해서 더해야 합니다. 그보다는 여사건인 모두 여학생을 대표로 뽑는 경우의 확률을 구해서 전체 확률 1에서 빼는 것이 편리합니다. 3. ㅡ세 자리 자연수의 백의 자리에는 0을 사용할 수 없으므로 0일 뺀 4장 중 선택하므로 4가지, 십의 자리에는 백의 자리에 사용한 수를 제외한 4가지, 일의 자리에는 백의 자리, 십의 자리에 사용한 수를 제외한 3가지를 선택 가능합니다. 200 이하의 수는 무조건 백의 자리는 1이므로, 1로 채워놓고 경우의 수를 구합니다. 400 이상의 수는 무조건 백의
중2 수학, 확률의 계산, 알면 쉬워요. [내부링크]
이번에는 확률의 계산을 알아볼게요. 앞부분을 잘 이해했다면 연결되는 내용이니까 쉬울 거예요. 이제 들어가 볼까요? 1. 확률의 덧셈 - 합의 법칙과 같다고 생각하면 됩니다. 어떤 사건이 한꺼번에 일어나지 않을 때, 각 확률을 더하면 됩니다. 예제> 1부터 12까지의 자연수가 각각 적힌 12장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, 카드에 적힌 수가 소수 또는 6의 배수일 확률을 구하시오. 소수일 확률과 6의 배수일 확률은 한꺼번에 일어나지 않으니까 더해줍니다. 2. 확률의 곱셈 - 곱의 법칙과 같다고 생각하면 됩니다. 어떤 사건이 한꺼번에 일어날 때, 각 확률을 곱하면 됩니다. 예제> 어느 야구 팀의 5번 타자와 6번 타자가 안타를 칠 확률은 각각 0.2, 0.3이다. 5번 타자와 6번 타자가 연속으로 안타를 칠 확률을 구하시오. 풀이> 0.2×0.3= 0.06 연속으로 안타를 치는 건 5번 타자가 안타를 치고, 6번 타자도 안타를 쳐야 합니다. 모두 한꺼번에 일어나야 하니까 곱해줍니다.
고1 수학, 산술평균과 기하평균의 관계, 쉽고 정확하게 알아봐요. [내부링크]
이번에는 절대부등식에서 학생들이 까다롭게 여기는 부분이에요. 알다시피 언제나 알면 쉽고 모르면 어려운 거예요. 오늘도 쉽게 설명해 볼게요. 1. 산술평균과 기하평균의 관계 증명 산술평균과 기하평균의 관계를 증명해 볼게요. 서로 빼면 분자가 완전제곱식입니다. a, b가 양수니까 실수의 제곱이므로 0 이상입니다. 편리한 사용 산술 기하평균 문제는 항상 양변에 2를 곱하는 것부터 시작합니다. 그러니까 처음부터 2를 곱해놓고 시작하는 게 편리합니다. 등호 성립할 때의 값 문제를 풀다 보면 최댓값 또는 최솟값을 묻는 경우가 많아서 등호가 성립할 때의 값은 구할 필요가 없습니다. 완벽하게 숙지되기 전까지는 등호가 성립할 때의 값을 구해보는 습관을 가지는 것이 좋습니다. 그래야 정확하게 이해할 뿐만 아니라, 잊지 않게 됩니다. 문제 유형은 구분해서 기억하는 게 좋습니다. 2. 예제 - 곱 또는 합이 일정할 때 3. 예제 - 식을 전개하는 경우 괄호 안의 식의 최솟값을 각각 구해서 곱하면 안 되는
절대부등식, 보면 아는 내용이지만 꼭 정리해서 알고 있어야 해요. 고1 수학 [내부링크]
이번에는 절대부등식에 대해 알아볼 거예요. 여러 가지 증명에 사용되는 내용들을 설명할 거예요. 보면 너무 당연하고 이미 다 알고 있는 내용이니까 어렵지 않아요. 다만, 머릿속에 정리해서 이런 내용이 있으니 나올 수 있다는 것을 인지하고 있어야 합니다. 그냥 알고 있기만 하면 막상 써야 할 때 떠오르지 않습니다. 1. 절대부등식 - 부등식의 문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식 2. 부등식 증명에 이용되는 실수의 성질 a, b가 실수일 때, 예> x가 실수일 때, 3. 여러 가지 절대부등식 부등식 문제에서 자주 이용되는 절대부등식입니다. a, b, c가 실수일 때, a, b, c가 실수이므로 제곱했을 때 0 이상입니다. 4. 실수 또는 식의 대소 비교 대소 비교에서 일반적으로 사용하는 방법을 정리해 볼게요. 역시 아는 내용이 대부분이지요? 위 내용에 식이 성립하는 이유를 증명을 통해 설명해 놓았습니다. 항상 왜 이 식이 성립하는지 꼭 알고 다른 사람에게 설명할 수 있을 정
명제의 증명, 개념 설명, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 명제에 나오는 용어와 증명에 대해 공부해 볼 거예요. 1. 정의 - 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장 정리 - 참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것, 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것. 정의는 증명이 필요 없는 이름이고, 정리는 증명 가능한 성질이라고 보면 됩니다. 증명 - 정의나 명제의 가정 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용하여 어떤 명제가 참임을 증명하는 것. 예> 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. - 정의 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. - 정리 2. 명제의 증명 대우를 이용한 증명 - 대우 명제가 참이면 명제도 참이니까 대우가 참임을 증명하는 방법. 예> 명제 '자연수 a, b에 대하여 ab가 짝수이면 a 또는 b가 짝수이다.' 가 참임을 대우를 이용하여 증명하시오. 대우 : 자연수 a, b에 대하여 a, b가 모두 홀수이면 ab는 홀수이다. a, b가 모두 홀수이면, a = 2m-1, b = 2n-1 (m, n은 자연수), ab
공부를 왜 해야 할까요? 공부를 많이 해야 한다고 억울해 하지 않아도 됩니다. [내부링크]
학생들을 보면, 공부를 다 하기 싫어합니다. 많은 학생들이, 공부를 해야 하니까, 하기 싫긴 하지만 하는 느낌으로 공부를 잡고 있는 것 같아요. 그러다가 공부가 힘들고 하기 싫으면, 공부를 왜 해야 하는지, 안 할 순 없는지 물어봅니다. 현실적인 이야기를 한다면, 대학은 꼭 가야 하니까, 공부를 열심히 맹렬히 해야 한다고 말해줍니다. 학생들은 아직 잘 모르지만, 대학을 졸업하고 사회에 나간다고 해도 그 나이대의 사람들은, 법적으로는 성인이지만, 아직 사회에 첫 발을 내디딘 경험한 것이 전혀 없는 미완성의 어른이니까, 즉 커리어가 전혀 없는 미성년자와 별다를 게 없는 상태입니다. 그런 상태에서 현재 스스로를 증명할 수 있는 가장 확실한 게 출신 학교, 학점, 전공이라고. 사실 학생들에게 공부가 전부다, 대학이 전부다, 이런 식으로 말하고 싶지는 않습니다. 현재 스스로 가지고 있는 재능이 공부가 아닌 다른 특별한 것이 있다면, 그걸 하면 되겠지요. 다만, 현재 그런 것이 아니라면 사회에
취약한 단원은 어떻게 해야 정복할 수 있을까요? [내부링크]
수학 공부가 어려운가요? 수학 공부를 하다 보면, 모든 단원이 어려운 건 아니에요. 또 모든 유형의 문제를 다 어려워하는 건 아닙니다. 좀 잘 하는 단원도 있지만, 어려운 단원이 있는 거고, 유독 매번 틀리는 유형의 문제가 있는 거지요. 그런데 학생들이 문제를 푸는 것을 보면, 매번 아는 문제만 풀고, 잘 푸는 단원의 문제들만 풉니다. 학생은 모르니까 못 풀어서 그렇다는 말도 하고, 잘 못하니까 풀기 싫어서 피한 거라는 말도 합니다. 학생의 그 심정도 이해합니다. 그런데 아는 문제만 풀면 실력이 늘까요? 수학을 잘 하려면 잘 모르는 그 유형을 풀어야 하고, 잘 못해서 피하는 그 단원의 문제들을 풀어야 하는 거잖아요. 아는 문제는 지금도 알고, 나중에도 아는 문제인데 왜 그 문제들만 풀면서 시간을 보낸다면 매번 실력은 제자리일 겁니다. 모르는 문제를 아는 문제로 만드는 데 시간을 써야지요. 그럼 어떻게 해야 할까요? 취약 단원이나 유형은 시간을 따로 내어서, 시간을 잡고 공부를 하는
확률의 뜻과 성질, 여사건의 확률, 쉬운 개념 설명, 중2 수학 [내부링크]
이번에는 확률에 대해 공부해 볼 거예요. 경우의 수 개념이 잘 잡혀있어야 쉽습니다. 오늘도 쉽게 설명해 볼게요. 1. 확률의 뜻 같은 조건에서 실험이나 관찰을 반복할 때, 어떤 사건이 일어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지면, 이 일정한 값을 확률이라 한다. 너무 어렵지 않나요? 쉽게 말해, 확률은 어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것입니다. 사건 A가 일어날 확률을 p라고 한다면, 2. 확률의 성질 (1) 반드시 일어나는 사건의 확률은 1 (2) 절대 일어나지 않는 사건의 확률은 0 (3) 확률의 범위 예> 한 개의 주사위를 던질 때 (1) 주사위 눈이 3 이하가 나올 확률 : 3/6 = 1/2 (2) 주사위 눈이 7일 확률 : 0/6 = 0 (3) 주사위 눈이 6 이하일 확률 : 6/6 =1 3. 여사건의 확률 사건 A가 일어날 확률이 p라 할 때, 전체 확률이 1이므로, 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p입니다. 예> 한 개의 주사위를 던질 때, 주사위 눈이 6의
필요조건, 충분조건 잘 구분하는 법, 명제 문제 잘 푸는 법 - 3문항 [내부링크]
충분조건, 필요조건 문제를 어려워하는 학생들이 많습니다. 잘할 수 있는 방법은 없을까요? 물론 있습니다. 명제 문제들은 수학적인 내공이 있으면 어렵지 않습니다. 아는 게 많으면 뭐든 쉽지요. 조건들을 봤을 때, 의미 파악이 빠르면 아무래도 쉬워요. 그런데 그런 부분이 약해도 잘할 수 있는 방법이 필요한 거잖아요. 그럼 지금 필요한 그 방법을 알려드릴게요. 문제를 풀 때, 1번부터 5번까지 나오면, 답을 구하더라도 모든 보기를 다 확인해 보는 겁니다. 왜 이게 답이 아닌지 확인해 보고 스스로 판단한 게 맞는지 꼭 확인해 보는 겁니다. 예를 들면, 이런 식입니다. 1. 2. 3. 이런 식으로 문제에 나오는 내용들을 다 파악해 보고 반례도 들어서 확인해 보는 과정을 거쳐서 풀면 짧은 시간 안에 빠르게 실력을 쌓을 수 있습니다. 이런 식으로 문제를 풀면 명제 단원의 개념도 잘 잡을 수 있고, 수학 전체에 대한 기초도 탄탄하게 다질 수 있습니다. 조금 번거롭고 귀찮을 수 있지만, 따로 시간을
중3 수학, 이차방정식 풀이, 자주 출제되는 문제, 완전제곱식 이용한 풀이, 근의 공식 유도과정 - 7문항 [내부링크]
중2 수학 이차방정식 풀이에서 자주 출제되는 문제들을 풀어볼게요. 단순 풀이 문제와 전에 풀었던 문제는 제외했습니다. 어려운 문제는 아니지만 실수하기 쉬운 문제와 너무 당연해서 지나치기 쉬운 문제들은 포함했어요. 이번에도 문제 풀이의 꿀팁들이 가득하니까 모두 챙겨가세요.^^ 이제 문제 풀이 들어갈게요~^^ 1, 이런 문제는 절대 해를 구하지 마세요. 물론 해를 구해서 대입해서 계산해도 답은 나오겠지만, 시간도 많이 걸리고 연산도 틀리기 쉽습니다. x=p를 대입해서 ÷ p로 원하는 값을 구한다는 것을 기억하세요. 2. 3. 문제를 보면 이차방정식을 완전제곱식 형태입니다. 이럴 때는 절대 전개해서 해를 구하지 마세요. 전개해서 해를 구해도 같은 결과가 나오겠지만, 시간이 더 걸립니다. 위의 풀이처럼 문제에서 완전제곱식을 이용한 풀이로 반을 풀어줬으니 이어서 풀면 됩니다. 문제에서 풀어준 건 활용을 해야지요.^^ 4. 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이는 시험에 자주 출제됩니다. 객관식
고1 수학, 다항식의 연산, 개념 정리 [내부링크]
이번에는 고등수학(상)에서 다항식 연산의 개념을 배워볼게요. 다항식의 연산은 중1, 2의 식의 계산에서 배운 내용에 조금 추가된다고 생각하면 됩니다. 중학교 과정에서 이미 배웠지만, 다항식에 나오는 용어부터 복습해 볼게요. 1. 다항식에 나오는 용어 항 - 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식 상수항 - 특정한 문자를 포함하지 않는 항, 문자가 없는 항 계수 - 항에서 특정 문자를 제외한 나머지 부분 다항식 - 한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식 단항식 - 하나의 항으로만 이루어진 식 차수 - 항의 차수 : 항에서 특정 문자가 곱해진 개수 - 다항식의 차수 : 다항식에서 최고차항의 차수 동류항 - 특정 문자에 대해 차수가 같은 항 2. 다항식의 정리 내림차순 정리 : 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것 오름차순 정리 : 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것 3. 다항식의 덧셈과 뺄셈 중2-1에서 배운 대로
다항식의 나눗셈, 조립제법, 고등수학(상) [내부링크]
이번에는 수학(상)의 다항식의 나눗셈을 배워볼게요. 1. 다항식의 나눗셈 (1) (단항식)÷(단항식) 예제> (2) (다항식)÷(다항식) 나누는 식을 내림차순으로 정리한 후, 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 세로식으로 나누어서 몫과 나머지를 구합니다. 나머지가 나누는 식보다 차수가 작아질 때까지 나눕니다. 다항식을 세로식으로 적을 때, 계수가 0인 항은 비워둡니다. 예제> 나눌 식에서 계수가 0인 항은 비워놓은 것 보이지요? 꼭 비워놓고 나눠야 합니다. 계수만 이용하는 방법도 있습니다. 아까와 같은 과정이지만 훨씬 쉬워보이지요? 편리한 방법을 선택해서 사용하면 됩니다. 2. 나눗셈의 관계식 다항식 A를 다항식 B로 나눌 때의 몫을 Q, 나머지를 R이라 할 때, A=BQ+R (단, R은 B보다 차수가 낮다.) R=0일때, A는 B로 나누어 떨어진다. 초등학교 때 배운 나눗셈의 검산식입니다. 예를 들면, 11÷4은 몫은 2, 나머지는 3입니다. 이때 검산식은 4×2+3=11, 기억하지요
여러 가지 경우의 수, 다양한 문제 - 5문항, 중2 수학 [내부링크]
이번에도 여러 가지 경우의 수 문제들을 풀어볼까요? 이미 풀어본 유형의 문제는 제외했어요. 1. 여러 번 같은 색을 칠해도 되니까 바로 옆의 색깔만 아니면 됩니다. 2. 지불하는 경우를 표를 만들어보면 편리합니다. 3. 해가 정수가 되어야 하므로 b가 a의 배수가 되어야 합니다. 4. 최단 거리를 가는 경우는 위 그림과 같습니다. 길의 경우의 수는 길이 하나일 때는 1, 교차할 때마다 서로 더해주면 됩니다. 5. 경우의 수의 기본은 따져보는 것입니다. 빠뜨리지 않고 중복되지 않게 세어야 합니다. 여러 가지 문제들을 풀어봤는데, 이 문제들만 정확하게 알고 있어도 어렵지는 않을 거예요. 경우의 수를 잘 알아야 확률도 쉬워집니다. 오늘도 복습 잊지 마세요.~^^
충분조건, 필요조건, 정확하고 쉽게 공부해 봐요. 고1 수학 [내부링크]
이번에는 충분조건과 필요조건에 대해 공부해 볼게요. 학생들이 이 부분을 공부할 때, 헷갈린다, 어렵다는 말을 많이 합니다. 처음 개념을 공부할 때 정확히 구분하면 어렵지 않아요. 이제 함께 공부해 볼까요? 1. 충분조건, 필요조건 (1) 충분조건과 필요조건 p는 화살표를 주는 입장 : 충분조건 q는 화살표를 받는 입장 : 필요조건 이렇게 이해해도 쉽습니다. (2) 필요충분조건 2. 충분조건, 필요조건과 진리집합의 관계 (1) (2) 3. 예제 (1) (2) 화살표로 표시해 보고 화살표의 방향을 보고 판단하면 쉽습니다. (3) 충분조건과 필요조건에 관해 알아봤어요. 이해가 되었나요? 진리집합의 포함관계를 보고 판단하는 것, 화살표의 방향을 보고 판단하기, 범위가 나온다면 수직선에 그려보는 것이 좋습니다. 오늘도 복습 잊지 마세요~^^
중2 수학, 경우의 수와 확률이 어렵다면 보세요~ 여러 가지 유형 문제 - 6문항 [내부링크]
지난번에 경우의 수의 개념과 기본적인 유형 문제들을 공부해 봤어요. 경우의 수는 문제의 형태가 다양해서 어려워 보이지요? 그런데 문제를 잘 살펴보면 겉모습만 달라 보이고 사실 아는 내용인 경우가 많아요. 이번에는 다양한 형태의 문제들이 어떤 모습을 가지고 출제가 되고, 그 풀이는 어떤 풀이라서 아는 내용인지를 알아볼게요. 눈 크게 뜨고 집중할 준비되었지요? 1. 악수 문제는, 여러 사람 중 2명의 대표를 뽑는 것과 같습니다. 2. 호영이와 동생은 양 끝에 서니까 양 끝에 자리 잡습니다. 부모님은 이웃하여 서니까 하나로 묶어서 생각합니다. 호영이와 동생 외 3명을 일렬로 세우는 경우의 수, 부모님 자리 바꾸기, 호영과 동생을 자리 바꾸기를 생각해서 식을 세우면 됩니다. 3. 먼저 자기 자리에 앉는 2명을 배치하고 경우의 수를 구합니다. 그리고 자기 자리에 앉는 2명을 뽑습니다. 이 경우 대표를 뽑는 것과 같은데 뽑으면 무조건 자기 자리에 앉게 되므로 순서를 바꿀 수 없기 때문입니다.
중 2 수학, 여러 가지 경우의 수, 문제 유형, 개념을 잘 이해하면 어렵지 않아요. [내부링크]
지난번에 경우의 수의 개념을 배워봤어요. 경우의 수를 어려워하는 이유는, 문제의 유형이 다양해서 어려워하는 것 같아요. 그런데 경우의 수 문제들은, 몇 가지로 구분해서 기억하면, 같은 유형의 문제들입니다. 문제를 보고 이 문제가 어떤 문제인지 파악하고, 여기 사용할 개념이 무엇인지만 알면 어렵지 않습니다. 그럼 여러 가지 경우의 수 문제들의 유형을 구분해 볼까요? 1. 일렬로 세우기. (1) 5명을 일렬로 세우는 경우의 수 일렬로 세울 때는, 앞서 세운 사람을 뺀 나머지로 경우의 수를 구하고, 한꺼번에 세우니까 곱합니다. (2) 5명 중 4명을 뽑아서 일렬로 세우는 경우의 수 (3) 선생님 1명과 학생 3명을 한 줄로 세울 때 선생님이 두 번째에 서는 경우의 수 선생님이 두 번째에 서니까 두 번째에 세워놓고 나머지 자리에 세우면 됩니다. 2. 이웃하여 세우기. (1) A, B, C, D, E를 한 줄로 세울 때, A, B가 이웃하여 서는 경우의 수 이웃하여 세울 때는 이웃하는 사람들
수학 수업만 들으면 수학을 잘 하게 될까요? 학원? 인강? 과외? 어떤 게 학생에게 맞을까요? [내부링크]
학생들이 수학 공부를 해야지, 결심을 하면, 어떻게 할까요? 일단 주변을 돌아보고, 검색을 해봅니다. 예를 들면 '수학 잘 하는 법', '수학 잘 가르치는 학원', '수학 문제집 추천', 이런 식으로 찾아봅니다. 누구는 어떻게 공부를 했다더라, 학원을 어디를 다녔다더라, 어떤 선생님이 잘 가르치더라, 문제집은 뭐가 좋다더라, 이런저런 정보를 모으고, 일단 좋다는 문제집부터 사놓습니다. 문제집 구매가 지금 할 수 있는 가장 쉬운 일이니까요. 그리고 인강도 찾아보고, 학원도 알아보고, 여러 가지 선택지를 가지고 비교를 하면서 고민을 합니다. 어떤 걸 선택하든 정답은 없습니다. 다만, 선생님을 선택할 때는, 이 선생님이 내가 필요한 것을 잘 채워줄 수 있는 선생님인지, 선생님의 성격이 나와 잘 지낼 수 있는 성향의 선생님인지는 잘 생각해야 하겠지요.. 학원이나 인강, 과외를 선택할 때는, 속도는 적절한지, 나한테 필요한 만큼 잘 알아들을 수 있는 수업인지, 필요할 때 피드백은 가능한지,
중2, 경우의 수, 개념을 쉽게 알려드립니다. [내부링크]
중학교 2학년 2학기 수학을 어려워하는 학생들이 많습니다. 도형을 어려워하는 학생들도 많고, 경우의 수와 확률을 유독 어려워하는 학생들이 많아요. 이번에는 경우의 수와 확률의 개념을 쉽게 알려드릴게요. 들을 준비되었나요? 1. 경우의수 사건 - 같은 조건에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의하여 일어나는 결과. 경우의수 - 어떤 사건이 일어나는 가짓수. 뭔가 말이 어렵지요? 예를 들면, 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나왔다고 하면, 주사위를 던진다. : 실험 또는 관찰 (시행) 홀수의 눈이 나온다. : 사건 홀수의 눈 1, 3, 5 : 경우 3가지 : 경우의 수 이렇게 생각하면 쉽지요? 예> 한 개의 주사위를 던진다고 할 때, (1) 일어나는 모든 경우의 수 : 6 (2) 3 미만의 눈이 나오는 경우의 수 : 2 (1, 2의 눈) (3) 3의 배수의 눈이 나오는 경우의 수 : 2 (3, 6의 눈) (4) 6의 약수의 눈이 나오는 경우의 수 : 4 (1, 2, 3, 6의 눈) 2. 경
명제의 참, 거짓, 역, 대우, 삼단논법, 개념 설명, 고1 수학 [내부링크]
이번에도 명제에 관해 공부해 볼게요. 1.' p 이면 q이다' 2. ' p 이면 q이다'의 참, 거짓 반례 - 가정 p는 만족시키지만 결론 q는 만족시키지 않는 예, 즉 진리집합 P가 Q의 부분집합이 아니라는 것을 보여줄 수 있는 예입니다. 명제가 거짓임을 보이는 예입니다. 3. '모든', '어떤'을 포함한 명제 '모든 x에 대하여 p이다.' 모든 x에 대하여는 하나도 예외 없이 모두 성립하면 참, 하나라도 거짓이면 거짓입니다. '어떤 x에 대하여 p이다.' 어떤 x에 대하여는 참이 되는 x가 하나라도 있으면 참, 모두 성립하지 않으면 거짓입니다. 4. '모든', '어떤'을 포함한 명제의 부정 '모든 x에 대하여 p이다.' - 부정 : '어떤 x에 대하여 ~p이다.' '어떤 x에 대하여 p이다.' - 부정 : '모든 x에 대하여 ~p이다.' 예> 모든 학생은 남자이다. 부정 : 어떤 학생은 남자가 아니다. 어떤 학생은 남자이다. 부정 : 모든 학생은 여자이다. 모든의 부정은 명제를
고1 수학, 명제와 조건, 개념 설명 [내부링크]
이번에는 고등수학(하)에서 명제 단원으로 넘어가 볼 건데요. 명제는 처음 개념을 정확히 잡아야지 쉽게 느껴집니다. 참 신기하게도 제대로 공부하지 않으면 분명 한국말인데 엄청 헷갈립니다. 모든 단원이 그렇듯이 용어부터 정확하게 알고 가야 합니다. 1. 명제의 뜻 명제 : 참인지 거짓인지 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식 예> 두 홀수의 합은 홀수이다. (명제. 거짓인 명제) 한국인은 매운 음식을 잘 먹는다. (명제가 아니다.) 2. 명제의 부정 부정 : 명제 p에 대하여 'p가 아니다.' 부정의 표현 : ~ p 명제 p와 그 부정 : 명제 p가 참이면, 그 부정은 거짓, 명제 p가 거짓이면 그 부정은 참 명제 p의 부정의 부정은 p : ~(~p)=p 예> p : 8은 짝수이다. (참) ~p : 8은 짝수가 아니다. (거짓) 3. 조건 조건 : 변수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 문장이나 식. 예> 실수는 허수가 아니다. (명제) n은 정수이다. (조건) 4. 진리집합 진리집합
집합, 원소 개수 구하는 문제 유형 - 4 문항, 고등수학(하) [내부링크]
지난번에 집합에서 원소의 개수를 구하는 방법을 배워봤어요. 이번에는 문제를 풀어봐야지요. 오늘도 집중해서 공부해 볼까요? 1. 문제를 보고 벤다이어그램을 그려보면 문제의 내용 파악이 쉬워집니다. 그림을 보면, 문제를 어떻게 풀어나가야 할지 생각하기 쉬워져요. 2. 합집합을 구하는 법은 암기해야 해요. 3. 활용 문제는 A 집합과 B 집합을 각각 정하고 풀면 됩니다. 벤다이어그램을 그려본 뒤 필요한 값을 구하면 됩니다. 4. 원소의 개수를 구하는 문제는 많은 식을 외우는 것보다 문제를 파악한 뒤 필요한 계산을 하는 것이 쉽습니다. 내용을 파악하는데 벤다이어그램을 그리는 게 좋습니다. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요~^^
유한집합 원소 개수, 집합의 연산, 개념 설명, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 집합에서 원소의 개수 구하는 것을 설명해 볼게요. 1. 합집합에서 원소의 개수 A 집합의 원소의 개수와 B 집합의 원소의 개수를 더하면 교집합의 개수를 두 번 더하니까 한 번 빼줍니다. A 집합, B 집합, C 집합의 원소의 개수를 모두 더하고 각각의 교집합의 원소의 개수를 빼면 A, B, C의 교집합의 개수를 다 빼게 되므로 한 번 더해줍니다. 2. 여집합과 차집합에서 원소의 개수 여집합의 원소의 개수는 전체집합에서 A의 집합의 개수를 빼면 됩니다. 차집합의 원소의 개수는 A의 개수에서 A, B의 교집합의 개수를 빼거나, A와 B의 합집합의 개수에서 A, B의 교집합의 개수를 빼면 됩니다. 원소의 개수를 구할 때는 벤다이어그램을 그려서 원소의 개수를 표시해서 원하는 개수를 구하면 쉽습니다. 원소의 개수를 구하는 식은 이해하고 외우는 게 좋습니다. 이해를 하면 암기하는 것은 어렵지 않습니다. 이번 내용도 꼭 복습해야 해요~^^ 다음에는 원소의 개수를 구하는 문제들을 풀어볼게
고등수학(하), 집합의 연산, 여러 가지 문제, - 6문항 [내부링크]
지난번에 이어서 집합에 대한 문제 풀이를 이어가 볼게요. 종이와 연필 준비되었나요? 이제 문풀 들어갑니다~^^ 1 문제의 조건을 보면 X는 A와 B의 교집합의 원소를 반드시 가지는 A의 부분집합임을 알 수 있습니다. 2. 집합의 연산에서는 연산법칙을 잘 알고 식을 간단히 해야 합니다. 3. A와 B의 교집합이 A이므로 A는 B의 부분집합입니다. 4. 연산식을 간단히 만든 뒤 벤다이어그램을 그려보면 쉽게 알 수 있습니다. 벤다이어그램은 집합 문제를 간단하게 만들지요. 5. 약수와 배수의 문제는 공약수와 공배수의 개념을 알고 있으면 쉽습니다. 6. 부등식과 관련된 문제는 수직선을 그려보면 문제가 쉬워집니다. 여러 가지 유형의 문제들을 풀어봤는데, 그림을 그려보면 어려워 보이던 문제가 쉬워지는 어메이징한 현상을 볼 수 있습니다. 함수는 그래프를, 집합은 벤다이어그램을, 부등식은 수직선을 그려보면 문제가 쉬워집니다. 그림은 사랑입니다~^^ 오늘도 복습해야 하는 것 알고 있지요? 그림을 그려
집합의 연산, 유형 문제 - 6문항, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 집합의 연산에 관한 문제를 풀어볼게요. 유형 문제가 좀 많은 편이라서 몇 번으로 나눠서 풀어 볼게요. 1. 조건제시법으로 표현된 집합은 원소를 나열해 보는 게 파악하기가 쉽습니다. 2. 서로소는 공통인 원소가 없는 것, 즉 교집합이 없는 것입니다. 3. 집합을 구할 때는 벤다이어그램을 그려보는 게 편한 때가 있으니 복잡할 때는 그려보세요. 4. 역시 벤다이어그램을 그려보니까 쉽지요? 5. 이런 유형의 문제는 학교 시험에 자주 출제됩니다. 문제의 조건을 보고 a 값이 될 수 있는 경우를 생각해서, 각각의 경우마다 집합을 구해서 확인합니다. 6. 집합에서는 배수와 약수에 관한 문제들이 자주 나오는데, 공배수와 공약수의 개념을 생각하면 어렵지 않습니다. 집합의 문제들을 풀어봤는데, 유형이 다른 문제들로 선택해 봤어요. 복습은 꼭 해야 하는 거 알지요? 다음에도 다른 유형의 문제를 가지고 올게요.^^
집합, 유형 문제 - 8문항, 집합의 포함관계, 고등수학 (하) [내부링크]
지난번 집합 개념 설명에 이어 문제를 풀어봐야지요. 개념 복습 다 했지요? 문제는 꼭 스스로 풀어본 뒤에 풀이를 봐야 해요. 문제 풀어볼게요~ 1. 조건제시법으로 표현된 집합의 원소를 구할 때 표를 그리면 편리합니다. 2. 3. 4. 서로 같은 집합의 다른 표현은 꼭 기억해야 합니다. 5. 부분집합의 개수를 구할 때는, 집합의 원소이거나 아니거나 모두 제외하고 부분집합의 개수를 구합니다. 6. 집합 X는 집합 A의 원소를 가지면서 집합 B의 부분집합입니다. 7. 홀수인 원소를 한 개 이상 가지려면, 홀수인 원소가 1개, 2개, 3개인 경우가 다 됩니다. 3가지 경우를 다 따져보는 것보다 모두 짝수인 원소를 가지는 경우를 구해서 전체 부분집합의 개수에서 빼는 것이 좋습니다. 8. 오늘 내용도 어렵지 않지요? 잘 몰랐던 문제는 반드시 여러 번 풀어서 완벽히 이해하고 기억해야 해요. 복습 잊지 마세요~^^
"이제 그만 좀 놀아. 맘 놓고 노는 일은 끝났다구. " 학생들을 이해시키는 색다른 방법 [내부링크]
여름 휴가철이 되면서 학원도 방학을 합니다. 학원 방학으로 하루, 또는 이틀의 학원 수업이 없으면, 학생들은 선생님과 거의 일주일 간 보지 않고, 학원에 일주일 간 발걸음을 딱 끊을 수 있는 허락된 휴식을 얻게 됩니다. 그럼 선생님은 학생들이 일주일 동안 공부를 탁 놓고 놀고 있을까 봐 걱정합니다. 그래서 휴일 전 시간에는 해야 할 진도도 미리 나가고, 학생들이 일주일 간 공부할 수 있도록 해야 할 과제를 내줍니다. 그리고 꼭 하는 한 마디는, "몰아서 하면 많아서 다 못 하니까, 내일부터 매일 나눠서 해야 해." 과제를 받으면서, 학생들은 볼멘소리를 합니다. "이게 무슨 방학이에요. ㅠㅠ" "방학은 놀라고 있는 게 아니고 부족한 공부도 채우면서 학기 중에 집중해서 하기 어려운 공부를 몰입해서 열심히 하라고 있는 거야." 이런 말까지 덧붙이면 학생들의 표정이 더 안 좋아집니다. "일주일 간 너무 놀고 있지는 말라는 거야. 하나도 공부 안 하고 있다가 다시 잡으려면 힘드니까 페이스 유
근과 계수의 관계, 유형 문제 - 9문항, 고등수학(상) [내부링크]
이차방정식도 거의 끝나갑니다. 시작했다 하면 끝나지요? 공부를 하다 보면 시간이 빨리 갑니다. 공부를 안 하면 더 빨리 가는 것 같기도 합니다.^^ 이번에는 유형 문제를 여러 문항을 가지고 와 봤어요. 종이 가지고 와서 풀면서 공부해야 하는 것 알지요? 지금부터 문제 풀이 들어가 볼게요. 1. 근과 계수의 관계에서는 곱셈공식을 이용해야 하는 문제가 많습니다. 2. 이차식의 값을 물어보는 경우, 식에 대입하면 성립하니까 근을 식에 대입하여 이차식을 만든 다음 변형하여 식의 값을 구합니다. 3. 4. 근의 비를 주는 경우, 근을 비례에 맞춰 설정하여 답을 구합니다. 5. 절댓값이 같고 부호가 다른 근을 가질 때, 두 근의 합은 0, 두 근의 곱은 음수입니다. 6. 7. 8. 9. 이차방정식의 개념을 정확히 알고 있다면 어렵지 않습니다. 개념은 항상 백지 놓고 써 내려갈 수 있을 정도로 확실하게 알고 있어야 하는 것 알지요? 이번 내용도 꼭 복습하세요~^^ 문제 풀이 중 이해가 잘 안되는
이차방정식 근과 계수의 관계, 개념 정리, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 고등수학 (상)에서 처음 나오는 내용이에요. 이차방정식의 두 근과 계수의 관계를 알아볼 건데요. 또 두 근의 합과 곱을 이용해서 이차방정식도 세워볼게요. 1. 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식에서 두 근을 직접 구하지 않고 두 근의 합과 곱을 구할 수 있습니다. 이를 이차방정식의 근과 계수의 관계라고 합니다. 이런 관계가 나오는 이유를 설명해 볼게요. 예> 2. 두 수를 근으로 가지는 이차방정식 예> 3. 이차식을 복소수 범위에서 인수분해하기. 이차식이 쉽게 인수분해가 되지 않는다면, 해를 알 때는 인수분해식으로 식을 세우면 됩니다. 지금까지는 실수 범위에서만 인수분해를 했는데 복소수 범위에서 인수분해를 해 볼게요. (1) 근의 공식으로 해를 구한다. (2) 인수분해식으로 식을 세운다. 예> 4. 이차식에서 켤레근 (1) a, b c가 유리수일 때, 와 (2) a, b, c가 실수일 때의 조건을 가질 때만 켤레근을 가지게 됩니다. 루트 앞, i 앞의 부호만 바뀝니다.
고1 수학, 이차방정식 풀이, 유형 문제 - 8문항 [내부링크]
고1 수학의 이차방정식의 문제를 풀어볼게요. 중3 수학에서 나오는 문제들은 다루지 않고, 새로 나오는 내용에 관련된 문제들만 다룰 거예요. 1 이차항의 계수가 무리수인 경우, 양변에 무리수가 없어지도록 곱합니다. 2. k 값과 관계없이 x=1을 근으로 가지므로 x=1을 대입하고 k( )+( )=0으로 정리해서 항등식의 성질을 이용합니다. 3. x의 값의 범위를 나누어서 x의 값을 구합니다. x의 값을 구해서 범위에 맞는지 확인해야 합니다. 4. 이차방정식 활용 문제 중 인상, 인하 문제는 원래 가격을 a를 설정하고 식을 세워야 합니다. 5. 실근을 가질 조건을 확인합니다. 6. 중근을 가질 조건은 D=0, 식이 완전제곱식, 이 조건을 확인합니다. 7. 8. 음수의 제곱근의 성질을 확인하고 판별식의 크기를 판단합니다. 이차방정식 풀이에서 자주 나오는 문제들을 풀어봤어요. 문제의 내용을 보면, 제곱근, 음수의 제곱근, 항등식 개념이 이용해 풀었어요. 이런 것을 보면 한 번 배운 개념은
고1 수학, 이차방정식 풀이, 판별식 [내부링크]
고1 수학의 이차방정식입니다. 중학교 3학년에서 배우는 개념에서 조금 추가되는 정도니까 매우 쉬워요. 중3에서 배운 내용은 자세히 설명하지 않고 넘어가고 고등수학(상)에서 새로 나오는 개념들 위주로 설명할게요. 1. 이차방정식 2. 이차방정식의 실근과 허근 (1) 실근 근이 실수인 근을 실근이라고 합니다. (2) 허근 근이 허수인 근을 허근이라고 합니다. .3. 이차방정식 풀이 (1) 인수분해를 이용한 풀이 (2) 근의 공식을 이용한 풀이 근의 공식 (2) 짝수 공식은 일차항의 계수가 짝수일 때 사용합니다. 근의 공식은 두 가지 모두 알고 있어야 계산이 쉽습니다. 4. 판별식 근의 공식에서 루트 안의 부호에 따라 실근을 가지는지 허근을 가지는지 판단할 수 있습니다. 5. 이차방정식의 근의 판별 6. 이차식이 완전제곱식이 되기 위한 조건 = 이차방정식의 해가 중근일 조건, 판별식 = 0 고1에서 새롭게 등장하는 개념을 정리해 봤어요. 중3 내용에서 조금 추가되는 정도라서 매우 쉽습니
복소수 거듭제곱, 음수의 제곱근 유형 문제 - 6문항 [내부링크]
이제까지 복소수 개념을 다 공부했어요. 이제 문제를 풀어서 아는 개념을 다져야 하겠지요? 집중하고, 문제들로 단원을 마무리해 봐요. 1. i는 주기성을 가지므로 네제곱까지의 합이 계속 반복됩니다. 50을 4로 나누어서 같은 값이 나오는 게 몇 개인지 파악합니다. 2. 3. 괄호 안을 먼저 계산한 뒤 식의 값을 구하는 게 편리합니다. i의 거듭제곱은 네제곱이 1이니까 네제곱으로 바꿔서 계산합니다. 4. 괄호 안을 먼저 계산합니다. 괄호 안의 식 계산은 3번에 있습니다.^^ 5. 음수의 제곱근의 계산은 루트 -1을 i로 바꿔서 계산합니다. 음수의 제곱근 성질이 나타나는 것 보이지요? 6. 음수의 제곱근의 성질을 알고 있으면 어렵지 않습니다. i의 거듭제곱과 음수의 제곱근 문제를 풀어봤어요. 어렵지 않지요? 여러 번 풀어서 숙지하세요. 복소수 단원을 마쳤으니 복소수 단원을 쭉 복습하면 좋을 것 같아요~^^
i의 거듭제곱, 음수의 제곱근, 고등수학(상) [내부링크]
이제 복소수 단원도 거의 끝나갑니다. 허수를 처음 배웠을 때만 해도 낯설기만 했는데 금세 익숙해졌지요? 이번에는 i의 거듭제곱과 음수의 제곱근에 대해 설명해 볼게요. 집중해서 들을 준비가 되었나요? 1. i의 거듭제곱 i는 네제곱이 1이니까 다섯제곱은 또다시 i가 됩니다. i는 i, -1, -i, 1이 반복됩니다. i의 주기성이라고 합니다. i를 네제곱까지 더하면, 0입니다. i는 주기성을 가지므로 반복되므로 4개를 한 덩어리로 0의 값을 가집니다. 예> i의 거듭제곱은 네제곱이 1이니까 네제곱을 중심으로 간단하게 계산합니다. 2. 음수의 제곱근 음수의 제곱근의 성질을 설명한 내용입니다. 개념을 배울 땐 반드시 설명할 수 있을 정도로 이해하고, 기억해야 합니다. 이 내용도 함께 기억해야 합니다. 예> 음수의 제곱근의 성질에서 배운 대로 음수 부호가 생기는 것을 확인할 수 있습니다. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요~^^ 차근차근 쌓아가는 게 중요한 거 알지요?
복소수 성질, 연산 유형 문제-6문항, 고등수학(상) [내부링크]
이번에는 저번에 공부한 복소수의 개념이 문제에서 어떻게 활용되는지 알아볼 거예요. 개념 복습을 잘 했겠지요? 배운 내용을 떠올리면서 문제 풀어볼게요. 1. 문제에서 이차 이상의 다항식의 값을 구하는 문제는 절대 그냥 대입하지 않습니다. 허수만 남겨놓고 이항 양변 제곱 간단히 만든 뒤 문제에서 원하는 값에 따라 변형해서 식의 값 구하기. 2. 복소수가 실수가 되기 위한 조건은 허수 부분이 0 복소수가 순허수가 되기 위한 조건은 실수 부분이 0, 허수 부분이 0이 아니어야 합니다. 3. 4. 5. 켤레복소수와 원래 수가 같으면 실수입니다. 이 문제에서는 복소수가 0이 아니라고 했으니까 0이 아닌 실수입니다. 6. z=a+bi로 놓고 대입한다는 것만 기억하면 어렵지 않은 문제입니다. 오늘도 어렵지 않지요? 알면 쉽고 모르면 어려우니까, 그냥 알아가면 쉬워질 거예요~^^
복소수 연산, 켤레복소수 성질, 고1수학 [내부링크]
지난번에 복소수에 관해 배웠었지요? 이번엔 복소수의 연산에 대해 배워볼게요. 1. 복소수의 사칙연산 복소수의 덧셈과 뺄셈 덧셈과 뺄셈은 동류항의 계산과 같다고 생각하면 됩니다. 실수 부분은 실수 부분끼리, 허수 부분은 허수 부분끼리 계산하면 됩니다. 예> (2+3i)+(3+5i)=5+8i (2+3i)-(3+5i)=-1-2i 복소수의 곱셈과 나눗셈 곱셈은 분배법칙으로 전개한 뒤 i의 제곱이 -1인 것을 이용해서 계산합니다. 나눗셈은 분자, 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하여 계산합니다. (분모의 실수화) 예> 2. 복소수의 연산의 성질 실수와 마찬가지로 덧셈과 뺄셈에서는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립합니다. 교환법칙 결합법칙 분배법칙 3. 켤레복소수의 성질 켤레복소수의 성질은 잘 알고 있어야 합니다.^^ 오늘도 복습 잊지 마세요~^^
고1 수학, 복소수 개념, 복소수의 뜻 [내부링크]
중학교 때까지는 수의 체계를 실수까지 확장해서 배웠습니다. 고등학교로 올라가면 실수를 넘어서 수가 확장됩니다. 새로운 수가 등장하는데요. 그 새 친구를 오늘 만나볼게요. 1. 허수단위 i 중3-1에서는 제곱해서 음수가 되는 수는 없다고 배웠었지요. 이번에는 제곱해서 음수가 되는 수가 있다는 겁니다. 실수처럼 실존하는 수가 아니고 수학적인 필요에 의해 만든 수입니다. 제곱해서 -1인 새로운 수를 i라고 하고, 이때 i를 허수 단위라 합니다. 2. 복소수 임의의 실수 a, b에 대하여 ax+bi로 나타낼 수 있는 수를 복소수라 하고, 이때 a를 실수 부분, b를 허수 부분이라고 합니다. ax+bi로 나타낼 수 있는 수 중 b가 0이 아닌 수를 허수, 허수 중 a가 0인 수를 순허수라 합니다. 예> 5-6i의 실수 부분은 5, 허수 부분은 -6 복소수의 분류 복소수의 분류에서 실수가 되기 위한 조건, 순허수가 되기 위한 조건을 꼭 기억해야 합니다. 3. 복소수가 서로 같을 조건 두 복소수
수 계산의 모든 것 - 곱셈공식, 인수분해, 나머지정리를 활용한 수 계산 [내부링크]
이번에는 수 계산을 모두 가져왔어요. 이제까지 배운 곱셈공식과 인수분해, 나머지정리를 이용해 수를 계산해 볼게요. 이제 그냥 계산하지 말자구요. 수 계산 1. 한 숫자를 중심으로 식 쓰기 2. 분수는 약분된다는 것을 생각하기. 이 내용을 생각하면서 문제를 풀어볼게요. 1. 합창 공식인데 앞에 (2-1)을 추가해 줍니다. (2-1)을 식의 값은 변하지 않으니까 그냥 곱셈공식을 이용해서 답을 구하면 됩니다. 2. 1015를 x로 치환합니다. 분자와 분모가 서로 약분이 되는 게 보이지요? 3. 1000을 x로 치환합니다. x=2를 대입해서 나머지를 구하고, 다시 x=1000을 대입합니다. 대입하고 보니까 나누는 수는 998인데 나머지가 2048입니다. 나머지가 나누는 수보다 더 크지요? 이런 경우 더 나눌 수 있으니까 나누는 수를 몫에 주어야 합니다. 2048=998×2+52 이므로 몫에 2를 주고 나머지는 52입니다. 4. x=97로 치환합니다. 치환 후 x=-1을 대입해서 R을 구한
수학 공부를 할 때, 유형 문제집의 유형별 힌트를 보면 안 되는 이유 [내부링크]
학생들이 수학 공부를 할 때, 개념서와 유형 문제집으로 공부하는 게 일반적입니다. 개념서로 개념을 배우고 유형 문제집의 문제를 풀면서 이해를 하는 거지요. 보통 유형 문제집을 과제로 내는데 과제 검사를 할 때 보면, 학생들이 문제지 위 또는 옆에 나온 힌트를 보고 따라서 푸는 경우가 있어요. 그런 과제를 보면, 이렇게 물어봅니다. "이 문제를 왜 이렇게 푸는 건지 아니?" 그럼 대부분의 학생들은 이렇게 대답합니다. "위에 나온 공식 보고 풀었는데, 답은 맞는데요." 이렇게 문제를 푸는 것이 괜찮을까요? 이런 경우 학생들에게 단호하게 말합니다. "문제집에 나온 어떤 힌트도 보지 말고 풀고, 특히 유형서에 나온 내용 보고 따라서 풀지 마." 2-2 닮음 문제 중 하나입니다. 보통 이런 식으로 힌트를 주고 같은 유형들의 문제들이 나옵니다. 이런 내용을 보고 학생들이 따라서 문제를 푸는 거지요. 위 힌트의 내용이 틀린 건 아닙니다. 닮음인 삼각형을 찾아서 닮음비를 구하고 비례식을 세운 거니
고1 수학, 인수분해 문제 유형, 상세 설명, 이것만 알면 쉬워져요. [내부링크]
지난번에 인수분해를 쉽게 할 수 있는 법에 관해 알아봤어요. 인수분해를 하는 여러 가지 유형들을 알아야 한다고 했었지요? 이번에는 유형 문제들을 풀어볼게요. 1. 인수분해 공식 곱셈공식을 외우고 있으면 따로 외울 필요는 없다고 했지요? 그러나, 문제는 풀어봐야 해요. 어떻게 사용해야 되는지 충분히 연습이 되어야 문제를 풀 때 빨리 생각이 나겠지요. 인수분해 공식을 사용해서 인수분해하는 문제들입니다. 자, 종이 놓고 인수분해 해 보고 맞는지 확인해 볼게요. 꼭 혼자 해보고 답 확인해야 해요. 1. 2. 맞는지 꼭 확인하고, 틀렸다면 왜 틀렸는지 꼭 확인하세요~^^ 2. 공통부분이 있는 인수분해 공통부분이 있으면 치환해서 인수분해 합니다. 인수분해는 공통인수가 있으면 꼭 괄호 밖으로 묶어내야 합니다. 맨 아래에 보면 공통인수 묶어낸 거 보이지요? 인수분해는 끝까지 해야 하는 거 잊지 마세요. 3. 복이차식의 인수분해 복이차식은 x 제곱과, x네 제곱으로 이루어진 식, 즉 x 제곱을 치환
고1 수학, 인수분해, 인수분해가 쉬워지려면? [내부링크]
이번에는 고등수학(상)의 인수분해를 배워볼게요. 중3-1에서 이미 인수분해를 배웠는데, 고1로 올라가면서 내용이 많아집니다. 인수분해의 개념을 다시 복습해 보고, 새로 추가된 내용도 공부해 볼게요. 중3-1에서의 인수분해를 복습해 보고 공부하면 이해가 좀 더 쉬울 거예요. 아래 링크 남겨 놓을 테니 보고 점검해 봐도 좋을 것 같습니다. https://m.blog.naver.com/matina76/223072031941 중3 학교 시험을 잘 보기 위해 인수분해를 잘 하는 방법-인수분해의 기본 인수분해를 어려워하는 학생들이 많지요. 인수분해는 처음에는 좀 어려워도 공부해서 알고 나면 어느 정도 ... m.blog.naver.com 1. 인수분해 인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 곱을 이루는 각각의 다항식을 인수라고 합니다. 예> 30=1×30=2×15=2×3×5 30은 위와 같이 여러 가지 곱으로 나타낼 수 있습니다. 각각 곱해진 수 1, 30
수학 공부에서 문제의 양과 공부의 질, 어느 쪽이 중요할까? [내부링크]
학생들은 수학 공부를 해야 한다는 건 잘 알지만, 막상 수학 교재를 펴면, 막막해합니다. 하얀 건 종이고, 까만 건 글씨인데, 분명 한국말로 쓰여 있는데 알아들을 수가 없지요. 처음 접하는 수학의 언어는 외계어처럼 느껴집니다. 하나하나 언어를 알아가는 것도 어려운데, 시간은 없는 것 같고, 해야 할 건 많은 것 같아서 답답해합니다. 그럴 때, 문제를 많이 풀어야 할 것 같은 기분에 쫓기듯 문제의 양, 교재의 진도를 많이 빼는 것에 집착하기도 합니다. 이럴 때 고민은 이런 겁니다. 문제를 양적으로 많이 푸는 게 좋을까? VS 양은 적더라도 질적으로 완벽하게 이해를 하는 게 좋을까? 둘 다 중요하긴 합니다. 1. 수학은 문제의 무조건 양이지. 많이 풀면 속도가 붙으니까 시험시간 내에 풀지 못하는 걸 방지할 수 있고, 속도가 붙으면 이해할 수 있는 문제의 양을 늘려가는 효과가 있습니다. 반면 대충 넘어가다 보면 제대로 정확히 알고 넘어가야 하는 부분을 놓칠 수 있어서 몰랐던 유형을 계속
나머지정리, 인수정리, 유형별 문제 풀이, 고등수학(상) [내부링크]
지난번에 나머지정리와 인수정리의 개념을 설명했었어요. 개념은 정말 간단했었지요? 그런데 여러분들이 나머지정리를 어려워하는 이유는, 문제의 유형이 다양하기 때문입니다. 여러분의 어려움을 해결해 드립니다. 나머지정리의 유형 정리는 이걸로 끝낸다!!! 이번 내용을 보고 공부하면 나머지정리가 쉬워질 거예요. 개념 기억하지요? 개념을 공부하지 않은 학생들은 링크 남겨놓을 테니 보고 공부한 뒤 유형 문제를 공부해야 해요. https://m.blog.naver.com/matina76/223155755478 나머지정리, 인수정리, 쉬운 개념 설명, 고1 수학 고등수학(상)을 처음 배우는 학생들이, 처음으로 수(상)이 어렵다고 느끼는 단원이 바로 나머지정리인 것 ... m.blog.naver.com 이제 문제 풀이 들어가 볼게요. 1. f(x)+g(x), f(x)-g(x)를 x-2로 나눈 나머지를 조건으로 주었으므로, x=2를 대입해서 식을 세웠습니다. 그리고 위와 같이 연립해서 f(2)와 g(2)
나머지정리, 인수정리, 쉬운 개념 설명, 고1 수학 [내부링크]
고등수학(상)을 처음 배우는 학생들이, 처음으로 수(상)이 어렵다고 느끼는 단원이 바로 나머지정리인 것 같습니다. 그전까지는 할 만하다고 생각하다가, 이 부분을 배울 때부터 어렵다고 생각하는 것 같아요. 사실 잘만 정리하면 전혀 어려운 내용이 아니거든요. 처음 배울 때 개념을 잘 잡으면 어렵지 않으니 쉽게 설명을 해볼게요. 1. 나머지정리의 개념은 정말 간단합니다. 예> 나머지 R는 x-2=0의 x 값인 x=2를 대입한 값입니다. 이게 나머지정리입니다. 일반화하면, 나머지정리의 개념은 이게 끝입니다. 나머지정리의 개념은, 다항식의 나눗셈, 항등식의 성질만 이해하고 있으면 바로 이해가 될 거예요. 예> (일차식)=0의 x 값을 다항식에 대입하면 간단하게 나머지를 구할 수 있습니다. 2. 인수정리의 개념은 더 간단합니다. 나머지정리에서 나머지가 0일 때만 인수정리라고 합니다. 모두 같은 표현 예> 나머지정리와 인수정리의 개념은 이게 끝입니다. 간단하지요? 그런데, 이렇게 간단한 걸 학생
수학 공부할 때, 선생님한테 효과적으로 질문하는 법 [내부링크]
학생들은 모르는 문제가 나오면 선생님한테 질문을 합니다. "이 문제 모르겠어요." "이 문제 질문이요." 이렇게 물어보고, 그 문제를 풀어주면 받아 적고 그냥 받아들이고, 넘어갑니다. 그럼, 가르치는 선생님의 입장에서 많이 아쉬운 맘이 듭니다. '질문을 좀 더 적극적으로, 효과적으로 할 수도 있을 텐데.' '공부를 제대로 한다면 질문을 저렇게 하지는 않을 텐데.' 그래서 어떻게 공부를 제대로 하고, 질문을 어떤 식으로 하고, 선생님의 설명을 어떻게 들어야 하는지에 대해 이야기해 보려고 합니다. 질문의 수준을 보면, 학생의 수준을 알 수 있습니다. 지금 수학 실력이 좋지 않더라도, 공부를 대하는 태도도 여실히 드러납니다. 잘 모르겠어요, 정도의 질문은 고민의 흔적이 전혀 보이지 않는 질문입니다. 공부를 제대로 하고 내 공부에 도움이 되게끔 물어보려면, 질문의 내용이 구체적이어야 합니다. 예를 들면, 이 문제를 여기까지 풀어봤는데 이 이후에 어떻게 손을 대야 할지 모르겠어요. 또는, 저
항등식, 잘 나오는 유형 문제 풀이, 고등수학(상) [내부링크]
이번에는 항등식 문제들 중에서 다루지 않은 문제 유형들을 풀어볼 거예요. 항등식에서 잘 나오는 유형들입니다. 개념이 어렵지 않으니까 잘 보고 풀어보면 어렵지 않을 거예요. 1. 연산을 정의한 문제는, 문제에서 정의한 대로 써주면 됩니다. 임의의 실수 p, q는 모든 실수 p, q에 대해 항등식이라는 뜻입니다. 2. 좌변이 삼차식이고 삼차항의 계수가 1이면, 우변에서 나누는 식이 이차식이고 이차항의 계수가 1이니까 몫인 Q(x)는 일차항의 계수가 1인 일차식입니다. Q(x)=x+c로 설정하고 전개해서 계수 비교하면 됩니다. 3. 적당한 수를 대입해서 항을 줄여서 원하는 값을 구하면 됩니다. 4. k 값과 관계없이 항상 성립, k가 어떤 값이 되든지 항등식이라는 뜻입니다. k( )+( )=0의 꼴로 정리합니다. 항등식이므로 ( ) 안의 식이 0입니다 5. 모든 실수 x, y에 대하여 등식이 성립한다는 건, x, y가 어떤 값이든 항등식이라는 뜻입니다. 미지수가 두 개이므로, 한 문자에
수학 공부에서 개념 공부는 어느 정도 해야 했다고 할 수 있을까? [내부링크]
수학 공부는 학년이 올라가면 점점 난이도도 올라가고, 학생들이 배워야 하는 양도 많아집니다. 고등수학을 공부하는 학생들은 알아야 할 게 많아서, 너무 힘들고 어렵다고 한숨을 쉬지요. 학생들은 귀찮고 힘드니까 대충 문제를 풀 수 있을 만큼 개념을 기억하고, 지나면 잊어버리고, 나중에 또 모르면 선생님한테 또 물어보고, 그 순간이 지나고 다른 내용을 배우면 또 잊어버립니다. 어떻게 보면 잊어버리고 다시 배우고 또 잊어버리고 배우는 과정이 자연스러운 것일 수도 있습니다. 인간은 망각의 동물이니까요. 그런데, 안 그래도 수학이 점점 어려워지고 양도 많아지는데 학생은 계속 까먹고 되살리기를 반복하고 있다면 답답한 노릇이 아닐 수 없지요. 그런데 잊지 않을 수 없다면, 제대로 공부했다가 잊은 것을 제대로 되살린다면, 이 망각의 비효율을 줄일 수 있지 않을까요? 개념 공부는 어느 정도 해야 제대로 한 것일까? - 한 단원을 배웠다면, 그 단원에 나온 내용을 백지에 다 쓰고 설명할 수 있을 정도
집합의 연산, 개념 설명, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 집합의 연산에 관해 공부해 볼게요. 오늘도 새로운 용어가 많이 나오니까 다 구분해서 알고 있어야 해요. 언제나 처음 배우는 내용은 정의를 정확히 알아야 합니다. 1. 합집합과 교집합 (1) 합집합 두 집합 A B에 대하여 A의 원소이거나 B의 원소인 모든 원소로 이루어진 집합. A와 B의 합집합이라 합니다. (2) 교집합 두 집합 A, B에 대하여 A의 원소이고 B의 원소인 모든 원소로 이루어진 집합. A와 B의 교집합이라 합니다. 예> (3) 서로소 두 집합 A, B에서 공통인 원소가 하나도 없을 때, A와 B는 서로소라고 합니다. 예> 2. 합집합과 교집합의 성질 벤다이어그램을 그려보지 않아도, 합집합과 교집합의 정의를 알고 있으면 금방 이해할 수 있는 내용입니다. 보고 이해하고 짚고 넘어가면 됩니다. 3. 여집합과 차집합 (1) 전체집합 어떤 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음에 주어진 집합을 전체집합이라 합니다. 기호로는 보통 U로 나타냅니다. (2) 여집
조립제법을 연속으로 이용하는 항등식, 항등식에서 계수의 합 구하기, 고1 수학 [내부링크]
지난번 포스팅에서 항등식과 미정계수법, 다항식의 나눗셈에서 항등식의 성질이 어떻게 활용되는지에 대해 배웠지요? 이번에는 항등식 단원에서 학생들이 유난히 어려워하는 문제 유형을 따로 가져와봤어요. 따로 자세하게 설명해 볼 건데, 한꺼번에 개념을 배우면서 같이 배우는 것보다 요렇게 따로 이것만 배우는 게 훨씬 이해가 잘될 거예요 그럼 이제 들어가 볼게요~ 먼저, 첫 번째 유형입니다. 다항식의 나눗셈에서 나누는 식이 일차식일 때, 나누는 방법이 있었지요? 바로 조립제법, 이 조립제법을 연속으로 사용하여 푸는 문제 유형을 설명해 볼게요. x-a에 대한 내림차순 문제, x-a에 대해 내림차순 문제는 x-a로 나누는 조립제법을 연속으로 사용합니다. 1. 일차식 x-2로 나누어지니까 조립제법으로 나누어서 나온 결과를 정리하고, 정리한 식에서 몫을 다시 나누고, 나온 결과를 또 정리하고, 정리한 식에서 나온 몫을 다시 나누어줍니다. 나눈 부분을 색깔로 표시했으니 보면 알 수 있습니다. 결과적으로
집합의 포함관계, 고등수학(하) [내부링크]
지난번 포스팅에서 집합에서 나오는 용어에 대해 공부했어요. 머릿속에 용어들 잘 정리되어 있지요? 이제 본격적으로 집합에 대해 들어가 볼게요. 1. 부분집합 두 집합 A, B에 대하여 A의 모든 원소가 B의 원소일 때, A를 B의 부분집합이라 합니다. 부분집합을 문제에서 표현할 때, 위와 같이 표현하기도 합니다. 기억해두세요. 부분집합을 표현하는 기호도 알아야지요. 부분집합의 성질 세 집합 A B, C에 대하여, 부분집합에서, 공집합은 모든 집합의 부분집합이고, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다. 위의 성질들은 꼭 기억해야 합니다. 예> 두 집합 A={1, 2}, B={1, 2, 3, 4}에서, (1) 집합 A의 모든 원소 1, 2가 집합 B의 원소이므로, A는 B의 부분집합입니다. (2) 집합 B의 원소 중 3, 4가 집합 A의 원소가 아니니까, B는 A의 부분집합이 아닙니다. 2. 서로 같은 집합 두 집합 A, B의 모든 원소가 같을 때, 'A, B는 서로 같다'라고 합니다
항등식과 미정계수법, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 고등수학(상) 항등식에 대해 공부해 볼게요. 1. 항등식과 방정식 (1) 항등식 항상 등식이 성립하는 식. (2) 방정식 문자에 특정한 값을 대입했을 때에만 성립하는 식. 예> 2. 항등식의 여러 가지 표현 문제에서 항등식을 의미하는 여러 가지 표현들이 있는데요. 그 표현을 알고 있으면, 문제의 의미를 파악하기가 훨씬 쉽겠지요? (1) x의 값에 관계없이 (2) 모든 x 값에 대하여 (3) 임의의 x에 대하여 (4) 어떤 x의 값에 대하여서도 이런 말이 있으면서 항상 성립하는 등식이라고 하면, 항등식이라는 의미입니다. 3. 항등식의 성질 x 값에 관계없이 항등식이 되어야 하므로 양변의 동류항의 계수와 상수항이 같아야 합니다. 4. 미정계수법 (1) 계수 비교법 항등식의 동류항은 모두 같으므로, 양변의 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 정하는 법. (2) 수치 대입법 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 성립하므로, 문자에 적당한 수를 대입하여 미정계수를 정하는 법. 예> 계
집합의 뜻과 표현, 고1 수학 [내부링크]
이번에는 수학 (하) 첫 단원 집합에 대해 설명할 건데요. 처음 배우는 내용인 만큼 개념을 잘 잡을 수 있도록 상세 설명해 보도록 할게요. 먼저 집합 단원에서 나오는 용어를 정확히 아는 것부터 시작할게요. 1. 집합과 원소 집합 - 주어진 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 결정할 수 있는 모임. 예 > 5 이하의 자연수의 모임 : 1, 2, 3, 4, 5로 그 대상이 명확하게 결정됩니다. (집합) 큰 수의 모임 : 얼마나 큰 수인지 기준이 명확하지 않습니다. (집합이 아니다.) 원소 - 집합을 이루는 대상 하나하나. 위에서 5 이하의 자연수의 모임인 집합에서 그 대상인 1, 2, 3, 4, 5는 집합의 원소입니다. 집합과 원소의 관계 일반적으로 집합은 A, B, C... 와 같이 알파벳 대문자로 표현합니다. 집합의 원소는 a, b, c... 와 같이 알파벳 소문자로 나타냅니다. a는 A의 원소이다. b는 A의 원소가 아니다. 이렇게 표현합니다. 2. 집합의 표현 방법 원소나열법 -
다항식의 나눗셈, 잘 나오는 유형 문제 풀이, 고1 수학 [내부링크]
이번 포스팅에서는 다항식의 나눗셈에서 많이 나오는 유형의 문제들을 풀어볼게요. 단순하게 다항식을 나누는 문제는 제외했습니다. 1. 직사각형의 넓이는 (가로)×(세로)이므로, 넓이에서 가로의 길이를 나누면 됩니다. 2. 다항식 A, B를 구하고, xA+B를 계산한 뒤 나누어서 몫과 나머지를 구하면 됩니다. 차근차근 문제에서 하라고 하는 대로 풀면 어렵지 않습니다. 3. 조립제법을 할 수 있으면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 순서대로 a, b, c, d의 값을 구해서 다항식 f(x)를 구하고 f(-1)을 구하면 됩니다. 단순 연산을 제외하고 문제를 풀어봤는데, 내용이 어렵지 않다 보니, 이 문제들도 단순 계산과 다르지 않아 보이네요. 어렵지 않은 내용이니까 보고 공부하면 잘 이해할 수 있을 거예요. 오늘도 이 세상에 수포자가 다 사라지길 바라는 마음으로 포스팅을 했어요. 또 만나요~^^
다항식의 나눗셈, 다항식 f(x)를 x-b/a로 나눌 때와 ax-b로 나눌 때, 몫과 나머지, 고등수학(상) [내부링크]
다항식의 나눗셈과 조립제법을 사용하는 법을 배웠는데요. 다항식 f(x)를 x-2/3로 나눌 때와 3x-2로 나눌 때 조립제법에서 똑같이 x-2/3=0, 3x-2=0이 되는 x=2/3로 나눕니다. 그럼 두 경우 나누는 식이 분명 다른데 몫과 나머지가 같을까요? 문제를 보면서 설명해 볼게요. 1. 나누는 식이 ×3이 되었으니 몫은 ÷3이 되어야 식의 값이 변하지 않습니다. 나머지는 두 경우 모두 같습니다. 2. 나누는 식이 ÷ a가 되었으니 몫은 × a가 되어야 식의 값이 같습니다. 3. 나누는 식이 ×2, 몫은 ÷2가 되어야 식의 값이 변하지 않습니다. 4. 난이도가 조금 높아졌습니다. 양변에 × x를 하니까 나머지에도 x가 생겼지요? 이런 경우 모든 항을 다 나누어서 몫과 나머지를 구해야 합니다. Rx도 2x-1로 나누어야 합니다. 위에서 배운 대로 나누는 식이 ×2, 몫은 ÷2, Rx는 나누는 식 2x-1을 넣어주고 x는 ÷2, 나머지는 식을 변형했을 때 없던 항이 생기니까 식의
고등수학(상), 공식처럼 추가로 외워두면 좋은 공식 [내부링크]
공부를 하다 보면, 암기하지 않아도, 이해를 하고 있다면, 유도해서 풀면 풀 수는 있지만, 외워두면 빨리 풀 수 있는 내용들이 있지요. 이번 포스팅에서는, 공식은 아니지만, 공식처럼 외우면 좋은 공식을 배워볼게요. 먼저 문제를 풀면서 설명해 볼게요. 1. 네모 박스에 있는 식은 공식은, 아니지만 외워두면 편리합니다. 바로 위에 이 식이 나오는 과정을 설명해놓았으니 보고 이해하면 됩니다. 과정을 이해해야 혹시 잊어버려도 풀 수 있겠지요? 2, 네제곱의 합을 구하는 문제입니다. 알고 있는 곱셈공식을 잘 활용하면 어렵지 않습니다. 구하려는 식을 보면서 차근차근 순차적으로 필요한 식의 값을 구하면 됩니다. 중간에 보면 위에서 배운 공식이 사용된 게 보이지요? 외워두면 문제를 풀다가 유도하지 않아도 되니까 편리합니다. 오늘 배운 내용을 꼭 기억해놨다가 활용하세요~^^ 언제나 여러분의 공부에 도움이 되었으면 합니다.^^
고1 수학, 다항식의 연산, 유형별 문제 풀이 [내부링크]
지난 포스팅에 고등수학(상) 1단원의 개념 정리와 곱셈공식과 변형 공식에 대해 설명했어요. 다항식의 연산 단원에서 나오는 유형 문제들을 풀어볼까요? 눈으로만 보면 안 되는 거 알지요? 종이 준비하고, 문제 풀 준비했지요? 문제를 먼저 풀어본 뒤 풀이를 봐야 해요. 곱셈공식을 외우고 문제에 적용하면 되는 문제들은 다루지 않을 거고, 혼자 풀 때 어려움이 있어서, 선생님의 도움이 필요할 것 같은 문제, 즉, 꼭 알아야 하는 유형 문제 위주로 풀이해 볼게요. 연필 들었지요? 1. 다항식의 계산에서도 중2에서 배운 연립방정식 풀이와 마찬가지로 더하거나 빼서 한 문자를 소거합니다. 이 문제에서는 먼저 빼서 A를 소거해서 B를 구한 뒤, B를 대입해서 A를 구했습니다 2. 계수를 구하는 문제는, 다 전개하지 않고 곱해서 나오는 항의 계수만 계산합니다. 이 문제는 완전제곱식이므로 같은 식을 두 번 곱한 것이니 알아보기 쉽게 하기 위해 같은 식을 나란히 적어서 계수를 구합니다. 3. 곱셈공식은 암
수학 선행학습을 반드시 해야 할까? 언제부터, 얼마나 해야 할까? [내부링크]
"우리 아이는 제 학년 것도 잘 못하는데 선행은 못 할 것 같아요." "어릴 때부터 선행학습을 하는 건 너무 가혹한 것 같아요.ㅠㅠ" 아이가 어릴 때 공부하면서 학원에 있기보다, 공부 말고 많은 걸 경험했으면 하는 맘이 들기도 하고, 꼭 그렇게 일찍부터 공부를 시켜야 하나, 이럼 맘이 드실 거예요. 그런데 주위에서 초등생인데, 수1까지, 미적분까지 하고 있다는 말이 들려오면, 마음이 불편해지지요. 대학 입시에 수학이 중요하다는데, 그래도 이과 계열로 공부를 하려면 해야 하는 양이 많다는데, 나 때는 학원 안 다녀도, 선행 안 해도 괜찮았어. 이런 생각들로 마음이 복잡해집니다 선행을 해야 할까요, 하지 말아야 할까요? 언제부터 선행학습을 하는 게 좋을까요? 얼마만큼의 앞 과정까지 공부하는 게 좋을까요? 이런 부분은 부모님의 선택이고, 정답은 없습니다. 다만 현장에서 많은 아이들을 가르쳐보고 느낀 제 생각을 말씀드려볼게요. 일반적으로, 학생이 매우 특출나지 않은 경우, 초등 저학년 때부
반드시 외워야 하는 곱셈공식 9개, 변형 6개 [내부링크]
고등수학(상)에서 반드시 암기해야 할 곱셈공식과 변형 공식을 가져왔어요. 고등수학(상)에 새롭게 나오는 공식만 다룰 건데요. 3-1에서 배우는 공식은 아래 링크 넣어놓을 테니 보고 공부하면 됩니다. 곱셈공식 외워야 할 곱셈공식은 모두 9개입니다. (1), (3) 번은 하나만 외우고 두 번째는 부호만 바꾸면 됩니다. (4) 번도 하나를 외우고 두 번째 식은 부호를 바꾸는 게 쉽습니다. 곱셈공식 변형 공식은 위의 곱셈공식을 공통인수로 묶어내거나 이항을 해서 만들어진 것이니 전개를 하면 곱셈공식이 됩니다. 이항만 하면 나오는 공식은 제외했고, 꼭 외워야만 하는 공식들만 적어봤어요. 곱셈공식 변형 곱셈공식의 변형도 3-1에 있는 공식은 제외했고, 곱셈공식을 이항만 하면 되는 정도의 공식은 뺐어요. 반드시 외워야 하는 공식 위주로 적어봤어요. (1) 번은 사실 다 같은 공식입니다. 그러나 자주 나오는 공식이므로 모두 외워두는 것이 편리합니다. (3) 번은, 같은 공식으로 부호만 바꾼 아래
수학 공부에서 자신감이 중요한 이유 [내부링크]
학생들은 대부분 수학을 싫어하고, 어려워합니다. 그리고 그런 학생들은 수학을 무서워합니다. 수학은 그냥 수학일 뿐인데 왜 무서워할까요? 스스로 수학은 어려우니까 못 하니까 싫고, 너무 싫으니까 피하게 되고, 피하면 더 못 하고... 이런 악순환이 반복되니까 그런 것 같습니다. 수학을 잘 하려면 꾸준히 열심히 하는 시간이 필요합니다. 개념을 배우고 틀리고 다시 푸는 지루한 과정을 거쳐야 합니다. 그런데 틀리고 모르면 적극적으로 알려는 노력을 하면 좋을 텐데, 학생은 가만히 붙들고만 있습니다. 질문을 해야 한다고 말해도 소용이 없어서 결국은 선생님이 학생이 붙들고 있는 문제들을 보면서 하나하나 물어보는 수밖에 없습니다. 싫고 무서운 걸 붙들고 있어야 한다고 생각하면 얼마나 힘들까요? 수학이 좋아지면 가장 좋겠지만, 그러긴 쉽지 않으니까 어떻게 하면 수학이 할 만하게 할까? 이게 항상 고민이 됩니다. 그런 학생들은 수학에 대한 자신감이 없습니다. 난 해도 안 될 거라는 생각을 가지고 있는
시험을 앞두고 공부할 건 많고, 해놓은 건 없는데 시간이 없을 때, 해야 할 것 - 수학 [내부링크]
시험을 잘 보려면, 미리미리 평소에 공부를 제대로 해서, 계획대로 착착 진행해서 시험 때 완벽한 준비와 컨디션을 가지고 시험을 봐서 좋은 성적을 받는다면, 그보다 좋은 건 없겠지요. 그러나, 모든 일은 언제나 계획대로 되지 않고, 내 맘 같지 않지요. 마음은 미리 열심히 공부하려 했으나, 여러 가지 상황이 생기고, 마음과 달리 즐겁고 좋은 것을 조금만 하면서 시간을 보내려 했는데 어느새 시간이 그냥 가버리는 일이 많지요. 정신 차리고 보니 시험이 일주일 앞으로 다가와 있는 경험 많이 겪어봤을 거예요. 지금도 그런 상황에 있는 학생들도 있을 거예요. 그럼 정신이 아득해지면서, 앞이 캄캄하지요, 망했다!!! 이번 시험은 이미 망한 것 같아요.ㅠㅠ 학생들은 이런 말로 걱정을 합니다. 그럼 이미 늦었으니 포기해야 할까요? 위기를 만났을 때 가장 중요한 건, 흔들리지 않는 마음, 멘탈입니다. 가장 먼저 흔들리는 멘탈부터 부여잡고, '당황하지 말고, 정신 똑바로 차려야 해' 이렇게 마음부터 단
학생의 수면시간과 공부, 잠을 어느 정도 자는 게 적당할까? [내부링크]
시험 때 학생들은 공부를 하러 스터디 카페를 가서 밤을 새우기로 했다고 하고, 어제 공부를 하느라 새벽 5시에 잠을 자서 3시간밖에 못 잤다고 하기도 합니다, 잠이 부족한 학생들은 수업 시간에 꾸벅꾸벅 졸아서 선생님이 계속 깨우면, 너무 졸리니까 흔들흔들 몸을 움직이기도 하고, 일어서서 문제를 풀기도 하지요. 어떤 학생들은 카페인 음료를 너무 많이 먹기도 해서 선생님이 많이 먹지 말라고 주의를 주는 상황이 됩니다. 잠 때문에 거의 전쟁인 것 같습니다. 그런데 학생들은 열심히 공부를 하겠다는 마음으로 잠을 줄이면서 공부를 하는데, 선생님의 눈으로 보면, 참 안타깝게 보일 때가 많습니다. 잠을 못 자서 반쯤 자고 있는 정신 상태로 하고 있는 공부가 과연 머릿속에 들어갈까? 집중은 되니? 저렇게 하면 몸은 힘들고 공부는 효율적이지 못할 텐데. 이번에는 수면시간과 공부의 효율에 대해 이야기를 해볼까 합니다. 잠이 부족할 때의 문제점 1. 공부를 하는 것도, 잠을 자는 것도 아니면서 피곤하
수학 문제의 오답 풀이를 할 때 정답지의 해설을 보는 게 공부에 도움이 될까? [내부링크]
보통은 수학 문제를 풀고 틀린 문제를 다시 풀면서 모르는 문제는 선생님한테 질문을 하고, 설명을 듣습니다. 학생들은 문제가 너무 어려워서 손도 못 대는 경우, 답답한 마음에 선생님한테 다 질문을 하거나, 그럴 수 없는 경우 정답지에 있는 해설을 보고 싶은 마음이 듭니다. 그리고 아예 몰라서 못 풀 바엔 해설을 보고 푸는 방법을 배워서 문제를 푸는 게 훨씬 낫지 않을까? 이런 생각이 들기도 합니다. 모르는 문제를 해설을 보고 공부하는 게 도움이 될까요? 해설을 보는 건 잘 활용하면 약이고, 잘못 쓰면 독입니다. 절대 답을 보면 안 되는 경우 문제에 손을 못 댈 때, 개념을 공부하고 문제를 푸는 단계일 때. 심화문제지가 아닌 문제지를 풀 때, 문제에 손을 못 대겠다면, 개념 공부가 덜 되어있는 경우입니다. 개념으로 돌아와서 다시 개념 정리를 하고, 알고 있는 내용을 문제에서 어떻게 활용할지 고민해야 합니다. 처음부터 해설이나 문제의 힌트를 보고 문제를 풀면, 답지에 의존해서 문제를
집중력을 유지하면서 공부하는 법. [내부링크]
"선생님, 집중력이 바닥나서 집중이 안 돼요." 어느 정도 수업이 진행되다 보면 학생들이 말도 많아지고 몸도 흔들흔들 움직이기도 하고, 화장실은 꼭 수업 시간에 가려고 합니다. 쉬는 시간에는 떠들거나 핸드폰 게임을 하느라고 화장실을 못 갔거든요. 이래저래 산만해집니다. 보통 수업 시간이 짧지 않은데 아직 어린 학생들이 집중을 오랫동안 유지하는 게 쉽지 않겠지요. 어른들도 1시간이 넘는 시간 동안 가만히 앉아서 수업이나, 강의를 들으려면 힘든데요. 공부는 해야 하고, 집중은 안 되고, 어떻게 해야 할까요? 머릿속에 쏙쏙 들어오는 이야기를 하면, 흐름을 따라가면서 이해가 잘 되니까 집중하기가 쉽습니다. 오래 집중하는 게 어렵다면, 잘 모르는 내용이라서 머리에 잘 들어오지 않으니까 조금만 공부를 해도 피곤하고 머리가 아픈 느낌이 들어서 그럴 거예요. 딴 생각이 나고 졸린 걸 참으면서 공부하는 건 참 어려운 일인데요. 공부는 해야 하니 어떻게든 머릿속에 넣어야 하니 꾹 참아야 하지요. 그래
공부 의지가 없는 학생에게 동기 부여를 하는 최고의 방법 [내부링크]
학생들이 공부를 잘하고 싶은 마음이 없어서 공부를 안 할까요? 공부를 잘하고 싶은 마음은 학생들이 다 가지고 있습니다. 공부를 잘하고 싶긴 하지만 공부를 하는 건 싫은 거지요. 공부를 잘하기 위해 해야 할 일들이 너무 싫고 힘드니까 안 하고 외면하는 겁니다. 공부의 시작과 끝은, 동기입니다. 공부를 하는 건 결국 학생이니까요. 스스로 공부를 해야 할 이유를 찾아야 움직일 동력이 생기겠지요. 학생들을 가르치면서 가장 어려운 건, 공부를 할 의욕과 의지가 없는 학생들이 공부를 하게끔 하는 것인 것 같습니다. 학생이 조금이라도 동기부여가 되었으면 하는 생각에 여러 가지 이야기를 다 해주는 편인데요. 선생님과 부모님이 아무리 좋은 이야기를 아이에게 많이 해줘도 다 귓등으로 듣다가 의도치 않게 던진 한 마디에 꽂혀서 동기 부여가 빡, 되는 경우도 있고, 갑자기 친구가 열심히 하는 것을 보고 자극받아서 열심히 하기도 합니다. 학생들을 주변 환경에 영향을 많이 받습니다. 학교 분위기가 공부하는
수학 문제 채점을 엄마가 해주는 게 좋을까? [내부링크]
수학공부를 본격적으로 한 지 얼마 되지 않은 학생들은 과제를 성실히 하지 않는 경우가 많습니다. 또 풀이를 제대로 쓰지 않기도 하고, 채점도 엉망으로 하기도 합니다. 그런 경우 학생이 과제를 제대로 했는지 확인을 하고, 채점도 깨끗하게 해야 하니까 어머님이 채점을 해 주시는 일이 종종 있습니다. 학생의 과제를 신경써서 점검해 주시고 채점도 해서 보내주시니 너무 감사한 일입니다. 이런 경우 아무래도 과제를 부모님이 검사를 하니까 과제완성도가 좋은 경우가 많고, 실제로 어머님이 신경을 써주시면 공부습관이 빠르게 자리 잡으니까 학생의 과제를 검사해 주신다고 하면 학생의 습관이 잘 잡히겠구나 하는 기대감도 가지게 됩니다. 그럼 채점을 부모님이 해주시는 것이 좋은 점만 있을까요? 보통 처음 공부를 시작하는 학생들은, 공부에 대한 의지도 약하니까 과제를 해 오면 학원에서 선생님이 답을 알려주고, 학생들이 채점을 하게끔 합니다. 물론 채점을 깨끗하게, 정확히 하게끔 미리 교육을 합니다. 그러면
게임이 공부보다 재미있는 이유? 게임에서 벗어나는 법 [내부링크]
아이들은 게임을 참 좋아합니다. 게임에 빠져서 공부를 하지 않는 아이 때문에 고민인 부모님도 많으시고요. 수업 중간 있는 잠깐의 쉬는 시간에도 아이들은 핸드폰부터 찾아서 게임을 합니다. 쉬는 시간이 끝났다는 걸 알려주는 종이 치고 휴대폰을 넣고 수업을 하자는 이야기를 해도 두세 번 말을 하고 재촉할 때까지 아이들은 휴대폰을 놓지 않습니다. 게임이 아직 안 끝났거든요. 10초만, 20초만 기다려달라는 이야기를 하면서 시간을 끄는데 그 이유는 한 판이 아직 안 끝났기 때문입니다. 게임이 그렇게 좋을까? 왜 좋아할까? 당연한 말이지만 재미있으니까 좋아하겠지요. 왜 재미있을까? 생각해 보면, 저도 한때 게임에 빠져서 이것저것 하루 종일 게임을 한 시기가 있었습니다. 게임이 정말 재미가 있었는데, 게임의 종류에 따라 재미를 느끼는 포인트가 달랐던 것 같아요. 한 판에 끝이 나는 게임들은 이기거나 점수를 내니까 성취감이 느껴졌고 캐릭을 키우거나 아이템을 얻는 게임들은 캐릭이 아이템을 갖추거나
중2 수학, 직선의 방정식, 직선의 평행, 일치, 직선으로 둘러싸인 도형 넓이, 시험 대비 문제 [내부링크]
기말고사가 얼마 안 남았어요. 1학기 기말고사는 범위에 함수가 있어서 그런지 학생들이 중간고사 때보다는 항상 더 어려워합니다. 그런 만큼 잘 마무리를 해야겠지요? 이번에도 중2 일차 함수의 마지막 단원을 마무리할 문제들을 가지고 왔어요. 집중해서 공부해 볼까요? 1. 점의 좌표를 구하고 한 교점을 지나니까 대입합니다. 2. 직선에서 평행 조건과 일치 조건을 꼭 기억하세요!!! 평행할 때는 연립방정식의 해가 없고, 일치할 때는 해가 무수히 많습니다. 3. 방정식의 교점이 2개 이상이다. : 해가 무수히 많다. 즉 두 방정식이 일치한다는 말입니다. 4. x축에 평행한 직선, y 축에 평행한 직선은 그래프를 그려서 판단하면 파악하기 쉽습니다. 5. 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 땐, 그래프를 그려서 구합니다. 6. 일차함수의 그래프를 주고 옳은 것 또는 옳지 않은 것을 구할 때는, 먼저 그래프를 보고 식을 구하고 나서 보기를 보는 게 좀 더 빨리 문제를 푸는 법입니다. 7. 일차함
이차방정식 활용, 닮음을 이용한 도형 문제, 중3 수학 시험 대비 [내부링크]
중3 이차방정식 활용에서 학교 시험 마무리용 문제를 가지고 왔어요. 자주 출제되는 문제지만 매번 어려워하는 문제와 실수하기 쉬운 문제, 어렵지 않지만 꼭 알아야 할 문제들을 가지고 왔어요. 난이도는 중 또는 중상 정도입니다. 너무 어려운 문제는 출제 빈도가 높지는 않으니까 제외했어요. 이번 문제들은 닮음을 활용한 이차방정식 활용 문제가 있으니까 열심히 공부해서 꼭 맞히도록 해봐요~^^ 먼저 이차방정식 활용 문제 푸는 법부터 짚고 가지요. 이차방정식 활용 식 세우기 1. x 설정하기. 2. 이차방정식 세우기. 3. 해 구하기. 4. 조건에 맞는 답 쓰기. 이제 이차방정식 활용을 완벽하게 마무리하기 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 근의 개수는 판별식으로 판단합니다. x 계수가 짝수인지 홀수인지에 따라 두 가지 판별식을 모두 쓸 줄 알아야 연산이 수월합니다. 두 식 모두 쓸 수 있게 정확히 알아두세요. 2. 잘못 보고 푼 이차방정식 문제는, 해를 보고 인수분해식으로 이차방정식을 세운 뒤
이차방정식 풀이-시험에 꼭 나오는 문제 4문항, 중3-1 [내부링크]
중3 기말고사 대비용 문제 풀이, 이차방정식 풀이 단원입니다. 이차방정식 풀이는 어렵지 않아서 기말고사에서 상대적으로 비중이 높지는 않습니다. 자주 출제되지만 잘 틀리는 문제 위주로 골라봤어요. 집중하고 들을 준비되었나요? 이제 문제 들어갑니다~^^ 1. 중근이 되기 위한 조건은 판별식=0 또는 식이 완전제곱식이어야 합니다. 중근이 주어진 문제는 식이 완전제곱식이라는 것을 활용합니다. 2. 근의 공식과 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이는 잘 알고 있어야 합니다. 3. 중근을 가질 조건을 꼭 기억해야 합니다. 4. 완전제곱식을 이용한 풀이는 잘 알고 있어야 합니다. 이차방정식 풀이에서 시험에 잘 나오는 문제를 풀어봤어요. 기말고사 대비에 도움 되길 바랍니다.^^
[중고생 수학] 우리 아이는 수학 머리가 있나요? [내부링크]
geralt, 출처 Pixabay "우리 아이가 수학 머리가 있긴 한가요?" "우리 애는 수학적으로는 좀 아닌 것 같은데 어떡하죠?" 학부모님들께 많이 듣는 질문 중 하나입니다. 요즘 대입에서 수학이 매우 중요하고 이과 계열 과목들을 선택해야 한다고 하니 수학을 잘 해야 할 것 같은데 아이가 수학을 잘 못하는 것 같으면 답답한 마음에 이런 질문을 하시는 것 같습니다. 그럼 정말 수학 머리라는 게 있을까요? 물론 있긴 합니다. 현장에서 보면 하나를 가르치면 열 이상을 아는 특출난 학생이 있긴 합니다. 그런 학생들이 공부를 하고 성적을 잘 받아서 좋은 대학에 가는 게 평범한 학생들보다 수월하긴 합니다. 그러면 그렇지 않은 내 아이는, 수학 머리가 별로 없어 보이는 내 아이는 수학을 잘 할 수 없을까요? 그렇지는 않습니다. 대입에서, 수학 능력 시험에서 요구하는 수학 공부라는 건 특별한 재능이 있어야만 할 수 있는 수준의 공부는 아닙니다. 물론 처음 배울 때 어렵지만 공부하면 이해하고
[중고생 수학] 수학 잘 하는 법. 이해 vs 암기 [내부링크]
jeswinthomas, 출처 Unsplash "어떻게 하면 수학을 잘 할 수 있나요?" 가장 많이 듣는 질문인 것 같습니다. "수학 공부를 할 때, 이해가 중요한 것 같니, 암기가 중요한 것 같니?" 학생들한테 이렇게 물어보면 저마다의 답을 합니다. 수학을 잘 하려면 개념을 이해하고, 필요한 개념과, 유형, 때로는 문제의 풀이 법도 암기해야 합니다. - 개념을 이해하고 암기해서 백지에 개념 마인드맵을 그려낼 정도는 되어야 합니다. 그래야 여러 유형의 문제를 접했을 때 머릿속에서 개념을 꺼내서 적용할 수 있습니다. - 유형을 암기해야 하는 이유는, 개념 이해만으로는 잘 풀리지 않는 문제들이 많기 때문입니다. 유형을 외우되 개념이 어떻게 활용되는지 정확히 이해해야 합니다. - 문제의 풀이법을 암기하는 경우 심화문제의 경우 외우지 않으면 풀기 어려운 경우가 많습니다. 역시 외우되 개념이 어떻게 활용되는지는 알아야 합니다. 이런 과정을 계속하다 보면 개념을 더 잘 이해하고 활용하게 됩니
[초중고 수학] 공부습관을 잡는 방법 <1> 공부의 시작은 습관입니다. - 동기부여 [내부링크]
Peggy_Marco, 출처 Pixabay "공부를 제대로 해본 적이 없어요. 어떻게 해야 하죠?" 전에는 중학교를 처음 입학하는 학생들의 학부모님들께 듣는 이야기였는데, 최근에는 이렇게 공부습관이 안 잡혀있는 학생들의 연령대가 확 올라간 것 같습니다. 코로나19를 겪으면서 등교도, 외출도 원활하지 않다 보니, 집안에서 보내는 시간이 많았던 학생들이 비대면 수업을 참여하긴 했지만, 아무래도 스스로 시간과 일정을 통제하면서 공부를 할 수는 없었던 것이죠. 그러다 보니 요즘 등교도 하고 차츰 마스크 착용 의무화도 풀려서 이제 갑자기 공부를 하려니, 해도 안 되는 겁니다. 머릿속에 들어오지도 않고 속도도 안 나고 무엇보다도 책상 앞에 앉아있는 것부터가 안 되는 것이죠. Peggy_Marco, 출처 Pixabay 그럼 이제 공부를 시작하려면 뭐부터 해야 할까요? 동기 부여 - 공부를 안 했던 학생들은 해야 한다는 생각 자체가 약한 경우가 많습니다. 공부가 재미있을 리가 없으니 공부를 하
[초중고 수학] 공부습관을 잡는 방법 <2> 공부의 시작은 습관입니다. - 책상 앞에 앉아 있기. [내부링크]
jessbaileydesigns, 출처 Unsplash 공부를 해볼까 생각이 든 아이들이 이제 공부를 하려면 무엇을 해야 할까요? 책상을 공부를 할 상태로 세팅해놓기 - 공부를 안 했던 학생들의 책상의 상태는 보통 이렇습니다. 책상과 책장에 공부할 책과 문제지 등이 필요한 건 있는 게 없고 별 상관없는 것만 가득해서 지저분하거나, 아니면 있어야 할 게 없어서 그냥 깨끗합니다. 서랍 안의 상황도 비슷합니다. 먼저, 학생이 공부할 공간을 스스로 정리하게 합니다. 필요한 문제집과 책을 꽂고 문구들도 언제든 꺼낼 수 있게 정리합니다. 쓸 때마다 어디에 두었는지 몰라서 온 책상을 뒤지면 시간 낭비이기도 하고 안 그래도 집중력이 제로인 학생의 집중력과 공부의지를 없애는 일이 되니까요. 공부할 환경을 만들었다면 학생은 책상에 앉아서 공부를 합니다. 처음에는 뭘 해야 할지 모르니까 학원 과제를 하겠지요. 얼마 앉아 있지도 않았는데 학생은 좀이 쑤실 거예요. 공부를 해보지 않은 학생들은 30분 앉
[공부의 기본] 공부를 잘하기 위해 기본이 되는 것 - 문해력 [내부링크]
mohamed_hassan, 출처 Pixabay "수학을 잘 하려면 뭐부터 해야 할까요?" 수학 공부를 하기 위한 첫걸음, 수학 공부뿐만 아니라 공부의 기본은 문해력입니다. 수학 잘 하는 법에서 뜬금없이 문해력이 왜 나오나 싶지요? "문제를 읽었는데 무슨 말인지 하나도 모르겠어요." "무슨 말인지 모르겠어요." 학생이 문제를 읽었는데 파악을 못하거나, 선생님이 쉬운 언어로 풀어서 설명을 했는데 못 알아듣는 경우, 문해력이 없어서 이해를 못 하는 경우가 많습니다. 설명을 하다 보면 학생이 수학 내용이 아니라 선생님이 설명하면서 사용한 단어가 무슨 뜻인지 질문하는 일도 자주 있는 일입니다. 이런 경우 같은 시간과 노력을 들여도 공부의 효율이 매우 떨어집니다. 문해력이 좋아서 바로 이해를 하는 학생들은 금세 이해하고 암기까지 하는 동안, 문해력이 없어서 설명을 들어도, 개념을 읽어도 오랫동안 내용 파악을 하고 이해를 해내고, 그 후 암기를 하는 학생들의 속도는 다를 수밖에 없지요. 공부
[공부습관] 공부의 기본이 되는 문해력 키우기. - 독서습관 [내부링크]
CoolPubilcDomains, 출처 OGQ 공부에 가속도가 붙게 하는 문해력!!! 문해력 키우기에는 독서!!! 공부를 잘하려면 문장을 이해하고 내용을 파악하는 능력, 즉 문해력이 필요합니다. 같은 내용을 읽어도 문해력이 없으면, 개념 파악도 잘되지 않고 이해도 잘되지 않습니다. 이해는 하더라도 시간도 많이 걸립니다. 아무래도 문해력이 없으면 공부 효율이 매우 떨어집니다. 문해력을 키우려면 책을 읽어야 한다는 말은 많이 들으셨을 겁니다. 그런데 책을 읽어 보지 않은 학생들이 읽으라고 한다고 읽을까요? 2081671, 출처 Pixabay 어떻게 하면 내 아이가 책을 읽게 할까? 먼저 부모님이 책을 읽는 모습을 보여주세요. - 아이는 부모의 등을 보고 자란다는 말이 있습니다. 항상 책을 가까이하는 부모님의 모습을 보고 자란 아이는, 스스로 책을 좋아하는 아이가 됩니다. 그런데 책을 읽을 시간적 여유도 없고 책도 별로 좋아하지 않는데요. 차선책 : 아이가 독서습관이 생길 때까지 부모
[수학 공부] 수학을 잘 하는 법. 수학 공부에서 가장 중요한 것. [내부링크]
_Alicja_, 출처 Pixabay "어떻게 하면 수학을 잘 하죠?" "수학을 잘 하는데 중요한 게 뭘까요? "수학 공부를 열심히만 하면 될까요?" 수학이 어렵고 힘든 이유 - 수학이 어려운 이유는 계속, 멈추지 않고 열심히 해야 하기 때문입니다. 수학 개념을 처음 배우면 어렵고 힘들죠. 열심히 공부해서 어느 정도 이해도 하고 문제도 잘 풀게 되면, 다음 과정을 공부하게 되면, 또 어렵고 힘들고, 그 과정 또 잘 하게 되면, 또 다음 과정으로 넘어가는데 또 어렵죠. 한 과정을 공부할 때마다 어려우니까 열심히 공부하는 걸 계속해야 합니다. 수학 공부는 과정을 다 배우기 전까지는, 계속 끊임없이 어려운 내용을 공부하고 어느 정도 되면, 또 공부하고 똑같은 과정을 인내하면서 반복해야 합니다. 이런 것도 어려운데 중간에 공부를 쉴 수 없다는 게 더 어렵게 느껴집니다. - 수학은 왜 중간에 쉴 수 없을까요? 공부를 쭉 하다가 멈추고 하지 않으면 그 자리에 멈춰있으면 좋은데 잊어버리기도 쉬
[공부습관] 사소한 습관의 힘-공부의 시작은 습관 바꾸기부터. [내부링크]
HtcHnm, 출처 Pixabay 공부습관이 제대로 잡혀 있지 않아서 걱정이에요. 시간 관리를 못 해서 해야 할 것을 못 해요. 공부를 하긴 하는데 결과가 없어요. 아이의 공부 때문에 고민하시는 학부모님들의 하소연을 들어보면, 거의 학생의 공부하는 태도와 습관이 문제인 경우가 많습니다. 아무리 깨워도 일어나지 않아요. - 일어나는 시간과 자는 시간이 규칙적이지 않은 경우. 깨우는 것도 전쟁이고, 깨어 있는 시간에도 집중하지 못하고 반은 졸고 있어서 제대로 자지도 못하면서 깨어있는 시간도 활용하지 못하니 이도 저도 아닌 답답한 상황이 됩니다. 지각이 일상인 건 당연하겠지요. 집중력이 없어서 너무 산만해요. 붙들고 있기는 하는 것 같은데 결과가 없어요. - 학생에게 공부습관 자체가 없으니, 또 공부에 관심이 없으니까 당연한 일입니다. 눈으로는 문제를 보고 있지만, 머릿속으로는 딴 생각을 하고 있을 거니까요. noemiji, 출처 Unsplash 공부의 시작은, 습관을 바꾸기. -
[내신 공부법] 내신대비할 때, 꼭 해야 할 것. [내부링크]
geralt, 출처 Pixabay 중간고사 내신대비를 할 시기가 다가오고 있습니다. 보통 주요 과목들은 시험 한 달 전부터 내신을 준비합니다. 학생들은 보통 3주 전쯤부터 여러 과목들의 시험공부를 합니다. 내신 시험을 잘 보려면, 어떻게 준비해야 할까요? 학교 수업 시간을 효율적으로 활용한다. 학교 수업 시간에 제대로 공부하는 학생이 의외로 적습니다. 수업 시간에 자거나, 딴짓하거나, 멍 때리거나, 아님 학원 숙제를 합니다. 그럼 수업을 안 듣고 시간을 보내버립니다. 수학만 이야기해 보면, 학생들이 현재 현행으로 하고 있는 과정은 선행수업으로 이미 공부를 몇 번은 했던 내용이고, 현재 학교 수업 시간에 수업을 하고 있는 내용입니다. 선행을 한 지 좀 되었다면 좀 잊을 수는 있지만, 다시 조금만 설명해 주면 되살리기도 수월한 상태가 되어야 맞습니다. - 학교 수업 때 수업을 제대로 하는 것만으로도 충분히 개념을 되살리고 다질 수 있습니다. 그런데 수업을 제대로 듣지 않은 학생들은,
[공부 동기부여] 공부 동기부여하는 법. [내부링크]
Kidaha, 출처 Pixabay "우리 아이는 공부에 관심이 없어요." "도대체 중요한 게 없어요." "공부를 너무 안 해요." 학생이 어리든 좀 나이가 들었든 공부에 관심이 없거나 의욕이 없는 경우, 학부모님들의 고민이 깊어질 수밖에 없지요. '왜 공부를 안 하나? 도대체 어쩌려고 그러나' 아이를 보면서 답답하고 걱정스러운 마음에 한숨을 쉬시지요. 학생을 무작정 공부를 하게끔 학원에 하루 종일 보내놓고, 집에서는 과제를 하도록 책상 앞에 앉혀놓으면 공부를 할까요? 그럴 리가 없지요. 어떻게 하면 아이가 공부에 관심을 가지고 공부를 열심히 하게 할까요? 학생이 스스로 공부하게 하는 건, 동기부여를 확실히 해주는 방법 밖엔 없습니다. 학생 스스로 하고 싶은 마음이 들어야 움직이겠지요. "그걸 몰라서 못 하나요, 무슨 말을 해도 아이가 움직이지 않는다니까요." 언제나 어떻게 동기부여를 하느냐가 숙제인 것 같습니다. 학원에서 학생들을 가르치면서도 가장 신경 쓰는 게, 동기 부여입니다.
[공부법] 벼락치기 공부, 효과가 있을까요? [내부링크]
Divya Charan, 출처 OGQ 시험 때 몰아서 공부하는 벼락치기 공부, 효과가 있을까요? 공부 몰아서 하지 마. 비효율적이야. 학생들한테 이런 말을 해줘도 잘 듣지 않지요. 그냥 말을 하면, 절대 듣지 않으니 이유를 설명해 줍니다. 벼락치기 공부의 폐단 1. 이해도가 낮아진다. 한꺼번에 몰아서 공부를 하면, 시간이 없으니까 이해하지도 않고 그냥 활자 자체를 외우는 느낌으로 통암기를 합니다. 또 시간 부족하니까 다시 다지고 확인하지도 않습니다. 당연히 이해하고 공부하지 않으니까 잊어버리기도 쉽고 조금만 어려워져도 문제를 풀 수 없겠지요. 2. 시험이 끝나면 머릿속에 하나도 남지 않는다. 급하게 이해하지 않고 외운 내용은 머릿속에 살짝 얹어놓은 정도로, 시험만 볼 수 있는 상태만 되게끔 한 것입니다. 그 상태로도 시험은 볼 수 있습니다. 다만 시험이 끝나고 나면 교문을 나가기도 전에 학생의 머릿속에서 모두 하나도 남김없이 날아가 버리는 게 문제입니다. 3. 비효율적인 공부를
[멘탈 관리] 시험에서 멘탈이 무너지지 않으려면? [내부링크]
Peggy_Marco, 출처 Pixabay "시험지를 보는 순간 머릿속이 하얘졌어요." "시험 잘 못 보면 어떡하죠?" "모르는 문제가 나오면 어떡하죠?" "수학도, 영어도, 국어도, 다른 과목들도 다 걱정돼요." 시험을 앞두거나 공부를 해나가는 동안 학생들은 많이 불안해합니다. 잘 못 해낼까 봐, 공부한 만큼 결과를 내지 못 할까 봐, 공부를 해도 남들보다 못할까 봐 걱정을 많이 합니다. 걱정과 불안이 많으면 집중을 못 하니까 앞으로 나아가지 못합니다. 불안이 정신을 지배해버리니까 점점 불안과 걱정이 커지기만 합니다. 그 상태가 계속되면 공부가 제대로 될 리가 없지요. 성적도 잘 나올 수가 없죠. 이럴 때 해줄 수 있는 말은, 네가 할 수 있는 것을 해. 생각만 하고 행동하지 않으면 달라지는 건 없어. 지금 걱정하고 있는 건 일어나지 않은 일이야. 걱정해서 달라지는 건 없어. 걱정할 시간에 그냥 그 생각을 멈추고 최선을 다해 봐. 인간의 뇌는 생각하는 대로 일을 한다고 해. 그런
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? [내부링크]
geralt, 출처 Pixabay 방금 배운 것도 까먹어요. 기억조차 하지 않아요. 도대체 왜 이렇게 기억을 못 하죠? 아이가 암기를 너무 못해서 고민인 분들, 외우지 못해서 공부에도 문제가 많은 것 같아서 고민인 분들 많으시지요? 도대체 왜 기억조차 못 하는지 이해가 안 돼요. 전 어렸을 때 안 그랬는데 누굴 닮아서 그런지 모르겠어요. 뭐든지 잘 까먹는 학생들, 정말 이해가 안 되시지요? 어떤 아이들은 학원에 필기구를 안 가지고 오는 일은 기본이고, 집으로 하원할 때 가방을 강의실에 두고 몸만 가버리는 것도 봤습니다.ㅋㅋ 도대체 이 아이들은 왜 그럴까요? franku84, 출처 Unsplash 왜 잊어버릴까? 주의가 산만해서. - 집중력이 약하고 다른 데 관심이 많은 경우가 많습니다. 한 군데 집중하지 못하고 바로 다른 데로 주의를 돌려버리니까 방금 한 것도 잊어버리는 겁니다. 집중하는 것처럼 보이는 순간에도 딴 생각을 하기 일쑤죠. 이런 아이는 관심사가 많고 재미있는 일도
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 [내부링크]
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? ; 이 글에서 이어집니다. 궁금하신 분은 여기서 읽고 오셔도 됩니다.^^ https://m.blog.naver.com/matina76/223055227785 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? 방금 배운 것도 까먹어요. 기억조차 하지 않아요. 도대체 왜 이렇게 기억을 못 하죠? 아이가 암기를 너무 ... m.blog.naver.com 그럼 어떻게 하면 암기력이 향상될까요? 먼저, 암기의 기본부터 알아볼게요. 암기의 기본은 반복. - 반복만큼 절대적인 진리는 없습니다. 다만, 공부를 많이 해보지 않은 학생들은 암기가 잘 안되니까 더 자주 외워야겠지요. - 반복에도 약간의 팁을 드릴게요. 자주 외우되, 잊어버릴 만하면 다시 외우고, 머릿속에서 인출해 보기. 인간은 망각의 동물이니 원래도 외우면 잊어버리는 게 정상입니다. 공부습관이 안 되어 있는 학생들은 더 잘 잊
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 [내부링크]
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 이전 글에서 이어집니다. 이전 글이 궁금하시다면 읽고 오시면 됩니다. https://m.blog.naver.com/matina76/223055292217 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? ; 이 글에서 이어집니다.... m.blog.naver.com 오늘도 암기력이 약한 학생들의 문제를 이야기해 보겠습니다. 암기력이라기 보다는 생활습관과 관련이 있을 것 같습니다. patrickperkins, 출처 Unsplash 뭐든지 챙기는 게 없어서 다 잊어버리는 경우, 지속적으로 챙기게끔 잔소리를 하고, 일일이 메모를 하게 하고, 뭐든 한 템포 멈추고 생각을 하게 합니다. - 모든 생활 전반적으로 챙기지를 않고 잊어버리는 경우. 이런 경우 챙겨야 할 모든 걸 안 챙기니 준비해야 할 것을 안 가지고 오는
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <4> - 포스트잇 암기법 [내부링크]
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁<3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 이전 글에서 이어집니다. 이전 글이 궁금하시면 읽고 오시면 됩니다. https://m.blog.naver.com/matina76/223055761215 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 이전 글에서 이어집니다. 이전 ... m.blog.naver.com 공부를 많이 해보지 않은 학생들은 열심히 외워도 책을 볼 땐 아는 것 같은데, 책을 덮으면 금세 내용이 가물가물하지요. 어떻게 하면 잊어버리지 않게 외울 수 있을까요? 이럴 때 유용한 암기법!!! 쉬운 꿀팁 드립니다. OpenClipart-Vectors, 출처 Pixabay 포스트잇 암기법 - 포스트잇 암기법은 잘 외워지지 않는 내용을 포스트잇에 적어서 자주 볼 수 있는 곳에 딱 붙이는 겁니다. 간단하지요? 붙여놓은 포스트잇을
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <5> - 키워드 암기법 [내부링크]
이전 글에서 이어집니다. 이전 내용이 궁금하시다면 보고 오셔도 됩니다.~ [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <5> - 포스트잇 암기법 https://m.blog.naver.com/matina76/223056061061 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <4> - 포스트잇 암기법 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁<3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 이전 글에서 이어집니... m.blog.naver.com 한 가지 단원인데 너무 여러 가지 내용이 많아서 단락 하나에 1번-15번까지 있고, 각 번호마다 설명까지 붙어있다면? 이 많은 내용을 어떻게 외우지? 막막할 겁니다. 이럴 때 유용한 꿀팁!! YeriLee, 출처 Pixabay YeriLee, 출처 Pixabay 형광펜으로 밑줄 또는 동그라미, 키워드 암기법. 여러 가지 형광펜이나 색깔 펜으로 각 번호마다 핵심 키워드를 찾아서 동그라미를 치고, 주요 내용에는 밑줄을 그어서 암기하는 방법
[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <6> - 머릿속에 사진 찍기. [내부링크]
지도나 그림, 사진 자료가 많은 경우, 어떻게 외울까요? 그림이나 지도에 암기할 내용이 가득한데 막막하지요? 이럴 때 해결법을 가지고 왔습니다. 사진, 그림, 지도 암기 꿀팁!!! FotoshopTofs, 출처 Pixabay drwmrk, 출처 Unsplash 머릿속에 사진 찍기. 그림이나 사진, 지도를 눈으로 보고 머릿속에 사진 찍듯이 이미지를 그대로 옮겨서 암기하는 방법입니다. 사진이 아니더라도 텍스트로 이루어진 교과서도 그렇게 암기하는 경우가 있는데 이해를 필요로 하지 않는 과목이 세밀한 암기가 필요한 경우 그렇게 합니다. 그런데 이런 암기법을 학생들에게 말해주면, 그게 어떻게 가능하냐고 합니다. 처음엔 안 될 수도 있지만, 암기해야 할 이미지를 눈으로 보고 그대로 눈을 떼고 머릿속에 이미지로 떠올리는 연습을 하면 됩니다. 어차피 외워야 하는 내용이니까 해보는 거죠. 안 되면 그냥 외워도 잘 못 외우니까, 그래도 잘 될 확률이 있으니 밑져야 본전이잖아요. 해 보면 완벽하지
암기력 향상되는 법 <7> - 다회독 암기법 [내부링크]
암기를 잘 하려면 반복이 중요합니다. 암기를 잘 하게 도와주는 꿀팁!!! 다회독 암기법 - 같은 내용을 여러 번 읽어서 내용을 점점 쌓아가는 방법입니다. 1회독 : 그냥 처음부터 끝까지 훑어본다는 느낌으로 읽습니다. 대강의 내용을 파악하는 정도입니다. 2회독 : 1회독보다는 조금 천천히 꼼꼼히 본다는 느낌으로 읽습니다. 이때는 1회독할 때 지나쳤던 부분도 좀 더 파악이 될 겁니다. 3회독 : 이번에는 예쁜 펜을 준비합니다. 읽으면서 중요한 키워드에 동그라미를 치면서 읽습니다. 키워드는 동그라미를 치면서 3번 이상 소리 내어 읽으면서 암기합니다. 그리고 키워드를 중심으로 내용을 지나치지 않고 다시 읽으면서 키워드와 연결한다는 느낌으로 읽습니다. 4회독 : 이번에는 방금 키워드를 동그라미 쳤던 펜과 다른 색의 펜을 꺼냅니다. 키워드가 거의 외워졌을 겁니다. 키워드에 연결된 내용을 읽으면서 잘 몰랐던 부분이나 잘 외워지지 않는 부분에 밑줄을 치면서 3번 이상 약간 소리 내어 머릿속에 각
[중학교 수학] 학원 강사가 알려주는 학교 수학시험 잘 보는 법 <1> - 시간 내에 풀어내기. [내부링크]
중학생들의 중간고사 대비 기간이 되었습니다. 중학교 중간고사를 잘 보는 법에 대해 알려드릴게요. 수학시험을 잘 못 보는 이유를 보고, 그 부분부터 원인을 없애면 되겠지요. 중학생들의 내신대비는 유형을 연습하고 모르는 걸 알아가는 과정이기도 하지만, 시험에 강할 수 있도록 약점을 줄이는 과정인 것 같습니다. 시험에서 좋은 점수를 받기 위해 가장 중요한 게 뭘까요? 시간 내에 문제 풀어내는 것입니다. 그런데 이 시간 내에 문제를 푸는 게 충분히 훈련이 되어 있지 않으면 쉽지 않습니다. 특히 학교 시험을 난이도 있게 출제하는 학교의 시험문제는, 연산도 복잡하고 생각도 해야 풀어낼 수 있어서 머뭇거리다가는 시간이 부족합니다. 학생이 아무리 많은 문제를 알고 있어도 시간이 부족하면 풀지 못하니 아무 소용이 없는 거지요. 그러니 가장 중요한 게 시간 내에 문제를 푸는 것입니다. mohamed_hassan, 출처 Pixabay 시간 내에 문제를 풀어내도록 훈련하는 법 모든 문제를 시간을 재면
중1, 중2 1학기 첫 중간고사를 보는 학생들을 위한 대비 방법 [내부링크]
중학생들의 중간고사를 준비할 때가 되었습니다. 시험을 준비하는 학생들은 누구나 고민이 많지만, 특히 이번에 내신 시험을 처음 보는 중1, 중2 학생들은 더 고민이 많을 겁니다. 시험을 보지 않은 기간에도 학생들은 공부를 하긴 했겠지만, 평가를 받는 시험은 처음이라 막막하고 당황스러울 겁니다. 첫 중간고사를 준비하는 학생들은 어떻게, 무엇을 준비해야 할까요? 1. 공부습관 만들기. - 시험을 위한 공부를 해보지 않은 학생들은 공부습관이 제대로 되어 있지 않은 경우가 많습니다. 앞으로 대입까지 공부를 해야 할 학생들이 공부의 습관과 태도를 지금부터 만들게 되는 겁니다. 그러니 지금 첫 단추를 제대로 끼우는 게 매우 중요하겠지요. 그럼 학생들에게 필요한 습관들은 무엇이 있을까요? 집중해서 공부하는 시간을 늘리기. - 목적이 있는 공부를 해보지 않은 학생들은 집중력이 약한 경우가 많습니다. 한 군데에 앉아서 30분을 공부하는 것도 힘들어합니다. 앉아서 집중해서 공부하는 시간을 늘려야 합니다
학교 수학시험 100점 맞는 법 <2> - 서술형 정복하기. [내부링크]
학교 시험에서 100점을 받기 위해 놓칠 수 없는 것이 있습니다. 바로 서술형 문제입니다. 학교마다 서술형 문제의 비중이 다르지만, 보통 40% 정도, 2-8문제 정도 출제됩니다. 문항 수를 적게 출제하면 배점이 높은 경우가 많습니다. 한 문제에 8-10점이 되는 경우도 많지요. 한 문제를 다 틀려도 점수가 낮아지지만, 각 문제마다 사소한 감점을 받으면 낮은 점수를 받을 수밖에 없습니다. 서술형 문제를 제대로 대비해야 100점을 목표로 할 수 있게 됩니다. 오늘은 서술형 문제를 제대로 대비하는 법을 알려드리겠습니다. 서술형 문제 정복하기. 서술 문제에서 반드시 서술되어야 할 내용은 꼭 서술하도록 연습한다. - 단원에 따라, 문제 유형에 따라 꼭 필요한 개념이 있습니다. 예를 들면 '인수분해의 수 계산 문제에서 활용된 인수분해 공식은 반드시 서술해야 한다.' 또는 '일차함수 문제에서 세 그래프가 삼각형을 이루지 않을 때, 미지수를 구하는 문제에서 삼각형이 되지 않을 때의 조건을 꼭
학교 수학시험 잘 보는 확실한 방법 <3> - 오답 줄이기. [내부링크]
중학교 중간고사 100점 맞는 방법. 이제 모르는 문제를 줄일 차례입니다. 중간고사 한 달 전쯤 시험에 나올 법한 문제로 시험을 보면, 학생들의 성적이 생각보다 낮게 나옵니다. 그 이유를 살펴보면, 선행으로 공부한 후 시간이 좀 지나서 잊어버린 경우. 개념은 알지만 문제지에서 푼 문제들과 시험에 나오는 문제의 난이도가 차이가 나서 풀어내지 못한 경우. 배웠지만 전에 열심히 하지 않아서 잘 모르는 경우. 이 정도로 나눌 수 있을 것 같습니다. 이유야 어떻든 채워야 할 게 많은 건 비슷합니다. Memed_Nurrohmad, 출처 Pixabay 오답을 단계적으로 줄이는 방법 처음엔 같은 시험지로 재오답을 한다. - 처음엔, 틀린 문제가 많습니다. 채점을 하고 나면 정확하지 않은 방법으로 대충 풀어서 맞은 문제를 학생에게 표시하게 합니다. 그리고 그 문제들을 다시 풀게 하고, 모르는 문제는 설명을 해주고 다시 풀어서 오답 마무리를 합니다. 그리고 방금 푼 시험지를 재출력해서 틀린 문제와
중학교 수학시험에서 학생들이 흔히 하는 실수 [내부링크]
중학생들의 중간고사 내신대비를 하는 동안 여러 가지 신경 써서 해야 할 것들이 많습니다. 시간 내에 풀어내는 것, 서술형 문제 제대로 서술하는 것, 모르는 문제들을 줄여가는 것을 하고 있지요. 모두 순차적인 진행이 아니라, 동시 진행입니다. 그와 함께 학생들이 학교 수학시험에서 흔히 하는 실수들을 바로잡아야 합니다. Tumisu, 출처 Pixabay 학교 수학시험에서 흔히 하는 실수들 1. 문제를 잘못 읽었어요. "문제를 제대로 정확하게 읽어." 내신대비 초반부터 시험 전날까지 가장 많이 하는 이야기입니다. 계속 끊임없이 이야기를 해서 학생이 지속적으로 신경을 쓰도록 해야지만 나아집니다. 문제를 읽으면서 조건과 물어보는 것에 동그라미를 치면서 읽는다. 동그라미가 문제를 정확하게 읽도록 도와주는 도구가 됩니다. 단, 밑줄은 너무 많이 긋지 않습니다. 중요한 내용과 그렇지 않은 것을 구분하지 않는 쓸데없는 밑줄은 문제를 파악하는데 방해만 됩니다. 2. 연산을 잘못했어요. - "한 번
학교 시험에서 하는 실수 <1> - 아는 문제인데 틀렸어요. [내부링크]
학생들이 학교 시험을 보고 나면, "아는 문제인데 틀렸어요." "아는 문제였는데 헷갈렸어요." 이런 말을 하면서 아까워합니다. 그리고 이 문제만 맞았으면 더 잘 봤을 거라고 말하기도 하고, 실수만 안 했으면 점수가 몇 점은 더 나왔을 거라고 말합니다. 아는 문제를 실수로 틀렸으니까 실력이 부족한 게 아니니까 괜찮다고 생각합니다. 그럼 아는 걸 틀렸으니까 다음엔 맞힐 수 있을까요? 정말 실력이 부족한 게 아니니까 괜찮을까요? 이 지점에서 한 번 생각해 보고 짚어봐야 합니다. 과연 그 문제는 아는 문제였을까? 아는 문제는, 정확한 풀이로 풀어서 정답은 낼 수 있는 문제가 아는 문제입니다. 학생들이 시험에서 틀리는 아는 문제인데 헷갈린 문제는 이렇습니다. 한 번에 정확히 푸는 게 아니라 이리저리 손대보다가 답을 구했던 문제 반쯤만 아는 문제 풀었던 문제인데 선생님이 힌트를 조금 주면 풀 수 있는 문제 공통적으로 정확하게 다 아는 문제가 아니었다는 겁니다. 그런데 학생들은 이런 문제들을 안
학교 수학시험에서 성적이 향상되려면? - 아는 문제만 풀면 안 돼요. [내부링크]
학생이 항상 열심히 공부하는 것 같은데, 성적이 제자리인 경우가 있지요? 왜 성적이 맨날 똑같을까? 학생이 공부하는 걸 살펴볼까요? 아이는 공부하는 시간도 많고, 계획도 세우고, 쉬거나 놀지도 않고 공부를 열심히 하는 것 같습니다. 그래서 학생이 수학 문제를 푼 걸 보면 모르는 문제를 별표를 하고 오답도 열심히 하고 메모도 잘 했습니다. 그런데 다음에 봐도 별표와 오답 풀이와 메모가 전과 같습니다. 매번 비슷합니다. 학생들은 틀리는 문제를 매번 또 틀립니다. 모르는 문제를 알려주면 학생들은 메모도 하고 선생님한테 설명도 듣지만, 몰랐던 문제니까 어렵게 느껴지고 머릿속에 잘 들어가지 않는 겁니다. 잘 모르면 여러 번 반복해서 머릿속에 완벽하게 넣어서 다음에 그 문제가 나왔을 때 안 틀리면 좋을 것 같은데요. 학생은 잘 모르는 문제는 어려우니까 보기도 싫고 귀찮게 느껴집니다. 그러니 문제를 풀면서 아는 문제는 풀고 모르는 문제는 별표를 하고 선생님한테 질문하고 메모하고, 그리고 또 모르
중3 학생들에게 하는 은지쌤의 조언-미루지 좀 마!!! [내부링크]
학생들을 가르치다 보면 열심히 공부하는 학생에게도, 정신 못 차리고 공부 안 하는 학생에게도 해주고 싶은 말들이 많습니다. 학년에 따라 해주는 말이 다르지만, 특히 중3 학생들에게는 걱정 어린 잔소리를 많이 하는 것 같습니다. 가장 많이 하는 말은 이런 말인 것 같습니다. 시간 좀 아껴 써. 시간 금방 가. 어영부영 내신 몇 번 하면 금세 고3 된다고. 중3 일 년을 어떻게 보내느냐에 따라 내신등급이 달라질 거야. 할 때 제대로 해야 해. 제발 할 일을 미뤄서 몰아서 하지 마. 학년 올라갈수록 시험도 많아지고 공부해야 할 과목도 많아져. 수행도 많고. 학교 시험이 많으니까 학원도 시험이 많겠지, 그냥 매일 시험을 보는 게 일상이 될 거야. 해야 하는 과제와 시험공부, 수행, 공부들이 많아서 항상 할 일이 밀려드는 기분일 거야. 그럼 할 일을 미뤄서 할 수 있는 시간조차 부족하게 될 거야. 할 일을 제때 제대로 하지 않으면, 공부에 치이면서 피곤하고 힘들지만 성과가 나지 않는 악순환이
학교 시험에서 매번 하는 실수들 <2> - 문제를 잘못 읽었어요. [내부링크]
선생님, 답을 맞게 구한 것 같은데요. 채점이 잘못된 것 같아요. 제대로 구한 것 같은데 답이 없는데요? 이럴 때 다시 보면 문제를 잘못 읽어서 답이 틀리는 경우가 많습니다. 문제에서 구하는 것을 잘못 본 경우. 조건을 잘못 본 경우. 객관식 번호를 잘못 고른 경우. 서술형 문제 번호를 잘못 보고 답안지에 문제 번호와 답안 번호를 맞지 않게 쓴 경우. 그 외 다양한 방법들로 창의적으로 잘못 봅니다. 그럴 때 보면 정말 신기합니다. 저걸 왜 잘못 볼까... geralt, 출처 Pixabay 잘 못 보는 학생들의 눈에 문제가 확 들어오게 하는 비법 문제의 조건과 물어보는 곳에 동그라미와 밑줄을 긋는다. 문제를 잘못 봐서 틀릴 때마다 오답을 할 때, 오답지에 '문제를 똑바로 읽을 것. 이게 4번이더냐.' 이런 식으로 자기 자신한테 편지를 쓰게 합니다. - 스스로 편지를 쓰면 실수를 하지 않도록 주의를 상기시키는 효과도 있고, 자기 자신을 나무라면서 재미있어하기도 합니다. 그저 끊임없이
처음 시험을 보는 중1, 중2 학생들이 알아야 할 것. [내부링크]
중학생들은 1학년 1학기 중간고사 또는 2학년 1학기 중간고사로 생애 처음으로 시험을 경험하게 됩니다. 처음으로 시험공부를 하고 시험을 보는 학생들은 정말 아무것도 모릅니다. 새하얀 도화지에 하나하나 그려가는 것처럼 하나하나 일일이 가르쳐 주고 알려줘야 하지요. athree23, 출처 Pixabay 처음 시험을 보는 학생들에게 알려줘야 할 것들 본인의 실력 - 학생들은 시험을 본 적이 없으니 스스로의 실력을 잘 모릅니다. 선행을 좀 많이 한 학생들은, 선행 정도가 본인의 수학 점수일 거라고 착각하기도 합니다. 가장 먼저 해야 할 일은, 지금 당장 시험을 보면, 몇 점을 받을 수 있는지 확인을 하고 학생 스스로가 자신의 현재 상황을 알게 해야 합니다. 본인의 현 위치를 아는 것만으로도 학생에게 큰 동기부여가 됩니다. 성적을 내기 위해 해야 할 공부의 양 - 내신대비를 처음 해보는 학생들에게 말합니다. "주말에도 보강을 하러 학원에 와야 해." 이 말을 들은 학생들의 반응은 거의 이
첫 중간고사를 준비하는 학생들에게 중요한 것. - 동기부여와 설득 [내부링크]
학생들이 시험을 처음 보는 시기는 중학교 1학년이나 2학년입니다. 그전까지는 평가를 받아보지 않고 시험을 위한 공부는 하지 않지요. 그러다가 처음 시험을 위한 공부를 하려니 해야 할 공부의 양도 많고 챙겨야 할 것도 많아집니다. 이것도 해라 저것도 해라 하라는 것도 많은데, 사실 공부를 하려면 당연히 해야 하는 일들인데 학생 입장에서는 안 하던 걸 하려니 낯설고 힘이 듭니다. 이 시기의 아이들 얼굴을 보면 힘들어서 매일 우울하고 슬픈 표정들입니다.ㅠㅠ 그런 아이들을 이끌어서 공부를 하게끔 하는 게 쉬울까요? 끌려가지 않으려고 버티는 걸 잡아끄는 것이니 정말 힘든 일입니다. 억지로 끌고 가면 서로 힘만 들고 결과도 좋지 않습니다. 그럼 어떻게 학생들이 의지를 가지고 움직이도록 할까요? brett_jordan, 출처 Unsplash 학생들을 움직이게 하는 힘, 동기부여 팩트 폭격 - 현실을 알려주기 - 조금 먼 이야기일 수 있지만 공부를 해야 하는 이유 중 현실을 이야기해 주는 겁니
중학생이 꼭 암기해야 할 제곱수 [내부링크]
중학생이 꼭 암기해야 할 제곱수입니다. 제곱수를 더 많이 외워도 좋겠지만, 너무 외울 게 많으면 학생에게 버겁고, 너무 적은 양만 외우면 문제에서 활용하기가 어렵겠지요. 이 정도 암기하는 게 좋습니다. 제곱수를 암기하면 3-1제곱근 문제를 풀 때 편리하게 활용할 수 있습니다. 또 수에 대한 감각도 좋아집니다. 3-1 중간고사를 볼 중3 학생들은 반드시 외워야겠지요? 잘 안 외어지면 포스트잇에 써서 잘 보이는 곳에 붙여놓고 머릿속에 완벽하게 기억될 때까지 암기하세요. 제곱수를 꼭 외워서 시험도 잘 보고, 수 감각도 좋아져서 수학에 재미도 느꼈으면 합니다.^^ 포스트잇을 활용한 암기법이 궁금하시다면 아래 링크로 가시면 됩니다.^^ https://m.blog.naver.com/matina76/223056061061 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <4> - 포스트잇 암기법 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁<3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 이전 글에서 이어
중2-1 중간고사 대비 유리수와 순환소수 시험에 잘 나오는 문제 - 5문항 [내부링크]
중학교 2학년 1학기 중간고사 대비 1단원 유리수와 순환소수에서 시험에 잘 나오는 유형 5문항만 골라서 풀이해 봤어요. 시험에 자주 출제되지만 학생들이 잘 틀리는 문제입니다. 1. 분자와 분모를 잘못 본 문제 이 문제에서 가장 중요한 건, 반드시 약분을 한 뒤 제대로 본 분자와 분모를 선택하는 것입니다. 2. 유한소수가 되기 위한 값 구하기. 3. 순환소수의 차 4. 순환소수 성질 5. 정수가 아닌 유한소수 개수 구하기. 수의 개수를 셀 때 실수하지 않도록 설명해 놓았습니다. 중학교 2학년 1학기 중간고사를 대비하는 중2 학생들에게 도움이 되었으면 합니다. 이해가 잘 되지 않는 부분이 있으시면 댓글 남겨주시면 답변해드리겠습니다.^^
중2 수학, 중간고사 대비 단, 다항식의 계산 시험에 꼭 나오는 문제 - 5문항 [내부링크]
중학교 2학년 1학기 단, 다항식의 계산 단원에서 학교 시험에 자주 나오고, 학생들이 잘 틀리는 문제 5문항을 골라봤습니다. 학생들이 실수하는 부분을 꼭꼭 짚어서 풀이해 드리겠습니다. 1. 단항식 계산 - 빈칸 채우기. 풀이> 그림 1 > 이런 방법으로 풀면 많은 칸을 다 구하지 않고 단 두 줄만 계산하면 됩니다. 빠르고 정확하게 답을 낼 수 있습니다. 2. 단항식의 계산 - 자릿수 구하기. . 3. 지수법칙 지수법칙에서 곱셈은 지수의 합, 나눗셈은 지수의 차!! 꼭 기억해야 합니다. 4. 지수법칙 단위를 붙여서 풀어야 헷갈리지 않고 정확하게 풀 수 있습니다. 5. 단항식의 계산 문제를 고르다 보니 단항식 계산만 골랐네요. 다항식 계산은 조금 복잡한 계산 정도가 시험이 나와서 연산만 정확하게 하면 됩니다. 학생들이 문제들의 풀이를 정확하게 익혀서 시험에 도움이 되었으면 합니다.^^
중간고사 대비 중2 일차부등식 풀이, 시험에 잘 나오는 문제 - 5문항 [내부링크]
중2 학생들이 어려워하는 일차부등식입니다. 학생들은 일차부등식 풀이에서 조금 어려워하다가 일차부등식 활용에 들어가면 너무 어렵다고 합니다. 이번엔 우선 일차부등식부터 짚어보지요. 일차부등식에서 자주 출제되는 문제는 부등식 성질, 풀이인데 부등식의 성질을 정확히 이해하고 있어야 풀 수 있습니다. 1. 부등식의 성질 2. 부등식의 성질을 이용해 범위 구하기. 3. 해 조건이 주어질 때 4. 부등식 성질을 활용한 일차부등식 풀이 5. 해 조건이 주어질 때 부등식을 어려워하는 학생들에게 도움이 되었으면 합니다. 이해가 안 되는 부분은 댓글 남겨주시면 답변해 드리겠습니다.
중2 수학, 중간고사 대비 일차부등식 활용, 시험에 꼭 나오는 문제 - 5문항 [내부링크]
중2 중간고사를 위한 대비 문제, 시험에 꼭 나오는 문제입니다. 이번엔 중2 학생들이 너무너무 어려워하는 일차부등식 활용 문제 중 시험에 많이 나오지만 학생들이 어려워하는 문제 5문항을 가지고 왔습니다. 차근차근 일차부등식 활용을 정복해 볼까요? 부등식 활용 문제를 푸는 프로세스 1. 미지수 x 설정하기. 2. 부등식 세우기. 3. 부등식의 해 구하기. 4. 문제의 뜻에 맞는 답 쓰기. - 이 풀이 과정만 정확하게 숙지해도 반은 푼 것입니다. 일차부등식의 미지수는 x만 있습니다. 연립방정식과 헷갈려서 y를 쓰는 경우가 있는데 x만 있습니다. 문제에서 x에 해당하는 곳에 밑줄을 치거나 적어놓습니다. 부등식을 세우고, 해를 구합니다. 그리고 마지막으로 문제에서 요구하는 답의 조건을 확인한 후 문제의 조건에 맞는 답을 쓰면 됩니다. 1. 도형의 넓이 문제 2. 거리, 속력, 시간 문제 3. 입장료 문제 4, 원가, 정가 문제 5. 원가, 정가 문제 일차부등식 활용에서 학교 시험에 잘 나
중3 수학 중간고사 대비, 시험에 꼭 나오는 문제, 제곱근 -9문항 [내부링크]
중3 학생들을 위한 학교 시험 대비 문제를 가지고 왔습니다. 시험에 자주 출제되지만, 학생들이 어려워하는 문제들 위주로 골라봤습니다. 아는 문제라도 풀이가 좀 더 효율적일 수 있으니 한 번 점검해 보는 것도 좋을 것 같습니다.^^ 1. 제곱근의 성질을 활용한 정사각형 둘레의 길이 구하기. 제곱근의 성질을 이용해 정사각형의 한 변 길이를 구한 후, 도형의 둘레는 그림에 표시된 방법으로 효율적으로 구하면 됩니다. 2. 닮음을 활용한 복사용지 문제 , 3. 닮음을 활용한 제곱근 계산 4. 제곱근 계산 5. 제곱근의 성질을 이용한 활용 문제 (방 크기 구하기) 6. 제곱근의 성질 7. 제곱근보다 작은 자연수 개수 문제 8. 제곱근의 대소 비교 제곱근 대소 비교는 두 수의 차로 판단합니다. 9. 닮음을 활용한 도형 문제 2-2에서 닮음을 배운 이후엔 제곱근, 식의 계산, 이차방정식, 함수 등 어디서든 일단 도형이 나오면 닮음이겠구나 생각해도 무방합니다. 닮음을 활용한 문제들은 특히 심화문제로
중3 다항식의 계산, 곱셈공식 시험에 꼭 나오는 문제 - 5문항 [내부링크]
중3 학생들을 위한 시험에 꼭 나오는 문제, 다항식의 계산, 곱셈공식입니다. 곱셈공식 단원에서는 곱셈공식을 이용해서 도형의 넓이, 식의 값을 구하는 문제가 많이 출제됩니다. 곱셈공식은 당연히 암기가 되어있어야 하겠지요. 당연한 이야기지만 이미 배운 전 단원의 개념을 넣어서 문제를 출제하니까 전에 배운 내용들도 다 알아야 합니다. 그럼 지금부터 문제 풀이를 해 볼까요? 1. 곱셈공식을 이용해 도형의 넓이 구하기. 2. 곱셈공식으로 도형의 넓이 구하기. 3. 제곱근 성질을 이용해 식의 값 구하기. 무리수인 해를 구하고 식의 값을 구할 때, 절대 그냥 대입하는 일은 없다고 봐도 무방합니다. 특히 이차식의 값을 구할 땐, 우변에 무리수만 남겨놓고 이항, 양변을 제곱해서 식의 값을 구합니다. 4. 제곱근 계산으로 도형의 넓이 구하기. 도형의 둘레는 위 그림과 같이 구하는 게 좋습니다. 5. 곱셈공식으로 식의 값 구하기. 합차공식을 이용해 식의 값을 구하는 문제는 자주 출제됩니다. 이해를 돕기
중3 학교 시험을 잘 보기 위해 인수분해를 잘 하는 방법-인수분해의 기본 [내부링크]
인수분해를 어려워하는 학생들이 많지요. 인수분해는 처음에는 좀 어려워도 공부해서 알고 나면 어느 정도 감이 옵니다. 감이 오려면 어떻게 해야 할까요? 문제를 많이 풀어보면 됩니다. 그런데 그것만 알려드린다면 비법이 아니겠지요. 문제를 볼 때 어떻게 접근해야 하는지를 고민을 하면서 보는 게 필요합니다. 그래도 어느 정도 가이드라인은 있어야 하겠지요. 인수분해를 하려면 꼭 알아야 할 것. 인수분해를 할 때 봐야 할 것 1. 공통인수 2. 공식 3. 공통부분이 있으면 치환 4. 내림차순 정리 문자의 차수가 다르면 낮은 차수의 문자로 정리 차수가 같으면 a나 x에 관하여 내림차순 정리 식을 볼 때, 위 순서대로 머릿속에서 떠올리면서 어디에 해당하는지 판단하면서 문제에 접근하면 훨씬 수월합니다. 당연히 위의 내용은 외워두는 게 좋겠지요. 인수분해를 할 때 염두에 두어야 할 것 - 식 변형의 목적 공통인수 만들기 합차공식 만들기 대부분의 인수분해 문제들은 그냥 인수분해 되지 않습니다. 적당
중3 학교 시험에 잘 나오는 인수분해 문제 - 6문항 [내부링크]
중3 학생을 위한 시험에 잘 나오는 문제입니다. 이번에는 학생들이 어려워하는 인수분해 문제입니다. 저번에 인수분해의 기본을 설명해 드렸으니 인수분해를 하는 방법에 대한 게 궁금하시다면 보고 오시면 됩니다. 글 맨 아래에 링크 넣어놓을게요. 학교 시험에 잘 나오는 인수분해 문제들을 풀어볼까요? 1. 합차공식을 이용한 문제 언제나 인수분해의 처음은 공통인수를 찾는 것입니다. 곱셈으로 되어있는 식에서는 공통인수도 다 곱해줘야 합니다. 2. 인수분해를 활용한 수 계산 수 계산 1. 한 숫자 중심으로 식 쓰기. 2. 분수가 나오면 약분될 거라는 걸 생각할 것. - 식의 계산 단원에서 수 계산이 나오면 언제나 같은 방식으로 접근합니다. 3. 식의 값이 소수인 인수분해 문제 식의 값이 소수인 문제는 인수 중 작은 쪽이 1이라는 것을 기억해야 합니다. 4. 제곱근 성질을 활용한 인수분해 문제 5. 인수분해식에서 상수항 구하기. 6. 다항식이 완전제곱식일 때 미지수 구하기. 중학교 3학년 1학기
블로그 글을 베껴가면 다 신고할 예정입니다. [내부링크]
안녕하세요. 은지쌤입니다. 처음으로 여러분들께 전달하는 이야기를 하는데 조금 불편한 말씀을 드리게 되어 죄송합니다. 얼마 전 인터넷을 보다가 저의 블로그 글과 똑같은 글을 발견했습니다. 분명 썸네일은 다르니까 제 글이 아닌 건 확실한데, 글의 구성, 순서, 표현까지 같더군요. 도입부와 중간중간 본인 글인 것처럼 수정한 것 외에 모두 똑같았습니다. 제 글을 베껴 쓸 정도로 맘에 들었나 봅니다. 그 블로거가 누군지 들어가 보니 모 학원 블로그인 것 같았습니다. 제 글을 카피한 글은 제가 글을 올린 지 이틀 후에 올린 것 같았습니다. 좀 화가 났지만, 저도 블로그를 시작한 지 얼마 되지 않아서 이런 일이 처음이라서 일단 넘어갔습니다. 그런데 그저께 또 제 글과 똑같은 글이 올라와서 보니까 또 같은 곳에서 베껴 썼더군요. 이대로는 안 되겠다 싶어서 네이버 고객센터에 저작권 침해로 신고를 했습니다. 그리고 어제 그 블로거가 제 저작권을 침해한 것이 인정되어 네이버 측에서 카피 글의 게시물 게
중3 학교시험에 꼭 나오는 중간고사 대비 식의 계산 문제 - 곱셈공식, 인수분해 6문항 [내부링크]
저번에 중3 곱셈공식과 인수분해 문제 풀이를 올렸었는데 문제가 조금 부족하지 않나 싶은 생각이 들었습니다. 그래서 곱셈공식과 인수분해 문제를 몇 문제 가지고 왔습니다. 중3 수학시험에 꼭 나오는 문제 - 곱셈공식과 인수분해 2편!!! 지금 문제 풀이 들어갑니다. 1. 합차공식을 활용한 분모의 유리화 문제 2. 곱셈공식을 이용한 무리수 계산 3. 곱셈공식을 이용한 제곱근 계산 4. 곱셈공식 변형을 이용한 제곱근 계산 5. 인수분해의 인수 찾는 문제 6. 인수분해를 활용한 식의 값 구하기. 중3 학생들을 위한 식의 계산 문제들을 풀이해 드렸습니다. 열심히 공부해서 시험 잘 보세요~^^ 이해가 안 되거나 궁금하신 내용 있으면 댓글 남겨주시면 답변드리겠습니다. 전에 올린 인수분해 방법과, 다항식 계산, 인수분해 문제 풀이 링크 남겨드립니다. 공부하실 분은 보시면 됩니다.^^ https://m.blog.naver.com/matina76/223073062402 중3 학교 시험에 잘 나오는 인수
수학을 어려워하는 학생이 학교 수학시험에서 좋은 성적을 받아야 하는 이유 [내부링크]
대부분의 학생들이 수학을 어려워합니다. 어려우니까 싫고 그러니까 안 하고, 안 하니까 더 못 하고 이런 악순환이 반복되는 겁니다. 이런 악순환의 고리를 끊으려면 어떻게 해야 할까요? 수학을 잘 하면 됩니다. 너무 당연한가요? 그게 쉬우면 고민을 하지도 않겠지요. 그런데 잘 생각해 보면 못 할 것도 없습니다. 학생들이 중학교 때 중간고사, 기말고사를 봅니다. 보통 중학교 수학의 경우 내신대비를 한 달 정도 합니다. 중학교 수학은 아직 많은 내용을 배운 게 아니라서 열심히만 하면 충분히 좋은 성적을 낼 수 있습니다. 첫 중간고사를 보는 학생들이나, 지금까지 좋은 성적을 받아보지 않은 학생들에게 강조하는 말이 있습니다. "열심히 해서 한 번만 성적을 내 봐. 그럼 해도 안 된다는 생각이 사라질 거야. 그럼 수학 공부가 할 만하다는 생각이 들걸." 수학을 어려워하고 싫어하는 학생들은 수학에 대한 자신감이 없습니다.. 나는 해도 안 된다는 생각을 많이 하면서 수학을 붙들고 있지요. 그러니 내
중학교 수학 내신 대비 중반에 꼭 점검해야 할 것 [내부링크]
대부분의 중학교 중간고사가 4월 말이나 5월 초에 있습니다. 시험 2주 전엔, 지금 이 시점에 시험을 잘 준비하고 있는지 점검이 필요합니다. 그래야 남은 기간에 효과적으로 마무리할 수 있겠지요. 학생의 현재 상황을 판단하기 위해 해야 할 것 - 시간을 재면서 모의고사를 보고 그 결과를 보고 학생의 약점을 파악합니다. 시험 2주 전에 꼭 점검해야 할 것. 1. 시간 내에 문제를 풀어내고 있는가? 시간 내에 다 풀 수 있는지, 시간을 재는 것에 대한 압박감에 떨고 있지는 않은지 확인합니다. 2. 모르는 문제가 얼마나 되는가? 모르는 문제가 많은 단원이 어딘지, 모르는 유형의 무엇인지 확인해야 하지요. 3. 실수 유형이 무엇인가? 어떤 실수를 하고 있는지, 실수의 원인이 무엇인지 파악합니다. 4. 서술형 문제를 잘 서술하고 있는가? 문제점을 알아냈으면 이제 대책을 세워야 하지요. 시험 때까지 채워야 할 것은? 1. 25문제를 30분에 풀게끔 시간을 재면서 푼다. - 푸는 문제마다 다
학교 시험 일주일 전 시험 대비 마무리 잘 하는 법 [내부링크]
중간고사 D-day가 일주일 앞으로 다가왔습니다. 시험 일주일 전 반드시 챙겨야 할 것들은 무엇일까요? 1. 교과서 문제 풀기. - 학교 교과서는 반드시 풀어봐야 합니다. 중단원, 대단원, 본문의 창의 유형, 본문의 문장제 문제, 생각열기 문제 등 매우 꼼꼼히 풀어야 합니다. 중학교 시험문제는 교과서와 유사한 문제가 출제되기 때문에 반드시 꼼꼼하게 챙겨야 합니다. 틀렸던 문제나 몰랐던 문제는 따로 표시해 놓고 여러 번 풀어서 완벽하게 숙지해야 합니다 2. 학교 프린트 풀기. - 학교 프린트가 없다면 신경 쓰지 않아도 되지만, 학교에서 수업 시간에 한 프린트가 있으면 반드시 꼼꼼하게 풀고 몰랐던 문제와 틀렸던 문제는 여러 번 풀어서 완벽하게 숙지합니다. 3. 지금까지 자주 틀렸던 문제들은 따로 정리해서 암기. 4. 다른 과목 공부로 수학을 너무 미뤄두면 안 돼요. - 안타깝게도 학생들은 공부를 안 하면 너무 잘 잊어버립니다. 매일 30분씩이라도 수학 문제를 풀어야 감각이 유지됩니다.
중3 학생들이 반드시 암기해야 할 곱셈공식과 변형 공식 [내부링크]
중간고사를 일주일 앞둔 지금 설마, 아직도 못 외우지는 않겠지 싶었습니다. 그런데, 혹시나 하는 마음에 학생들한테 백지에다가 외워서 쓰라고 했는데 역시나였습니다. 정확히 외우지 못하더군요.ㅠㅠ 언제나, 학생들을 철석같이 믿지 말고 확인을 해야겠다는 생각을 했습니다. 그래서 오늘, 시험을 앞둔 모든 중3 학생들도 함께 점검해야겠다는 생각이 들었습니다. 중3 곱셈공식 - 5개 곱셈공식의 변형 - 8개 곱셈공식 5개, 변형공식 8개를 모두 암기해야 합니다. 곱셈공식과 변형 공식에 개수를 알려주는 것은 개수를 알면 빼먹지 않고 외우기 쉽기 때문입니다. 아래 x와 1/x 변형 공식을 위의 공식에서 a, b를 x, 1/x로 바꾼 것뿐이니까 사실상 같은 공식입니다. 학생들이 활용을 잘 하려면 그래도 함께 암기하는 것이 낫습니다. 곱셈공식을 암기했는지 점검을 할 땐, 아무것도 쓰여있지 않은 백지를 주고 시험을 봅니다. 미리 써야 할 것을 주면 완벽하게 암기가 되지 않기 때문입니다. 오늘 학생들
중학교 중간고사를 일주일 앞둔 학생들의 멘탈 관리 [내부링크]
중학생 아이들은 아직 어려서 뭐든지 지속성이 떨어지는 경우가 많습니다. 내신 대비를 처음 시작할 때, 선생님이 분위기를 딱 잡고 가면 일주일은 열심히 따라옵니다. 그러다가 여러 학원들이 시험 대비로 시간도 늘어나고 과제도 많고 나름 시험이라고 계획도 세우다 보면, 학생들이 더 타이트하게 챙겨야 할 텐데, 그 많은 학원에서도 재미있게 보내는 방법을 찾습니다. 그래서 2주 째에는 학생들이 정말 말을 안 듣습니다. 오죽하면 학생들이 이런 말을 할까요? 내신대비 기간에는 공부 외엔 다 재밌다고요. 그러다 3주 째에는 각 학원의 선생님들의 잔소리에 다시 집중을 하기 시작합니다. 시험 전 주엔 해야 할 건 많은데 제대로 해놓은 게 없어서 학생들의 마음이 급해집니다. 약간의 긴장감으로 아픈 학생들도 생기고요. 중학생들은 아직 어린 학생들이라 어느 정도의 멘탈 관리도 선생님이 해주는 것 같습니다. 학생들의 불안감을 덜어주는 멘탈 관리 미리 공부를 타이트하게 시켜서 3주 안에 성적이 나오게끔 하기
알아두면 쓸모 있는 사소하지만 유용한 수학 꿀팁!!! [내부링크]
사소하지만 알아두면 유용한 수학 꿀팁입니다. 어디서도 볼 수 없는 팁 방출해 드립니다~ 1. 수 개수 세기. 문제에서 수의 개수를 세는 문제에서 개수를 세다가 잘못 세어서 틀린 경험이 있을 겁니다. 어떻게 세어야지 틀리지 않을까요? 손가락으로 세어야 할까요? 손가락으로 세는 건 20-30개 정도면 모르지만 100개를 넘기면 무리겠지요? 335부터 1025까지의 자연수의 개수는 몇 개일까요? 1부터 1025까지는 1025개, 335부터니까 포함되지 않는 수까지를 뺀다고 생각합니다. 334까지는 포함되지 않습니다. 1025-334=691 - 이렇게 계산하면 절대 헷갈리지 않습니다. 꼭 기억하세요!!! 전체수 개수에서 포함되지 않는 수까지를 뺀다!!! 1+3+5....+51 구하기. 처음과 끝을 더해서 합을 구해서 그 개수를 곱합니다. 1+51=52, 3+49=52 이런 식으로 합이 다 52입니다. 52가 되는 짝의 개수를 세는 법 1부터 52까지의 수 중 홀수만 있는 것으로 생각합니다.
학교 시험에서 떨지 않을 수는 없을까요? 시험 울렁증 극복하는 법 [내부링크]
시험지를 받으면 너무 떨려요. 하나도 생각이 안 났어요. 지금 보면 다 아는 건데 왜 이렇게 풀었는지 모르겠어요. 시험을 볼 때 유독 긴장을 하는 학생들이 있습니다. 시험에서 너무 떨면, 제 실력을 발휘하기가 어렵죠. 긴장해서 시험을 망친 경험이 많아지면, 학생은 걱정과 두려움이 커져서 점점 더 긴장이 될 거예요. 그럼 시험은 또 망치고, 악순환이 반복되는 거죠. 계속 이럴 수는 없지요. 어떻게 하면 시험 울렁증이 극복이 될까요? 떨지 말라고 말한다고 해서 안 떨릴 수는 없겠지요. 어떻게 하면 시험에서 덜 긴장할 수 있을까요? 시험 울렁증 극복하는 방법 1. 시험을 많이 경험하기. - 그냥 경험하는 게 아니라 담대하게 시험을 보고 점점 나아지는 경험을 쌓는 게 중요합니다. 긴장해서 실패한 경험을 많이 하게 되면 오히려 역효과가 납니다. 그러니 시험을 치르면서 하는 경험을 잘 쌓아야 하겠지요. 2. 공부를 충분히 많이 해서 모르는 게 많지 않게끔 한다. - 충분히 대비와 연습이 되어
연산이 약하다면? 중2 다항식 계산, 연산 실수 줄이는 법 - 다항식 계산 4문항 [내부링크]
중2 다항식 계산 단원은 연산 문제가 시험에 나오는 편이라서 포스팅을 하지 않았는데요. 요즘 시험 대비를 하다 보니 학생들이 연산을 틀리는 경우가 너무 많더군요. 그래서 준비했습니다. 중2 다항식 계산 연산 실수를 줄이고 효과적으로 연산하는 법입니다. 다항식 계산에서 주의해야 할 점 1. 나눗셈은 역수로 바뀌서 곱셈으로 계산한다. - 곱셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립하기 때문에 계산 순서를 신경 쓰지 않아도 됩니다. 그러나 나눗셈은 순서가 바뀌면 식의 값이 바뀝니다. 나눗셈 계산을 곱셈으로 바꿔주면 훨씬 쉬워집니다. 2. 분수에서 분모가 하나인 경우 약분을 주의한다. 3. 음수 부호를 미리 분배한다. - 괄호 앞에 음수 부호가 있고 괄호 뒤에 곱셈이나 나눗셈이 있는 경우, 분수 앞에 음수 부호가 있는 경우에는 미리 부호를 분배해놓으면 실수를 줄일 수 있습니다. 이제 문제를 풀어 볼까요? 1. 2. 3. 4. 연산은 많이 풀어보는 게 중요한데, 그냥 기계적으로 풀기만 하면 늘지 않습
중3 제곱근 계산, 연산 실수 줄이는 법 - 제곱근 계산 3문항 [내부링크]
시험 대비를 하면서 보면 학생들이 연산 실수를 너무 많이 합니다. 어떻게 하면 연산을 틀리지 않고 정확하게 풀 수 있을까요? 연산만 정확하게 하더라도 점수의 앞자리가 바뀔 겁니다. 중3 제곱근 계산 실수 없이 정확하게 푸는 법!!! 지금부터 알려드립니다. 제곱근 계산을 효과적으로 하는 법 1. 제곱수는 루트 밖으로 내어놓고 본다. - 루트 안의 수가 같아야 덧셈과 뺄셈이 가능합니다. 2. 분수의 나눗셈은 곱셈으로 바꾸어놓고 계산한다. - 곱셈은 교환법칙이 성립하니까 순서를 고려하지 않고 계산해도 되지만, 나눗셈은 순서대로 계산하지 않으면 틀립니다. 식이 복잡해지면 순서가 헷갈릴 수 있으니 분수의 나눗셈은 역수로 바꾸어 곱셈으로 계산하는 게 좋습니다. 3. 음수 부호는 미리 분배해놓는다. - 음수 부호를 미리 분배해 놓으면 빼먹는 일을 줄여줍니다. 4. 문제를 봐 가면서 변형한다. - 문제를 기계적으로 아무 생각 없이 계산하지 말고 조금 멀리 보고 편리하게 변형하는 게 좋습니다. 약
수학 시험 전날 꼭 해야 하는 것. 시험 잘 보려면 이건 꼭 해야 해요. [내부링크]
중학교 중간고사가 며칠 앞으로 다가왔습니다. 시험을 며칠 앞둔 시점에 챙겨야 할 것들을 가지고 왔습니다. 학교 수학시험을 잘 보기 위해서 꼭 챙겨야 할 것 1. 교과서, 학교 프린트, 마무리 문제를 다 풀고 오답 풀이를 했는지 확인하고, 마무리를 덜 했다면 마무리합니다. - 시험 전 일주일 전부터 챙기고 있던 것을 마무리하는 겁니다. 2. 문제를 시간을 재서 시험처럼 문제를 풀어봅니다. - 시험을 봐서 성적이 잘 나오게끔 여러 문제들을 풀어보는 게 좋습니다. 성적이 잘 나오면 자신이 붙어서 실전에서 덜 떨게 됩니다. 시험을 보면서 시간 배분은 잘 하고 있는지, 실수하는 건 뭔지 확인하고, 보완할 게 있으면 보완합니다. 3. 교과서, 학교 프린트, 마무리 문제에서 틀렸던 문제들을 2번씩 풀고 완벽하게 암기합니다. - 이게 가장 중요합니다. 틀렸던 문제를 다시 풀면서 암기했는지 아닌지가 적어도 두 문제 이상의 더 맞는지 아닌지의 차이를 만듭니다. 한 달 동안 공부한 것을 잘 마무리해야
학교 수학시험에서 20점은 더 받을 수 있는 비법 [내부링크]
드디어 D-day, 한 달 동안 준비한 게 다 이 하루를 위한 거였지요. 물론 앞으로의 수학 공부를 위해 과정을 마스터한다는 의미도 있지만, 일단은 시험을 잘 보는 게 먼저지요.. 이제까지 한 달 동안 열심히 공부했으니 실전에서 최대치를 끌어내야 하겠지요? 학교 수학시험에서 20점은 더 받을 수 있는 비법!!! 지금부터 공개합니다. 학교 수학시험에서 20점은 더 받을 수 있는 비법 1. 문제를 정확히 읽는다. - 문제만 정확히 읽어도 몇 문제는 더 맞을 수 있습니다. 문제를 읽으면서 물어보는 것에 동그라미를 치고 풀고, 조건에 밑줄을 그어 정확하게 읽고 문제를 풀어야지요. 2. 모르는 문제는 일단 넘어가고 아는 문제부터 정확히 풀기. - 수학 시험에서는 모르는 문제가 나온다고 생각하는 게 속 편합니다. 1분 생각해서 정확한 풀이가 생각나지 않는다면 일단 넘어가고 아는 문제부터 정확히 풀고 답안지 작성까지 마친 후에 다시 그 몰랐던 문제를 풀어야 합니다. 정확히 답을 낼 자신이 없는
중2 연립방정식 활용 - 시험에 잘 나오는 문제 유형 - 8문항 [내부링크]
지난번에 연립방정식 활용 문제를 쉽게 푸는 법을 알려드리고 유형 문제들을 풀어봤어요. 연립방정식 활용은 문제의 유형이 많아서 좀 더 공부해야 합니다. 이번에는 지난번에 풀이하지 않은 문제 유형들을 풀어볼 겁니다. 지난 시간에 배운 내용을 떠올리면서 문제를 읽어볼까요? 연립방정식 활용 문제를 쉽게 잘 푸는 법에 관해 궁금하시면 맨 아래쪽에 지난번 포스팅한 내용 링크 걸어놓을 테니 보고 오셔도 될 것 같아요. 이제 문제 유형 들어갑니다~^^ 1. 생산량 x, y를 설정을 하는 것을 주의해야 합니다. 기계 1대가 1분 동안 생산하는 양을 미지수로 설정합니다. 2. 증가, 감소 (수확량) 풀이에서 보면, 미지수는 작년 포도와 복숭아의 수확량입니다. 연립방정식의 해를 구하고 올해의 수확량을 구해서 답을 써야 합니다. 3. 증가, 감소 (학생 수) 작년 남학생 수와 작년 여학생 수를 미지수로 설정하고 식을 세웁니다. 식을 세우는 방식은 2번 문제와 같습니다. 해를 구한 후 올해 여학생 수를 구
이차방정식 활용, 중3-1 학교시험 대비, 9문항 [내부링크]
이번에는 이차방정식 활용 문제 중에서 시험에 자주 나오는 유형들을 가지고 왔어요. 너무 쉬운 문제들은 제외하고, 잘 나오지만 학생들이 많이 틀리는 문제들입니다. 쉽지는 않은 문제들이니 집중해서 팍팍 해서 공부해 볼까요? 먼저 이차방정식 활용 문제를 푸는 방법부터 짚고 갈게요. 이차방정식 활용 문제 푸는 법 1. 미지수 x를 설정한다. 2. 이차방정식 세우기. 3. 이차방정식의 해 구하기. 4. 문제의 조건에 맞는 답 쓰기. 보통 이차방정식의 해는 두 개가 나오지요? 그중 문제의 조건에 맞는 답만 써야 합니다. 이차방정식 활용 문제에서는 답이 하나일 수도 있고, 두 개일 수도 있어요. 이제 본격적으로 문제를 풀어볼까요? 1. 문제에서 좌표 a의 식으로 설정하고 직사각형의 넓이로 a 값을 구합니다. 이차방정식의 해가 2개가 나와서 좌표도 2개를 구했지만, 보기에 있는 답으로 고른 겁니다. 2. 3. 2-2에서 닮음을 배운 이후에는 방정식이나 함수 문제에서 도형이 나오면 닮음을 염두에
일차함수 활용, 중학교 2학년, 기말고사 대비 수학 마무리 문제 [내부링크]
중2 일차함수 단원에서 특히 어려워하는 부분인 활용 문제들을 풀어볼 거예요. 다양한 문제들을 가져왔으니 잘 보고 공부하면 어렵지 않을 거예요. 유형별로 문제 푸는 꿀팁도 있으니까 꼭 머릿속에 챙겨가세요~^^ 먼저 일차함수 문제를 푸는 방법부터 기억해야지요. 일차함수 활용 문제 푸는 법 1. x, y를 설정한다. 2. 일차함수 식 세우기, 3. 문제에서 구하려고 하는 답 구하기. 이제 문제를 풀어볼까요? 준비되었나요? 1. 소리의 속력과 기온 문제에서 속력이 일정하게 증가한다. : 일차함수라는 뜻입니다. 문제를 읽으면서 바로 알 수 있어야 합니다. 2. 양초의 길이와 시간 이 문제처럼 그래프가 나온 문제는, 문제를 읽기 전에 무조건 그래프를 보고 식부터 구합니다. 1. 그래프를 보고 식부터 구한다. 2. 문제를 보고 x, y를 확인한다. 3. 문제의 답을 구한다. 이런 순서로 문제를 풀어야지 빠르게 답을 낼 수 있습니다. 3. 사각형과 만나는 그래프의 기울기 구하기 y=ax-1의 그
일차함수 그래프, 시험 대비 총정리 문제, 중2 - 10문항 [내부링크]
기말고사를 앞두고 일차함수를 모두 복습하는 문제를 가지고 왔어요. 쉽지만 간과하기 쉬운 문제도 있으니까 보고 아는지 모르는지 점검을 해보는 것도 좋을 것 같습니다. 이번 포스팅에서는 일차함수 그래프의 성질에 대한 문제들만 풀어볼게요. 1. x축 위에서 만난다. : x 절편이 같다. y 축 위에서 만난다. : y 절편이 같다. 2. x 값이 3 증가할 때 y 값은 9 감소한다. : x 증가량이 3, y 증가량이 -9, 기울기에 대한 정보를 준 것이라는 것을 알아야 해요. 3. 한 직선 위에 있다. : 일차함수 식이 같으므로 기울기가 같습니다. 4. 사분면 문제는 기울기와 y 절편의 부호를 판단해서 그래프를 그려봅니다. 여기서는 3사분면을 지나지 않는다고 했으니 위의 그림처럼 y 절편이 0보다 크거나 같습니다. 5. 도형의 넓이를 구할 때는, 필요한 좌표를 구한 뒤 선분의 길이를 구하고 나서 넓이를 구합니다. 6. 7. 사분면을 지나는지 지나지 않는지 판단하려면 반드시 그래프를 그러봅니
연립방정식 활용, 중2, 총정리 문제 - 7문항 [내부링크]
지난번에 연립방정식 활용 문제를 유형별로 풀어봤었어요. 기말고사 보기 전에 마무리를 할 문제를 골라봤어요. 꼭 알아야 할, 중요한 문제들을 가득 가지고 왔으니까 집중해야 해요!!! 문제 풀기 전에 기억해야 할 것을 먼저 짚고 갈게요. 연립방정식 풀이 1. x, y를 꼭 설정해서 적어둔다. 2. 연립방정식 세우기. 반드시 식은 2개여야 합니다. 1-1 일차 방정식으로 식이 세워지더라도 2-1에서는 x, y에 관한 연립방정식으로 식을 세워야 합니다. 3. 해를 구하고 반드시 물어보는 게 뭔지 확인하고 답 쓰기. 1. 학생 수 증가, 감소 문제 항상 작년 남학생, 여학생을 x, y로 설정합니다. 학생 수에 관한 식, 학생 수의 증가, 감소에 관한 식으로 연립방정식을 세우고, 해를 구합니다. 답을 쓸 때는, 물어보는 게 무엇인지 반드시 확인합니다. 여기서는 올해 여학생 수를 구했습니다. 2. 물탱크에 물을 채우는 문제 물을 채우거나 일을 하는 문제는, 물을 다 채우면 1, 일을 다하면 1
이건 꼭 알아야 해!!! 중2 연립방정식 풀이, 시험 대비 마무리용 문제 [내부링크]
중학교 기말고사는 대부분 6월 말, 7월 초에 봅니다. 시험까지 20일 정도 남았는데... 시험공부를 다들 열심히 하고 있지요? 수학도 개념도 정리하고 유형 문제들을 풀면서 공부를 하고 있을 거예요. 열심히 한 만큼 성과가 나면 좋겠지요? 쌤도 그런 마음을 담아서, 문제를 추가해서 골라봤어요. 이번 포스팅부터는 기말고사 때 꼭 점검할 문제, '이건 꼭 알아야 해!!! 문제'라고 이름 붙여 봤어요. 너무 쉬워서 다 알 것 같은 문제는 제외했고, 쉬워도 잘 틀리는 문제와, 꼭 알아야 하지만 그냥 지나칠 수 있는 개념 문제는 짚고 갈 수 있도록 문제를 선택해 봤어요. 1. 연립방정식 풀이 문제를 많이 풀다 보면 의외로 기본 문제를 잊어버리는 경우가 있어요. x, y가 자연수일 때, 해를 순서쌍으로 구해야 합니다. 당연히 해가 여러 개 나올 수도 있습니다. 2. 연립방정식의 해가 서로 같을 때, x, y 외의 미지수가 없는 식을 연립하여 해를 구한 뒤 식에 대입하여 a, b의 값을 구합니다
좌절은 하지 않기. 계속 꾸준히 계속 나아지기만 하기 [내부링크]
요즘 학생들을 보면, 공부의 스타트가 늦어진 학생들이 많아진 것 같아요. 학교들이 자유학년제, 자유학기제를 시행하면서 학생들이 공부에 대한 긴장감을 유지하기가 어려워서 그런 것 같기도 하고, 학교에서 시험을 보지 않으니까 학생들이 공부를 해야 할 필요도, 이유도 못 느끼니까 시간을 그냥 편하게 보내는 일이 많아진 것 같아요. 특히 최근 몇 년 간은 코로나를 겪으면서 갇혀서 지내다 보니 학습적으로 더 무너진 느낌도 있습니다. 여러 가지 이유로 시험을 보기 시작하는 중2, 더 늦게는 중3 때 공부를 시작하려는 학생들도 많습니다. 이제 공부를 시작하려는 학생들은, 습관도 이제 잡아가면서 성적도 내야 하니까 신경 써야 할 것도, 챙겨야 할 것도 많습니다. 처음 공부하는 학생들은 책상에 오래 앉아서 수업을 듣고 늘어난 과제를 하는 것도 힘들어합니다. 안하던 공부를, 흐트러진 생활습관을 바꿔서 시간을 들여서 하려니까 얼마나 힘이 들겠어요. 게다가 성적도 내야 하지요. 또 시작이 늦었으니 마음은
수학 공부를 할 때, 문제를 많이 푸는 게 중요한 이유 [내부링크]
수학 공부를 할 때, 학생들이 힘들어하는 이유는 문제를 많이 풀어야 하고, 오답 풀이도 많이 해야 하며, 원래도 수학이 어려운데, 난이도가 높은 문제를 어렵다는 것을 느끼면서 많이 풀어야 하기 때문인 것 같습니다. 다른 과목도 마찬가지지만, 수학 공부를 할 때, 다양한 유형의 문제를 많이 접해보는 건 매우 중요합니다. 왜 그럴까요? 많은 문제를 풀어봐야 하는 이유 문제를 풀어봐야 아는지, 모르는지 알 수 있다. 개념을 완벽하게 하고 문제를 푸는 게 좋다고 생각하는 경우가 많은데 문제를 풀어야 어떤 개념을 아는지 모르는지 알 수 있어요. 모르는 부분은 공부를 해서 보완해야 합니다, 개념 공부를 어느 정도 하면, 좀 부족하다 싶어도 문제를 풀면서 부족한 부분을 보완하는 게, 개념을 계속 붙들고 있는 것보다 훨씬 효과적입니다. 아는 것도 문제를 풀어봄으로써 더 확실하게 이해가 됩니다. 문제를 풀어보지 않으면 아는 것과 모르는 것을 판단할 수 없으므로 문제를 풀어서 확인하는 과정은 매우
음악을 들으면서 공부를 하는 게 집중이 잘 될까? [내부링크]
학생들이 내신대비 때 문제를 풀 때, 꼭 하는 말이 있습니다. "음악 들으면서 풀어도 돼요?" 학생들의 타당하다는 이유를 들어보면, 지금 개념 설명을 듣는 게 아니고 오답 설명은 문제를 풀고 나서 들을 거니까, 지금 문제를 푸는 동안은 음악을 들으면서 해도 되지 않느냐는 말을 합니다. 그리고 음악을 들으면 집중이 더 잘 된다는 말을 꼭 덧붙입니다. 그럼 음악을 들으면서 공부를 하는 게 집중이 잘 될까요? 많은 뇌과학자들이 말하기를, 개인차가 있기는 하지만 너무 조용한 것보다는 생활 소음이 조금 있는 편이 집중이 더 잘된다고 하고, 음악을 듣는다면 비트가 많지 않고 가사가 없는 음악은 집중력을 높이는 데 도움이 된다고 합니다. 저는 수학을 가르치니까 수학 공부에만 한정해서 본다면, 수학 문제를 풀 때 음악을 듣는다? 조금 회의적인 의견입니다. 절대 안 된다 정도는 아니고 아주 쬐끔, 소극적 수용이라고 해야 할 것 같습니다. mediamodifier, 출처 Unsplash 수학 공부
유리함수 유형 문제, 고등수학(하) - 6문항 [내부링크]
지난번에 유리함수 개념을 공부했으니 개념을 가지고 문제를 풀어봐야지요. 개념 공부한 것을 떠올리면서 문제를 풀어볼까요? 1. 유리함수 그래프는 점근선의 교점을 지나고 기울기가 +1, -1인 직선과 대칭입니다. 2. 함수의 성질을 묻는 문제는 그래프를 그려놓고 문제를 푸는 게 빠를 수 있습니다. 사분면을 지나는지는 그래프의 위치와 y 절편의 위치를 확인해야 합니다. 3. 역시 유리함수 그래프를 그려놓고 푸는 게 좋습니다. 특히 사분면을 지나는지 지나지 않는지에 대한 문제는 꼭 그래프를 그려야 정확하게 파악이 됩니다. 위에도 같은 내용이 나왔지요? 유리함수 그래프는 점근선의 교점을 지나고 기울기가 +1, -1인 직선과 대칭입니다. 4. 역시 사분면 문제입니다. 사분면을 지나는지 지나지 않는지는 a의 부호, y 절편의 위치를 확인해서 그래프를 그려봅니다. 5. 사분면 문제 중 조금 난이도가 있는 유형입니다. k의 부호와 y 절편의 위치를 확인해서 그래프를 그려봅니다. 두 번째의 2사분면을
사진으로 찍는 게 공부에 도움이 될까? 사진 찍기를 공부에 활용하는 법 [내부링크]
누구나 편한 게 좋고 귀찮은 건 싫어하지요. 학생들도 당연히 마찬가지입니다. 공부는 사실 귀찮은 것을 참고해야 하는 게 많은데, 아이들은 귀찮으니까 하기 싫어합니다. 그중에 하나가, 개념 설명을 하고, 문제 풀이를 할 때, 칠판에 판서를 합니다. 그리고 적을 시간을 조금 주면, 반드시 누군가는 이런 말을 합니다. "선생님, 사진 찍어도 돼요?" 그럼 과연 사진으로 찍는 게 공부의 효율에 도움이 될까요? 답은, 활용하기에 따라 도움이 될 수도, 안 될 수도 있다는 겁니다. 사진 찍기가 공부의 효율을 떨어뜨리는 측면 이해와 암기의 효율을 저하시킨다. 이해하고 기억을 할 때 가장 좋은 방법은, 보고 듣고 말하고 재구성하는 것입니다. 즉, 수업을 보면서 듣고, 내용을 말해보고, 스스로 내용을 따라 적고, 요약해서 정리해 보고, 다시 머릿속으로 재구성해서 이해해서 다른 사람에게 설명하는 겁니다. 수업을 듣는 동안 최대한 효율을 높이려면, 수업을 보고 들으면서 메모를 하면서 머릿속에 정리를
여러 가지 유형의 이차함수 문제, 학교시험에 꼭 나와요, 중3-1 [내부링크]
이차함수 문제의 마지막입니다. 여러 가지 문제 유형을 가지고 왔어요. 가능하면 같은 유형이 겹치지 않게끔 문제를 선택했습니다. 오늘도 집중해서 문제를 풀어볼까요? 1 꼭짓점 좌표를 구하고 선분의 길이를 구한 뒤 둘레의 길이를 식으로 표현합니다. 2. 이차함수의 그래프는 축을 중심으로 선대칭이라는 것을 꼭 기억하세요. 3. 이차함수의 일반형에서 그래프를 그릴 때, 그래프의 모양, 축의 위치, y 절편의 위치를 판단합니다. 4. 일반형에서 a, b, c의 부호를 판단하고, 4번은 x=2를 대입했을 때 함숫값의 부호를 봅니다. 5번은 x에 적당한 값을 대입해도 구할 수 없는 식이니까 a, b, c의 부호로 식이 양수인지, 음수인지 판단합니다. 5, 도형의 넓이를 구할 때, 좌표를 모두 구하고 C에서 수선을 그어서 사각형을 만든 후 필요 없는 삼각형을 빼서 넓이를 구합니다. 6. 꼭짓점의 위치를 알려줬을 때, 꼭짓점 좌표를 구하고, 좌표의 부호를 판단해서 m의 범위를 구합니다. 이때 부등식
시험에 나오는 문제 유형 , 이차함수 일반형, 중3-1 [내부링크]
이번에도 이차함수 문제들을 풀어볼 건데요. 문제의 유형도 참 다양하지요? 학교 시험에서도 이차함수 단원의 문제를 더 비중 있게 내는 편입니다. 예를 들면 시험의 문항수가 20문제인데, 이차방정식부터 이차함수까지 시험범위라면 10/10문제를 내는 것이 아니라 9/11문제를 내는 식이지요. 다른 단원은 다 수행평가로 평가하고 이차함수만 시험을 보는 학교도 있으니, 이 단원을 집중적으로 공부해야지요. 학교에서도 이차함수가 앞으로 수학 공부를 해나가는데 중요한데 학생들이 어려워하는 단원이기도 하니까 비중 있게 다루고 있는 것 아닐까 하는 생각이 들어요. 이렇게 중요한 이차함수 문제 풀이를 해 볼까요? 이번에는 이차함수 일반형의 그래프에 관한 문제들을 풀어볼게요. 1. 표시된 부분의 넓이가 같습니다. 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 OABC 넓이와 같습니다. 2. 이차함수 그래프는 축을 중심으로 선대칭입니다. 축의 방정식은 2와 3의 가운데입니다. 3. 두 이차함수의 꼭짓점의 y좌표가 같습니다
중3 이차함수, 시험에 잘 나오는, 도형의 넓이, 선분의 길이 문제 - 8문항 [내부링크]
지난번에 이어 시험에 자주 출제되는 이차함수 문제를 풀어볼게요. 너무 쉬워서 다 아는 문제 말고, 학생들이 많이 질문하는 문제들을 선택했어요. 그러다 보니 이차함수와 도형이 함께 나오는 문제들이 많아졌어요. 워낙 많이 질문하는 문제들이라 여러 유형을 골라봤지만, 푸는 방법은 다 비슷합니다. 함께 풀어보고, 어렵던 내용을 다 알고 가자구요~ 이차함수 개념과 지난번에 공부한 내용을 떠올리면서!!! 문제를 함께 풀어봐요~^^ 1. 2. A의 x좌표를 a로 놓고 좌표들을 a의 식으로 나타내고 선분의 길이를 식으로 구합니다. 그러고 나서 정사각형의 변 길이가 같다는 것을 이용해서 a의 값을 구합니다. 3. 2번과 비슷합니다. 이 문제가 더 자주 출제되는 유형이니 반드시 알고 있어야 합니다. 4. 이차함수 그래프의 폭에 관한 문제입니다. 삼각형과 두 점에서 만나려면 그래프가 원점을 지날 때와 (4, 0)을 지날 때의 사이를 지나가야 합니다. 5. 도형의 넓이를 구할 때, 필요한 좌표를 구한 뒤
이차함수의 그래프, 학교수학시험 대비, 중3-1 - 7문항 [내부링크]
중3 이차함수에서 시험에 잘 나오는 문제를 풀어볼게요. 이차함수 개념을 잘 모른다면 따로 설명해놓은 블로그 글이 있으니 공부를 하고 나서 문제를 푸는 것도 좋습니다. 이차함수 개념을 떠올리면서~ 문제를 풀어볼까요? 1. 사분면을 지나거나 지나지 않는 그래프의 문제는 반드시 그래프를 조건에 맞게끔 그려야지 정확하게 파악이 됩니다. 2. 그래프의 개형이 같고 y 축 방향으로 평행이동된 그래프이므로 그림에서 보이는 것처럼 로 표시한 영역의 크기가 모두 같습니다. 의 색칠된 부분을 비어있는 부분으로 옮기면 색칠된 부분은 직사각형 ABCD 넓이와 같습니다. 3. 이차함수에서 도형의 넓이 또는 선분의 길이에 대한 문제는 좌표와 선분 길이를 한 문자를 나타내야 합니다. 4. 5. 사분면 문제는 a와 y 절편의 부호를 판단해서 그래프를 그려봅니다. 6. 이차함수 그래프는 축을 중심으로 선대칭입니다. 문제에서 활용하면 문제가 쉬워집니다. 꼭 기억하세요!!! 7. 이차함수에서 잘 나오는 유형의 문제들
일차함수와 일차방정식의 관계, 시험에 자주 나오는 문제, 7문항, 중2-1 [내부링크]
중 2-1 일차함수에서 시험에 자주 출제되는 문제 유형들을 풀어보고 있어요. 지난번에 6문제를 풀었고 오늘 7문제를 풀어볼 건데요. 난이도는 너무 낮은 문제는 제외하고 난이도가 중상 정도인 문제로, 웬만하면 유형이 겹치지 않는 문제들로 선택했어요. 너무 특이하고 난이도가 높아서 가끔 나올 수는 있지만 자주 나오지 않는 문제는 제외했습니다. 지난번에 이어서 일차함수 문제 풀이 들어갑니다~^^ 1. 선분의 길이의 비와 선분의 길이가 있으니 선분을 나타낼 수 있는 식으로 나타냅니다. 2. 세 직선의 교점을 구해서 삼각형의 넓이를 구합니다. 3. 삼각형 ABC의 넓이를 구하고 이등분한 삼각형의 넓이를 알아냅니다. 그러고 나서 필요한 좌표를 구합니다. 4. 일차방정식의 평행, 일치, 한 점에서 만날 때의 조건을 꼭 알아야 합니다. 특히 평행에서는 일치할 때는 제외해야 한다는 것을 주의하세요. 5. 평행사변형을 이룰 수 있는 평행한 직선은 두 가지입니다. 그중 조건에 맞는 것을 선택해야 합니다
중2-1 일차함수와 일차방정식의 관계, 시험에 꼭 나오는 문제 - 6문항 [내부링크]
이번에는 일차함수의 마지막 단원입니다. 시험에 나오기도 하지만 고등수학(상)의 직선의 방정식에서 또 나오는 개념이니까 잘 알아야 합니다. 개념을 잘 모른다면 개념 설명을 해 놓은 게 있으니 보고 공부한 후 문제를 풀어보면 좋습니다. 전에 공부한 개념을 떠올려봤나요? 이제 문제 풀이 들어갑니다. 1. 그래프의 개형을 확인하는 문제는 기울기와 y 절편의 부호를 확인하고 그래프를 그려봅니다. 2. 세 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하려면, 세 직선을 연립해서 교점의 좌표를 구한 뒤 넓이를 구합니다. 3. 직사각형의 가로, 세로의 비가 주어진 경우, 한 좌표의 x좌표를 a로 설정한 뒤, 각 좌표를 a의 식으로 구해서 문제를 풀면 됩니다. 4. 정사각형의 넓이나 한 변의 길이를 구하는 문제는 한 좌표의 x좌표를 a로 설정한 뒤, 각 좌표를 a의 식으로 나타냅니다. 그리고 가로, 세로의 변의 길이가 같다는 사실을 이용해 답을 냅니다. 5. 잘못 보고 그래프를 그린 문제는 제대로 본 기울기와
유리함수 그래프의 성질, 고등수학(하) [내부링크]
이번에는 유리함수에 대해 알아볼 거예요. 집중하고~ 유리함수에 대해 알아보지요~ 유리함수 y=f(x)에서 f(x)가 x에 관한 유리식일 때, 유리함수라고 합니다. 유리함수의 구성 : 다항함수/분수함수 유리함수의 정의역 : 정의역이 주어지지 않은 경우 분모가 0이 되지 않도록 하는 실수 전체의 집합 예제> 유리함수의 그래프 유리함수 그래프의 기본적인 성질입니다. 그런데 어디서 본 듯하지요? 중1-1 반비례 그래프입니다. 중1에서 반비례 그래프가 고1 유리함수까지 연결이 됩니다. 중1 때 공부한 내용을 기억해 낸다면, 추가된 내용은 정의역과 점근선 정도입니다. 위의 그래프를 보면 곡선이 x축, y 축과 만나지 않고 한없이 가까워집니다. 이때, 곡선이 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라고 합니다. 유리함수 그래프의 평행이동 유리함수의 평행이동도 지금까지 해왔던 방법으로 하면 됩니다. 예를 들어보면, 이 내용을 일반화해서 정리하면, 유리함수 그래프 방금 배운 유리함수식은 점근선이 식
중2-1 일차함수의 그래프 시험에 자주 출제되는 문제 - 8문항 [내부링크]
이번에는 일차함수 문제에서 시험에 자주 출제되는 문제들입니다. 일차함수 개념을 잘 모른다면 개념 설명을 포스팅한 내용이 있으니 보고 공부를 한 뒤 문제를 푸는 게 좋습니다. 아무래도 자주 나오지만 학생들이 많이 틀리는 문제 위주로 고르다 보니 일차함수의 활용 문제들이 많아요. 문장으로 되어 있는 문제는 문제의 문장이 의미하는 것을 설명해놓았습니다. 문제의 의미가 파악이 되면 문제가 쉬워집니다. 이제 문제 풀어볼게요. 준비되었나요? 1. 문제에서 일정한 비율로 물을 빼낸다.- 일차함수라는 의미입니다. 일차함수 활용 문제에서 x, y가 주어지지 않은 경우에는 반드시 설정해야 합니다. 2. 3, 세 좌표가 한 직선 위에 있다. - 일차함수식이 갈다. 즉 기울기가 같다. 기울기를 구해서 a 값을 구하면 됩니다. 3. 일차함수식이 삼각형을 이등분하는 문제는, 삼각형의 넓이를 구하고 이등분을 해서 나오는 삼각형을 찾아서 두 직선의 교점의 x좌표 또는 y좌표를 구합니다. 그리고 교점의 좌표를 구
중2 연립방정식 활용 문제 잘 푸는 법, 기말고사 대비 문제 유형 [내부링크]
중2 학생들이 가장 어려워하는 단원 중 하나가 연립방정식 활용입니다. 학생들이 왜 어려워하는지 보면, 문장을 이해를 못한다. - 문해력의 문제 문제를 읽고 식으로 옮기지 못한다. 유형을 몰라서 식을 못 세운다. 꼼꼼함이 부족하여 해를 구하고 나서도 답을 틀린다. 이 정도의 이유가 있습니다. 연방 활용 문제를 잘 풀어내기 위한 방법을 알려드릴게요.~^^ 연립방정식 활용의 기본 1. x, y를 반드시 설정. 2. 연립방정식을 세우기. 3. 해를 구한다. 4. 문제에서 원하는 답을 확인한 후 답을 쓴다. 1. x, y를 설정해서 적어놓은 건, 객관식이든 서술형이든 정말 중요합니다. 다 풀어놓고 뭘 구했는지 몰라서 틀리는 경우가 많으니까요. 2. 연립방정식을 세우는 건, 문제를 읽으면서 옮기는 느낌으로 세우면 됩니다. 몇 가지 유형만 식을 세우는 법을 기억하면 됩니다. 4. 문제에 x, y 설정해서 적어놓은 것을 보고 x, y가 뭔지 확인한 뒤 문제에서 요구하는 답을 꼭 확인합니다. 그리
중2 연립방정식 풀이 시험에 잘 나오는 문제 - 중2-1 [내부링크]
오랜만에 중학교 과정을 가지고 왔어요. 대부분의 학생들이 이번 주부터 기말고사 내신대비를 합니다. 미리 준비를 해놔야 여유가 있겠지요. 기말고사에는 시험을 보는 과목도 많을 테니까요. 오늘부터 중학교 2-1, 3-1 시험에 잘 나오는 문제 유형들을 포스팅을 할 텐데요. 너무 쉬운 문제와 너무 어려운 문제들은 제외하고 난이도가 있는 문제인데 시험에 잘 나오는 문제 위주로 풀이할 거예요. 여러분들의 100점을 기원하면서~ 연립방정식 풀이, 문제 풀어볼게요~!!! 1. x, y의 비가 주어질 때 연립방정식 풀이 주어진 x, y의 비를 식으로 세워서 연립해서 해를 구한 뒤, a 값을 구합니다. 2. 연립방정식의 해가 같을 때 해가 모두 같으니까 온전히 x, y 만으로 된 식을 연립해서 해를 구한 뒤, 나머지 식에 x, y를 대입해서 a, b 값을 구합니다. 3. x, y의 최소공배수가 주어졌을 때 x, y의 최소공배수가 주어진 문제는 x, y 값이 될 수 있는 값들을 구해서 그중 최소공배수
합성함수, 역함수 꼭 알아야 할 유형 문제 - 8문항, 고등수학(하) [내부링크]
합성함수와 역함수의 개념을 배웠으니 문제를 풀어볼게요. 이미 배운 개념을 머릿속에 장착하고~ 문제를 풀어볼까요? 1. 합성함수와 역함수의 성질 역함수의 함숫값이 주어질 때는 역함수를 구하기보다는 역함수의 성질을 사용해서 원래 함수의 함숫값으로 바꿔서 사용하는 게 좋습니다. 2. 그래프에서 실근의 개수 구하기 그래프에서 합성함수의 실근 개수를 구할 때는, 위와 같이 괄호 안을 치환해서 함숫값을 그래프에서 찾습니다. 3. 합성함수, 역함수의 함숫값 구하기 절댓값이 식에 있는 경우, 절댓값 안에 있는 식의 범위를 나눠서 절댓값을 풀어줍니다. 그리고 구한 값이, 식의 범위에 맞는지 꼭 확인합니다. 3. 역함수 그래프 역함수의 그래프는 y=x에 대칭입니다. f(x)와 f(x)의 역함수, y=x는 한 점에서 만납니다. 번거롭게 역함수를 구할 필요 없이 f(x)와 y=x를 연립해서 교점의 좌표를 구하면 됩니다. 4. 합성함수와 역함수 그림에서 색을 달리해 놓은 부분을 잘 보면 이해가 잘될 거예요
합성함수 그래프 그리는 법, 그래프를 이용해서 역함수의 함숫값 구하는 법, 고등수학(하) [내부링크]
저번에 합성함수와 역함수 그래프만 따로 포스팅하겠다고 했었지요? 합성함수 그래프 그리는 법과 그래프를 이용해서 역함수의 함숫값 구하는 법을 알려드릴게요. 오늘 할 내용은 잘 보고 이해해야 해요. 이해가 안 되면 그냥 넘어가지 말고 시간을 들여서 뚫어져라 쳐다보면서 반드시 알고 가야 해요. 집중 빡!!! 하고 들어갑니다!!! 합성함수 그래프 그리는 법. 1. 합성되는 함수를 일단 합성한다. 2. 함수의 범위를 보고 그래프에서 구간을 나눈다. 3. 나눈 구간에서 함수식을 합성하고, x의 범위를 구한다. 4. 구간 별로, x 범위와 구한 함수식을 보고 그래프를 그린다. 1. 합성함수의 그래프 2. 합성함수의 그래프 오늘은 합성함수 그래프를 좌표평면 위에 그리는 게 주제이니 (1)의 함숫값은 구하지 않을게요. 잘 보면 맨 처음에 f(x)를 합성하니까 x의 범위를 f(x)의 범위로 바꿔줬어요. 그 범위를 중심으로 구간을 나눈 거예요. 그래프에 표시해 놓았지요? 구간을 나누고 그 구간의 그래
합성함수의 뜻과 성질, 고등수학(하) [내부링크]
고등수학(하) 함수 중 합성함수에 대해 알아볼게요. 합성함수는 수(하)에서 처음 나오는 개념이라 잘 이해해야 해요. 합성함수 합성함수를 이해하기 위해 먼저 문제를 볼게요. 예제> 합성함수의 개념을 일반화하면, 합성함수 순서에 유의하세요. 합성이 되면서 함숫값이 합성되는 함수의 x 값이 되므로 f의 치역이 g의 정의역일 때만 합성함수가 정의됩니다. 합성함수의 정의역과 공역은 꼭 기억하세요!!! 이 부분이 이해가 되어야 합성함수 그래프를 그릴 수 있어요. 합성함수의 성질 합성함수의 성질은 기억하고 있어야 해요. 왜 이런 성질을 가지는지는 문제로 설명할게요. 예제> 합성함수의 교환법칙과 결합법칙 - 항등함수와 합성할 때 합성함수의 개념과 성질에 대해 알아봤어요. 과정이 올라갈수록 단순히 외우는 게 아니라 과정을 이해하고 외워야 하는 것 알지요? 오늘 배운 내용도 꼭 복습해야 해요. 잠깐 다른 얘기를 할게요. 함수 개념 설명을 1-1부터 수(하)까지 진행하고 있는데요. 원래 이렇게 진행한
역함수의 뜻과 성질,역함수의 그래프, 고등수학(하) [내부링크]
지난 시간에는 합성함수에 대해 배웠는데요. 이번에는 역함수에 대해 알아볼 거예요. 역함수라 하면 어떤 느낌이 드나요? 역, 거꾸로 또는 반대라는 느낌이 들지 않나요? 요런 느낌을 가지고 역함수 개념 설명 들어갈게요~ 역함수 역함수의 기호는 f의 역함수 또는 f 인버스라고 부릅니다. 역함수의 개념을 그림으로 보면, 이해가 더 쉬울 겁니다. 좀 더 이해가 되지요? 역함수는 거꾸로 대응시킨 함수라고 생각하면 쉬워요. 함수 f의 정의역은 역함수의 치역이 되고, 함수 f의 치역은 역함수의 정의역이 됩니다. 그럼 모든 원소들이 하나씩 대응해야 역함수가 존재할 수 있겠지요? 역함수가 존재할 조건 : 함수 f가 반드시 일대일대응. 역함수가 존재할 조건이 함수가 일대일대응이어야 한다는 것을 꼭 기억하세요!!! 역함수 구하기 1. 함수가 일대일대응인지 확인. 2. 주어진 함수를 x에 관해서 푼다. 3. x와 y를 서로 바꾼다. 4. 원래 함수와 역함수의 정의역과 치역을 바꾼다. 역함수를 구하는 방
두 직선의 위치 관계, 평행, 일치, 수직 조건을 활용하는 문제, 고등수학(상) - 5문항 [내부링크]
지난번에 두 직선의 위치 관계에 대해 알아봤지요? 평행, 일치, 한 점에서 만날 때, 수직일 때의 조건도 배웠습니다. 다 머릿속에 정리되어 있지요? 이제 배운 개념들을 활용해서 문제를 풀어봐야지요. 지난번에 공부한 내용을 떠올리면서 문제를 풀어볼까요? 1. 평행 조건을 활용한 직선의 방정식 구하기 2. 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 삼각형을 이루지 않을 조건에 관한 문제는 중2-1에서 많이 나왔습니다. 복습한다는 느낌으로 기억을 되살려 문제를 풀면 되겠지요? 3. 선분의 수직이등분선이 되기 위한 조건 수직이동분선이 되기 위한 조건은 중점 조건과 수직 조건입니다. 꼭 기억하세요!!! 4. 수직 조건을 활용한 직선의 방정식 구하기 5. 수직 조건을 활용한 직선의 방정식 구하기 ㄷ. 삼각형의 넓이를 구할 때, a가 양수인지 음수인지 모르니까 절댓값을 붙여줍니다. a에 관한 이차방정식이 2개 나오는데 그중 하나는 판별식이 0보다 작으니까 실수인 근이 아닙니다. a 값의 합은 a의 값
점과 직선 사이의 거리, 직선의 방정식, 고등수학(상) [내부링크]
직선의 방정식 단원의 마지막입니다. 매일매일 공부하니까 금방이지요? 점과 직선 사이의 거리 점 P와 직선 ax+by+c=0이 수직으로 만나는 선분 PH를 점과 직선 사이의 거리 d라 합니다. 점과 직선 사이의 거리를 구하는 식을 보여드렸는데, 이 식이 어떻게 나오는지도 봐야겠지요? 그럼 점과 직선 사이의 거리식을 사용해 거리를 구해볼까요? 예제> (2, 5)와 직선 x+2y+3=0의 거리를 구하시오. 배운 거리식에 대입해서 풀면 됩니다. 간단하지요? 평행한 두 직선 사이의 거리 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 법을 배워볼게요. 평행한 두 직선의 거리를 그려서 볼게요. 어떤 특징이 보이나요? 평행한 두 직선에서는 어디든 정해서 거리를 재도 다 길이가 같습니다. 즉, 한 직선은 그대로 놔두고 나머지 한 직선에서 아무 좌표나 정해서 점과 직선 사이의 거리를 구하면 평행한 두 직선 사이의 거리가 됩니다. 예제> 평행한 두 직선 2x-y-3=0, 2x-y +2=0의 거리를 구하시오.
점과 직선 사이의 거리, 유형 문제 4문항, 고등수학(상) [내부링크]
드디어 직선의 방정식의 마지막입니다. 지난번에 점과 직선 사이의 거리를 구하는 법을 배웠지요? 머릿속에 잘 정리했겠지요? 지난 시간에 배운 내용을 떠올리면서 오늘의 문제를 풀어보면, 이해가 더 확실히 될 거예요. 점과 직선 사이의 거리가 활용된 문제들을 풀어볼게요. 준비되었나요? 1. x축, y 축, 직선까지의 거리가 같은 점의 좌표 구하기 문제의 조건을 잘 보면 좌표를 P(a, a)로 설정해야 된다는 것을 알 수 있어요. 2. 평행한 두 직선 사이의 거리 구하기 평행한 두 직선 사이의 거리는 한 좌표를 정해서 직선과 좌표까지의 거리를 구해야 해요. 3. 한 좌표에서 직선까지의 거리에 관한 문제 전에 배운 항상 한 정점을 지나는 점의 좌표는 항등식 성질을 이용해서 알아낸다는 것 기억하지요? 한 번 배우면 쭉 계속해서 문제에 등장하니까 잊어버리면 안 돼요~^^ 4. 두 직선 2x-y-1=0, x+2y-1=0이 이루는 각의 이등분선의 방정식을 구하시오. 각의 이등분선의 성질 : 각의 이
함수, 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수, 함수의 그래프, 고등수학(하) [내부링크]
이제 한 학년 더 올라갔습니다. 고등수학(하)로 올라갑니다. 수(하)에서는 새로 배우는 함수의 용어가 나옵니다. 용어를 익히고, 여러 가지 종류의 함수들을 구분해서 알아야 합니다. 중1-1부터 고등수학(상)까지 배웠던 함수의 개념을 장착하고~ 수(하)에 나오는 용어부터 알아보지요~ 1. 대응 수(하)의 1단원은 집합입니다. 집합의 개념을 배운 학생들이 이 부분을 공부할 거니까 집합의 개념은 안다는 전제하에 설명할 거예요. 앞부분을 공부하지 않았다면 공부를 한 후 함수를 배워야 합니다. 대응 - 공집합이 아닌 집합 X, Y에 대하여 X의 원소에 Y의 원소를 짝지어주는 것. 집합 X에서 집합 Y로의 대응이라 합니다. 집합 X의 원소 x에 집합 Y의 원소를 짝 지어지면 x가 y에 대응한다고 하고, 기호로 2. 함수 지금까지는 x 값 하나에 y 값, 즉 함숫값이 하나만 존재하는 것이 함수라고 정의했습니다. 수(하)에서는 조금 더 정확하게 정의합니다. 집합 X의 각 원소에, Y의 원소가 오직
여러 가지 함수, 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 고등수학(하) [내부링크]
지난번엔 함수에 나오는 용어들을 공부했어요. 이번에는 여러 가지 함수에 대해 알아볼 거예요. 여러 가지 함수들이 나오는데 각각의 특징을 알고 구분해야 합니다. 오늘도 쉽고 정확하게 알려드릴게요. 준비되었나요? 1. 일대일함수 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f에서, 정의역 X의 서로 다른 원소의 함숫값이 서로 다를 때, 일대일함수라고 합니다. 일대일함수의 조건 2. 일대일대응 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f에서, 일대일함수이고, 치역과 공역이 같을 때, 일대일대응이라고 합니다. 일대일대응의 조건 일대일대응은 일대일함수 중에서 치역=공역인 함수이므로, 일대일함수의 집합의 부분집합입니다. 3.항등함수 정의역과 공역이 같고, 정의역 X의 원소 x에 그 자신인 x가 대응할 때, 항등함수라고 합니다. 항등함수는 기호로 I로 나타냅니다. 그림에서 보이는 것처럼 항등함수는 일대일대응입니다. 4. 상수함수 정의역 X의 모든 원소가 공역 Y의 원소 하나에만 대응할 때, 상수함수라고 합니다. 여러
여러 가지 함수, 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 함수의 개수, 이해를 확실하게 하기 위한 문제, 고등수학(하) [내부링크]
지난번에 여러 가지 함수에 대해 공부했어요. 배운 내용 복습해서 머릿속에 정리해서 알고 있지요? 지난번 개념을 떠올리면서~ 문제 풀이 들어갑니다~ 먼저 함수의 개수를 구하는 법부터 알아볼게요. 중2-2의 경우의 수로 구해볼 거예요. ※ 함수의 개수 예제> 두 집합 X={a, b, c, d}, Y={0, 1, 2, 3}에 대하여 다음을 구하시오. (1) X에서 Y로의 함수의 개수 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 대응되기만 하면 되니까 정의역의 각 원소가 대응 가능한 Y의 원소가 4개씩입니다. 4×4×4×4=256 답> 256 (2) X에서 Y로의 일대일대응의 개수 일대일대응은, 일대일함수이면서 치역과 공역이 같아야 합니다. a가 대응 가능한 Y의 원소는 4개, b는 a의 함숫값 제외한 나머지 3개, c는 a, b의 함숫값 제외한 나머지 2개, d는 a, b, c의 함숫값 제외한 나머지 1개 4×3×2×1=24 답> 24 (3) X에서 Y로의 상수함수의 개수 상수함수는 정의역의 모든
직선의 방정식 구하기, ax+by+c=0, 고등수학(상) [내부링크]
이번에는 고등수학(상)의 직선의 방정식 단원으로 들어가 볼게요. 직선의 방정식은 중2-1 일차 함수를 잘 알고 있다면 어렵지 않아요. 중 2-1 일차함수 개념을 잘 모른다면 공부를 하고 고등과정 공부를 해야 합니다. 전에 일차함수 개념 포스팅을 한 게 있으니 공부하고 오셔도 됩니다.^^ 중등과정과 수(상) 앞부분을 공부한 학생이 이 부분을 공부한다는 전제하에 개념을 설명해 드릴게요.^^ 지금부터 직선의 방정식으로 들어갑니다~ 직선의 방정식 구하기 1. 기울기와 y 절편이 주어진 직선의 방정식 예> 기울기가 2, y 절편이 3인 직선의 방정식 y=2x+3 2. 기울기와 한 좌표가 주어진 직선의 방정식 예> 기울기가 2, (2, 7)을 지나는 직선의 방정식 중2-1에서는 y=ax+b로 놓고, 기울기는 2니까 a=2를 대입, y=2x+b에 (2,7)을 대입해서 b=3으로 구합니다. y=2x+3 수(상)에서는 조금 다르게 구합니다. 2-1과 3-1에서 배운 x축 평행이동과 y 축 평행이동
직선의 방정식 개념 이해를 위한 문제 중 쉽지만 시험에 잘 나오는 중요한 문제, 고등수학(상) - 3문항 [내부링크]
지난번에는 직선의 방정식을 구하는 법과 여러 가지 직선의 방정식에 대해 알아봤어요. 그런데 직선의 방정식의 개념을 이해하려면 문제를 풀어봐야지요. 그래서 준비했습니다. 오늘 풀어볼 문제는 직선의 방정식의 유형 문제 중 꼭 알아야 하는 문제입니다. 어렵지는 않지만, 시험에는 잘 나오는 문제입니다. 1. 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선 2. 직선이 지나지 않는 사분면 3. 삼각형의 한 꼭짓점을 지나고 넓이를 이등분하는 직선 문제에 대한 풀이는 최대한 쉽고 자세하게 설명했습니다. 이해가 잘되지 않거나 궁금한 내용이 있으면 댓글 남겨주시면 답변해 드리겠습니다.^^ 직선의 방정식에 대해 이해가 잘 되었나요? 그럼 직선의 방정식의 다음 내용을 가지고 돌아올게요~^^
직선의 방정식, 두 직선의 교점을 지나는 직선, 고등수학(상) [내부링크]
이번에는 직선의 방정식에서, 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아볼 거예요. 예제 1> 2x+y+3=0과 x+y-6=0의 교점과 점 (3, 7)을 지나는 직선의 방정식을 구하시오. 중2-1에서는 어떻게 구했을까요? 중2-1에서는 두 직선을 연립해서 교점을 구한 후, 교점과 한 좌표를 지나는 직선의 방정식을 구했습니다. 고등수학에서는 어떻게 구하는지 볼까요? 먼저 한 정점을 지나는 직선의 방정식에 대해 알아야 합니다 한 정점을 지나는 직선의 방정식 예제 2> 직선 (k+2)x+(k-1)y-6k+3=0은 실수 k 값에 관계없이 항상 점 P를 지난다. 이때 점 P의 좌표를 구하시오. k 값에 관계없이 항상 성립해야 하니까 항등식의 성질이 이용됩니다. 그런데 눈에 들어오는 부분이 있습니다. 위의 풀이에서 중2-1 맨 위의 문제와 같습니다. .즉, 항등식을 성질을 활용해서 정리한 식에서 알 수 있는 부분은 이렇습니다. 두 직선의 교점을 지나는 직선 예제 3>
두 직선의 위치 관계, 평행, 일치, 한 점에서 만난다, 수직, 직선의 방정식, 고등수학(상) [내부링크]
직선의 방정식의 중반으로 들어갑니다. 매일 공부하니까 금방이지요? 이번엔 두 직선의 위치 관계에 대해 공부할 거예요. 위치 관계는 중2-1 일차 함수와 일차방정식의 관계에서 배운 내용에 조금 추가되는 거니까 어렵지 않아요. 두 직선의 위치 관계 1. 평행 2. 일치 3. 한 점에서 만난다. 3번의 조건은 2-1에서 나오지 않았으니까 꼭 기억하세요!!! ※ 수직으로 만난다. 수직으로 만나는 건, 한 점에서 만나기는 하지만 수직으로 만나는 경우입니다. 수직 조건이 왜 저런 식으로 나오는지 알아야지요. 원점을 지나는 지나는 직선으로 하고, x=1과 만나는 교점을 A, B로 해서 설명했어요. 평면좌표에서 배우는 두 점 사이의 거리 구하는 법으로 선분의 길이를 구하고, 피타고라스 정리로 설명했습니다. 식을 변형해서 나온 거니까 보면 이해가 될 거예요. 새로 배우는 내용들은 잘 기억해서 활용할 수 있도록 문제를 풀 때 계속 사용해야 합니다. 배운 내용을 하나의 표로 정리해 보면 이렇습니다.
수학을 가르치면서 느끼는 점. 마음의 균형을 유지하는 게 쉽지 않아요. [내부링크]
중학교 아이들은 학년마다 필요한 것들의 차이는 있지만, 거의 공부의 습관을 만드는 과정을 거쳐야 합니다. 그런데 습관이라는 게 하루아침에 만들어지는 게 아니고, 수학 공부는 좋아하는 경우는 거의 없으니... 그 과정이 참 길고도 험난합니다. 끊임없이 동기 부여를 하면서 안 하려고 도망가는 아이를 붙들어서 끌어야 합니다. 그런데 너무 잡아당겨도 안 됩니다. 너무 무리하게 붙들어놓으면 튕겨나가 버리니까요. 학생들에게 적당한 양을 부여하면서 시키고 소화할 만하면 조금씩 늘려서 하게끔 합니다. 학생이 눈치를 못 채게 살살 늘려가는 겁니다. 학생이 알더라도 괜찮습니다. 전보다 나아져서 이 정도 할 수 있게 된 거라고 알려주면 되니까요. 그럼 학생은 스스로의 향상에 힘이 더 날 거니까요. 학년이 올라가고 선행과정도 올라가면, 내용도 어려워지고, 양도 많아지지요. 그런데 학생들은 수행평가, 중간, 기말고사 등 학교 일정이 생기고, 여러 교과의 학원들을 다니게 됩니다. 그뿐만이 아닙니다. 학생들이
고등수학(상) 이차방정식과 이차함수 - 이차방정식과 이차함수의 관계 - 2문항 [내부링크]
이제 고등수학(상)에 들어왔습니다. 벌써? 이렇게나 많이 왔어? 싶지요? 중3 이차함수를 열심히 공부했다면 수(상)에서도 이차함수가 어렵지 않습니다. 중3 이차함수가 부족하다면 공부를 더 하고 완벽히 이해하고 와야 합니다. 이차함수의 개념은 알고 있다는 전제하에 고등수학(상)에서 나오는 내용으로 들어가겠습니다.^^ 이제 시작합니다~ 이차함수의 그래프와 이차방정식의 해 이차함수 그래프와 x 축의 교점은 y=0일 때, 이차방정식의 실근입니다. 이차함수의 그래프와 x 축의 위치 관계 이차함수 그래프와 x 축의 교점은 이 그림만 이해하면 됩니다. 이차함수의 x 절편은 y=0일 때 이차방정식의 실근이므로 판별식으로 위치 관계를 판단합니다. 이차함수 그래프와 직선의 교점 이차함수와 직선의 교점의 x좌표는, 두 함수의 공통 해이므로 두 함수식을 연립한 이차방정식의 실근입니다. 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계 이차함수와 직선의 교점의 개수는, 이차함수와 일차함수를 연립하여 이차방정식의
이차함수의 최대 최소 - 이차함수의 최댓값, 최솟값, 고등수학(상) [내부링크]
이번에는 이차함수의 최댓값과 최솟값에 대해 알아볼게요. 일단 이차함수 그래프를 그려볼게요. 이차함수 그래프의 최대 최소 최댓값과 최솟값은 함숫값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 즉, y 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 1. 이차함수 그래프의 최솟값 최솟값은 꼭짓점의 y좌표, 최댓값은 없습니다. 2. 이차함수 그래프의 최댓값 최댓값은 꼭짓점의 y좌표, 최솟값은 없습니다. 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾼 후 최댓값 또는 최솟값을 구하면 됩니다. 3. 예제 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 이번에는 이차함수에서 최댓값과 최솟값을 구하는데 x의 범위를 제한한 경우입니다. 제한된 범위에서의 이차함수의 최대 최소 제한된 범위의 최댓값과 최솟값을 구할 때는 반드시 그래프를 그리세요. 앞서 배운 최댓값과 최솟값을 구할 때는 a의 부호를 보고 그래프의 모양을 파악하고 꼭짓점의 y좌표로 구하면 되니까 그래프를 그리지 않아도 문제를 푸는데 지장이 없습니다. 그
이차함수의 최대 최소 - 공통부분이 있는 함수, 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대 최소, 고등수학(상) [내부링크]
지난번에는 이차함수의 최대 최소, 제한된 범위에서의 이차함수의 최대 최소에 대해 배웠어요. 이번에는 공통부분이 있는 최대 최소와 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대 최소, 조건식이 있는 이차식의 최대 최소에 대해 알아볼게요. 지난번에 배운 내용을 떠올리면서 보시면 이해가 잘될 거예요. 준비되었나요? 공통부분이 있는 함수의 최대 최소 공통부분이 있는 함수는 공통부분을 t로 치환하여 최댓값과 최솟값을 구합니다. 치환한 t의 범위를 꼭 구해놓고 최댓값과 최솟값을 구해야 합니다. 치환한 후 치환한 t의 범위를 구한 후 최댓값과 최솟값을 구합니다. 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대 최소 실수 x, y라는 조건이 있는 이차식은, 일단 식을 완전제곱식의 형태로 바꿉니다. 완전제곱식을 만들 때 상수항이 바뀌는 것을 주의해야 합니다. 실수의 제곱이 0 이상이라는 개념을 사용했습니다. 조건식이 주어진 이차식의 최대 최소 이차식의 미지수가 2개인 경우는, 문자를 하나로 만들어야 합니다. 주어진 조건
학생들이 함수를 어려워하는 이유, 함수가 쉬워지는 법. 매일 함수 개념 포스팅을 하는 이유 [내부링크]
학생들을 가르치다 보면 아이들은 대부분의 수학 개념들을 다 어렵다고 합니다. 그래도 그중에서 가장 어렵다고 하는 단원을 보면, 단연코 1등은 함수입니다. 함수를 이해만 잘 하면 어렵지 않은데 왜 어려워할까 생각해 보면, 함수를 어려워하는 이유 1. 처음 함수를 만날 때 어려워 보이니까. 학생들의 입장에서 보면. 처음 함수를 배울 때 좌표평면이 나오고 그 위에 그래프도 나오고 생전 처음 보는 용어들도 엄청 많이 나옵니다. 아이들 입장에서는 이제까지는 식과 수 정도 배웠는데, 그래프와 용어들이 많이 나오고, x, y가 변한다고 하니까 너무 어려워 보이는 거지요. 2. 함수의 용어를 정확하게 이해하지 못하니까. 같은 말일 수도 있는데, 학생들에게는 새롭고 낯선 개념이 쏟아져 들어오니까 어렵고 힘들 수 있어요. 그런데 도망가고 싶은 심정으로 듣고 있는데 용어가 휙휙 빠르게 계속 나오니까 이해가 되지 않고 외계어처럼 들리는 거지요. 그런데 함수는, 함수에는 나오는 언어를 이해하지 못하면 정
중3 이차함수의 일반형, a,b,c 부호, x축과의 교점 [내부링크]
이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법을 배워봤는데요. 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 법을 다시 리뷰할게요. 이번에는 일반화해서 설명할게요. 꼭짓점과 축의 방정식을 공식으로 외우지 않고 구할 수 있으면 됩니다. 다만 이런 과정으로 표준형으로 바꾼다는 것을 이해하고 스스로 위와 같이 풀어낼 수 있어야 합니다. 이차함수의 일반형에서 a, b, c의 부호 정하기 a : 그래프의 개형 b : 축의 방정식 c : y 절편 1. a : 그래프의 개형 이차함수의 표준형과 일반형 모두 동일합니다. 2. b : 축의 방정식 축의 방정식이 y 축을 중심으로 왼쪽, 음수 방향에 있으면, a. b의 부호가 같다. 축의 방정식이 y 축을 중심의 x축 오른쪽 위치 양수 방향에 있으면, a. b의 부호가 다르다. 축의 방정식이 y 축, x=0이면, b=0. 이렇게 기억하면 됩니다. 3. c : y 절편 y 절편은 y 축과 만나는 점이므로, x=0일 때의 y좌표입니다. 이차함수의 일반형에 x=0을
중3 이차함수의 식 구하기 3-1 - 4문항 [내부링크]
이제 중3 이차함수 개념의 마지막입니다. 이번에는 이차함수의 식을 구하는 법을 알아볼게요. 준비되었나요? 이차함수의 식 구하기 1. 꼭짓점과 한 좌표를 알 때 꼭짓점의 좌표를 아니까 표준형으로 식을 세우는 걸 기억하세요!!! 2. 축의 방정식과 두 좌표를 알 때 축의 방정식을 아니까 표준형으로 식 세우기. 3. 세 점을 알 때 세 좌표를 아니까 식은 일반형으로 세웁니다. 세 좌표 중 y 절편은 c, 나머지 두 좌표는 대입해서 연립해서 a, b를 구합니다. 4. x 절편과 한 좌표를 알 때 x 절편이 y=0일 때의 이차방정식의 해이므로 인수분해 식으로 식을 세웁니다. 이차함수의 식 세우는 방법에 대해 배워봤어요. 다시 정리하면 꼭짓점을 알 때 - 표준형 축의 방정식을 알 때 - 표준형 세 좌표를 알 때 - 일반형 x 절편을 알 때 - 인수분해식 이렇게 기억하면 좋습니다. 드디어 중3 과정의 개념 설명이 끝이 났어요. 매일 열심히 공부해서 이차함수가 쉬워졌나요? 다음엔 이차함수 일반형
중3 이차함수 개념을 확실하게 정리해 봐요. 이차함수 일반형 문제 - 6문항 [내부링크]
중3 이차함수를 다 배웠으니까 이제 문제를 풀어봐야지요. 이차함수 개념을 공부하고 문제를 많이 풀어봐야 하고, 배웠다고 끝나는 건 아니지만!!! 배워야 할 것을 다 배웠다고 생각하니까 그래도 속 시원하고, 뿌듯하지 않나요? 나 쫌 짱인 듯!!! 여기까지 열심히 공부한 스스로를 칭찬해야 할 것 같아요. 이번에는 이차함수 일반형에 관한 문제를 풀어볼게요. 준비되었나요? 1. 이차함수 그래프의 성질 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸고 한꺼번에 파악하는 게 좋습니다. 2. 이차함수 그래프의 꼭짓점의 위치에 따른 미지수의 범우 구하기 3. 이차함수의 식 구하기 4. 이차함수 그래프에서 도형의 넓이 구하기 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾼 후 필요한 좌표를 구한 후 삼각형의 넓이를 구합니다. 5. 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면 구하기 사분면에 관한 문제는 꼭짓점과 y 절편을 구해서 그래프를 정확히 그려서 풀어야 합니다. 6. 이차함수의 그래프의 x축과 만나는 점의 거리에 관한 문제
공부를 잘하는 법 - 나한테 맞는 공부법 찾기 [내부링크]
공부를 잘 하는 법이 뭘까요? 어떻게 하면 공부를 잘할 수 있을까요? 학생들이 참 많이 한 질문입니다. 공부를 하지 않고 이런 말을 한다면, 답은 하나입니다. 절대적으로 공부하는 양을 늘려야 해. 많이 해야지 공부를 잘하지. 그런데 시간은 시간대로 들이고 노력을 나름 하는데 제대로 되고 있지 않다면, 뭔가 잘못된 것이겠지요. 또 하고자 하는 의지는 있는데 의지를 굳건하게 유지하는 것이 잘 안되는 경우라면, 고민을 해 봐야 합니다. 수업을 하면서 저도 학생들한테 도움이 될 만한 공부 방법도 이야기해 주고, 공부를 하는 데 동기부여가 될 만한 이야기도 많이 해주는 편이지만, 그런 이야기를 듣고도 막연하다면, 조금 시간과 노력을 들여서 공부 방법에 관한 책이나, 영상을 찾아서 보라고 합니다. 시중에 공부에 대한 책도 넘치도록 나와있고, 유튜브에도 공부 잘하는 법을 검색하기만 해도 많습니다. 몇 개만 찾아보면 본인 상황에 맞는, 해볼 만한 방법이 있을 겁니다. 콕 짚어 이렇게 해 보라고 말
중3 이차함수의 이해를 확실하게!!! 이차함수의 표준형 문제, 5문항 [내부링크]
이차함수의 표준형의 개념을 배웠으니 정확한 이해를 위해 문제를 풀어봐야지요. 이차함수 그래프의 성질 잘 기억하고 있지요? 이차함수 표준형의 개념 떠올리면서 문제 풀이 들어갑니다~^^ 1. 이차함수 그래프의 성질 2. 이차함수 그래프의 성질 3. 이차함수의 표준형 4. 이차함수의 표준형에서 a, p, q의 부호 5. 이차함수의 표준형에서의 대칭이동 이차함수의 표준형에 대한 문제들을 풀어봤어요. 이해가 잘 되었지요? 이제 이차함수의 반 정도 배웠어요. 이제 중3 과정의 이차함수가 얼마 남지 않았어요. 하다 보면 금방이지요? 어렵다고 생각하고 놔두면 언제 이 많은 걸 다 공부하나 싶지만 차근차근 매일 공부하다 보면 금세 다 한다니까요. 시작이 반이라는 말이 그래서 있는 것 같아요. 이미 시작은 했으니까 반은 한 거니까 좀 더 힘내서 공부해 보자고요. 함수가 쉬워지고 있지요?
중학교 학생들에게 하는 말 - 그만 좀 날려먹어!!! 기억 좀 하면 안 되겠니? [내부링크]
학생들을 가르치다 보면, 선생님은 열심히 가르쳐 줬는데 학생들에게는 기억이 없는 경우가 많습니다. 아예 가르쳐 줬다는 사실조차 기억을 못 하는 경우가 많아서 설명을 해줄 때 메모를 하게끔 하고 선생님이 설명을 해줬다는 표시를 합니다. 학생들이 자꾸 돌아서면 까먹으면 문제가 있지요. 학년은 올라가고 배우는 건 늘어나는데, 특히 수학은 전 과정 위에 추가되는데, 전에 배운 걸 다 기억을 못 하면 어떻게 될까요? 다 처음부터 설명을 하고 지금 배우는 과정을 설명해야 합니다. 기억을 되살리기 위한 리뷰 정도는 매번 하는 거니까 그러려니 하지만, 아예 하얗게 기억을 못 하면 전 과정을 설명하는 데에 시간도 많이 걸리고, 지금 배우는 과정에 대한 학생들의 이해도도 떨어질 수밖에 없습니다. 학년이 올라가면 올라갈수록 배운 양이 많으니까 리뷰해야 하는 것도 많겠지요. 그럼 공부의 효율이 더욱 떨어지는 건 당연하겠지요. 좀 머릿속에 기억을 담고 있으면 이렇게 똑같은 걸 반복하는 것을 줄이고, 그 시
중3 이차함수의 일반형, 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸기 [내부링크]
이차함수의 표준형에 대해 배웠으니 이번에는 이차함수의 다른 식에 관해 알려드릴게요. 이차함수의 식의 형태는 대부분 이런 형태입니다. 이런 이차함수의 식을 이차함수의 일반형이라고 합니다. 이차함수의 일반형에서 바로 알 수 있는 건, y 절편, 그래프의 모양입니다. 그런데 그래프를 그리려고 하니, 일반형에서는 꼭짓점을 알 수 없지요. 그래서 그래프를 그리려면, 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꿔야 합니다. 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸기 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 이차함수 문제를 풀 때 계속해야 하니까 잘 숙지해서 빠르고 정확하게 할 수 있어야 합니다. 꼭짓점과 축의 방정식을 공식으로 암기하는 경우도 있는데, 그것보다는 원리를 알고 하다가 자연스럽게 외워지는 게 좋은 것 같습니다. 공식으로만 외우면 잊어버리기도 하니까 원리를 정확하게 아는 게 중요합니다. 이차함수의 그래프를 정확하게 그리는 법 - 이차함수 그래프를 정확하게 그리려면, 꼭짓점, y 절편, 그래프의
중3 이차함수의 뜻, 이차함수의 그래프의 성질 3-1 [내부링크]
드디어 함수의 모든 것, 중학교 3학년으로 올라갑니다. 이제 이차함수로 들어가 보지요. 준비되었나요? 이차함수의 뜻 이차함수가 되기 위한 조건 이차함수의 그래프 이차함수의 그래프에 대해 자세히 배우기 전에, 이차함수에서 나오는 용어부터 정리해 보겠습니다. 포물선 - 이차함수의 그래프를 그려보면 그래프의 모양이 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 곡선의 형태입니다. 이런 모양의 곡선을 포물선이라고 합니다. 축 - 이차함수의 그래프는 선대칭을 이루는데 그 대칭축을 포물선의 축이라고 합니다. 꼭짓점 - 포물선과 축의 교점을 꼭짓점이라고 합니다. 이차함수에서 나오는 용어를 배웠으니 이제 본격적으로 이차함수 그래프를 좌표평면에 그려볼까요? 처음 배우는 거니까 일단 그래프를 그리기 위해 좌표를 먼저 구해 볼게요. 맨 윗줄 가로는 x좌표, 그 아래는 왼쪽 세로에 있는 함수에 대한 함숫값입니다. 가로, 세로가 교차하는 지점이 좌표입니다. 위 표의 좌표들로 그래프를 그려보았습니다. 이제 이차함수 그래
중3 이차함수의 그래프, 이차함수 그래프의 y 축 평행이동 [내부링크]
지난번에 이차함수 그래프의 기본적인 성질들을 배웠어요. 공부 열심히 해서 잘 기억하고 있지요? 이차함수 그래프의 성질을 잘 알고 있다면, 이번 내용을 이해하기 쉬울 거예요. 이번에는 이차함수 그래프의 평행이동에 대해 알아볼 거예요. 지금 시작할게요~^^ 이차함수 그래프의 y 축 평행이동 맨 위 가로는 x좌표, 그 아래는 x 값에 대한 함숫값입니다. 그래프를 그려보면 그래프는 이런 모습입니다. 빨간색 그래프가 위로 +3만큼 이동한 것 보이지요? 이런 식으로 위아래로 그래프가 이동한 것을 y 축 방향으로 평행이동했다고 합니다. 위 그래프는 y 축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프입니다. 이 그래프의 특징을 정리하면, 아래와 같습니다. 좌우로 이동하지는 않았으므로 축의 방정식은 변함이 없습니다. y 축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질을 일반화하면 이렇습니다. y 축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질 간단하지요? y 축 방향으로 평행이동한 그래프의 식은 상수항에 평행
중3 이차함수 그래프의 x축 평행이동, 3-1 [내부링크]
이번에는 이차함수 그래프를 x축 방향으로 평행 이동해 볼게요. 지금 갑니다~^^ 그래프를 그리기 전에 좌표부터 구해볼게요. 함숫값이 오른쪽으로 +2만큼 옆으로 간 거 보이지요? 그래프를 그리면 이런 형태가 됩니다. 이차함수의 그래프를 좌우로 이동시키는 것을 x축 방향으로 평행이동한다고 합니다. 위 그래프의 특징을 살펴볼까요? x축 방향으로 +2 만큼 평행이동했으니까 축이 이동해서 축의 방정식은 x=2입니다. x축 방향으로 평행이동한 그래프의 성질을 일반화해서 설명해 드릴게요. x축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질 위 그래프에서 보면 x축 방향으로 2만큼 이동했는데, 이차함수식에서 보면 -2로 들어간 거 보이지요? x축 평행이동은 식을 세울 때 부호가 반대로 들어갑니다. x축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질에 대해 알려드렸어요. 다음엔 x축과 y 축을 같이 이동해 볼 거예요. x축, y 축 평행이동을 잘 이해했다면 이해가 쉬울 거예요. 이차함수도 별거 아니지요?
중3 이차함수 표준형, x축, y 축으로 평행이동한 이차함수의 그래프, 3-1 [내부링크]
이차함수 그래프의 x축, y 축 평행이동을 공부했어요. 이제 x축과 y 축을 같이 평행 이동해 볼 거예요. 배운 대로 이동하면 됩니다. 간단해요. 위 그래프를 보면 x축 방향으로 +2만큼, y 축 방향으로 -1만큼 이동한 게 보이지요? 꼭짓점 (2, -1) 축의 방정식 x=2 x축, y 축으로 평행이동한 이차함수 그래프에 대한 성질을 일반화해서 설명할게요. 이차함수의 표준형 - 이차함수 식을 위와 같이 꼭짓점 좌표가 드러나게끔 표현한 식을 이차함수의 표준형이라고 합니다. 이차함수의 표준형에서 꼭짓점은 (p, q), 축의 방정식은 x=p, 꼭짓점의 x좌표와 같습니다. 이차함수의 표준형에서 q는 꼭짓점의 y좌표입니다. y 절편이 아닙니다. 헷갈리면 안 돼요~^^ 이차함수에서 x축, y 축으로 평행이동하는 것을 연습해 볼까요? 이차함수의 표준형에서 꼭짓점의 x좌표는 식의 부호와 반대가 됩니다. 이차함수의 표준형에서 a, p, q의 부호 - 이차함수의 표준형에서 a, p, q의 부호에
중2 일차 함수와 연립 일차방정식-연립 일차방정식의 그래프의 해 개수와 위치 관계-3문항 [내부링크]
드디어 중2 일차 함수의 마지막입니다. 이것만 하면 중2 일차 함수가 마무리됩니다. 물론 그렇다고 해도 진도도 계속 나가야 하고 문제 풀이도 계속하면서 공부를 해야 하지만, 그래도 중간에 여기까지 마무리를 하면서 일단 한번 끝을 맺고 가는 느낌도 나쁘지 않지요? 이제 열심히 일차 함수의 마지막을 잘 마무리해 볼까요? 연립방정식의 해와 그래프 두 일차 방정식의 그래프를 그려볼게요. 두 일차 방정식의 교점 A는, 두 일차 방정식의 공통 해입니다. 즉 연립 일차방정식의 해가 됩니다. 연립방정식의 해의 개수와 그래프의 위치 관계 이 표 하나만 정확하게 기억하고 있으면 됩니다. 간단하게 정리가 되었지요? 이제 문제를 풀어볼까요? 1. 일차함수 그래프에서 연립방정식의 해 2. 연립방정식에서 해가 무수히 많을 때 : 일치 3. 두 일차 방정식의 그래프의 교점을 지나고 y 축에 수직인 직선의 방정식 구하기. 드디어 중2 일차함수 개념 설명이 끝이 났습니다~ 여기까지 열심히 공부한 여러분을 칭찬
처음 고등수학(상)을 배우는 학생들이 어려워하는 이유 [내부링크]
수학을 가르치다 보면 학생들은 수학이 어렵다는 말을 하는 입에 달고 삽니다. 그래서 그런 말은 그냥 하는 말이려니 하고 넘기는 일이 많습니다. 그런데, 어렵다는 말이 찐일 때가 있습니다. 바로 학생의 선행과정이 중등과정에서 고등과정으로 넘어갈 때, 즉 고등수학(상)을 처음 공부할 때입니다. 수학(상)을 배울 때 어려워하는 이유 1. 내용이 양이 많아진다. 고등수학(상)은 고1 1학기 분량인데 3-1의 3배 정도로 양이 많습니다. 고등수학 (상) 목차 단순히 분량이 많은 것뿐만 아니라 중등 전 과정을 알고 있다는 전제하에 그 위에 개념이 추가되면서 내용이 심화되는 느낌입니다. 중등과정을 공부할 때 열심히 했더라도 중1,2,3의 전 과정이 한 과정에서 심화로 넘어가면서 새로운 내용이 추가되는 거니까 아무래도 어려울 수밖에 없습니다. 선행을 빨리 공부하고 싶은 마음이 있더라도, 중등과정을 탄탄하게 공부하지 않았다면, 특히 3-1을 잘 모른다면 좀 더 공부를 한 후에 수(상)을 배우라고
고등수학(상)을 처음 배우는 학생들이 꼭 알아야 하는 것 [내부링크]
이전 글에서 이어지는 내용입니다. 이전 글이 궁금하시면 글 맨 아래에 링크 넣어놓았으니 보고 오시면 됩니다. 고등수학(상)을 처음 공부하는 학생들은 어렵고 힘드니까 도망가고 싶어 합니다. 진도를 나가는 도중에 포기하고 중단하려고 합니다. 그런데, 언젠가는 해야 하잖아요. 예를 들어 선행을 좀 일찍 시작해서, 수(상)을 중1에 공부해도, 좀 늦게 시작해서 중3에 공부해도 다 어렵습니다. 언제 처음 만나도 어렵습니다. 어차피 언제 배워도 어려울 거라면 여러 번 반복할 여유가 있을 때 공부하는 게 낫고, 어차피 늦게 시작한 거라면 시간적 여유가 없으니 할 때 제대로 하는 게 낫습니다. 그런데, 우리 학생들은 이런 걸 모르니까, 그냥 어렵고 힘드니까 도망가려고만 하지요.^^ 그럼 어떻게 해야 할까요? 알려주면 됩니다. 고등 선행을 처음 공부하는 학생들이 중도 포기하지 않고 끝까지 공부하기 위해 알아야 할 것 - 수(상) 첫 수업 때 학생들에게 말해주는 내용입니다. 1. 고등수학(상)은 원
고등 선행을 효과적으로 공부하는 법-수학(상)을 처음 공부하는 경우 [내부링크]
이전 글에서 이어지는 글입니다. 이전 글이 궁금하시다면 글 맨 아래에 링크 넣어 놓았으니 보고 오시면 됩니다. 학생들이 고등수학(상) 공부를 열심히 하겠다는 의욕이 생겼다면, 공부를 잘, 효과적으로 할 수 있도록 해야겠지요. 고등 선행 효과적으로 공부하는 법, 알려드립니다~^^ 고등 선행 효과적으로 공부하는 법 1. 배우면 반드시 그날 따로 정리. 30분-1시간 - 처음 배우는 내용은 언제나 낯설고 어렵지요. 배울 때는 이해를 하다가도 금세 잊어버립니다. 돌아서면 까먹는 거지요. 그게 사실 당연한 거지만, 그래도 잊어버리면 안 되니까 이해를 하고 기억에 남기려면, 배운 후에 그날 복습을 하는 게 좋습니다. 많은 시간이 필요한 것도 아닙니다. 30분-1시간이면 충분합니다. 그날 배운 내용을 스스로 정리하는 개념노트를 작성해 보세요. 교재를 보고 정리를 하면서 이해도 하고 선생님이 설명한 내용을 떠올리면서 잘 정리를 하면, 배운 내용을 다시 공부하면서 재구성하게 됩니다. 훨씬 머릿속에
수학 성적이 오르기 위해 필요한 것 - 수학 실력이 빨리 늘지 않는 이유 [내부링크]
수학 공부를 많이 하지 않다가, 맘잡고 수학 공부를 열심히 하는 학생들은 성적이 잘 오르지 않는 경우가 많습니다 학생은 분명 열심히 공부하는데 아는 것도 많아지고 있는데 성적은 그대로인 경우 있지요. 왜 그럴까요? 수학 성적이 오르기 위해 필요한 것. 1. 시간 내에 문제 풀어내기. - 문제 푸는 속도 - 수학 공부를 많이 하지 않았던 학생들은 문제를 푸는 속도가 매우 느립니다. 문제를 많이 풀어보지 않아서, 수학 개념을 잘 모르니까, 개념을 알아도 문제에 활용할 줄 몰라서, 아니면 그냥 문제를 읽는데 시간이 많이 걸리기도 하지요. 여러 가지 이유로 느리니까 당연히 시간 내에 문제를 풀어내지 못합니다. 성적이 오르려면 최우선적으로 시간 내에 풀어내게끔 하는 게 가장 중요합니다. 일단 다 풀어야지 맞는 문제가 있는 거니까요. 아무리 아는 게 많아도 다 못 풀면 아무 소용이 없습니다. 2. 수학 개념을 이해하고 문제 유형 파악하기. - 수학적 지식 - 당연한 이야기지만 아는 게 있어야
중2 일차함수 그래프 기울기, 일차함수 그래프의 성질 [내부링크]
중2 일차함수 그래프의 기울기와 일차함수 그래프의 성질에 대하여 배워볼게요. 준비되었나요? 일차함수 그래프가 기울어진 정도를 기울기라고 합니다. 일차함수 y=2x-4의 그래프를 보면, 일차함수 그래프에서 x 증가량에 대한 y 증가량의 비율은 일정합니다. 이 일정한 비율을 일차함수 그래프의 기울기라고 합니다. 이 기울기는 y=ax+b에서 x의 계수 a입니다. 일차함수 그래프에서 기울기 구하기 예> y=2x+4의 기울기 1. 그래프에서 기울기 구하기 2. 두 좌표로 기울기 구하기 위 그림에서 A(-1, 2), B(0, 4)에서 x좌표의 차는 x 증가량, y좌표의 차는 y 증가량입니다. 기울기를 구하는 방법은 두 가지 모두 자유롭게 쓸 줄 알아야 합니다. 문제의 유형에 따라 편한 쪽으로 쓰는 것이 좋습니다. y=ax+b에서 기울기 a y=ax+b에서 기울기와 y 절편 일차함수 그래프의 성질을 배웠으니 정확한 이해를 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 일차함수 그래프의 기울기 구하기 2.
수학 성적이 오르는 단계 - 계단식 상승 [내부링크]
이전 글에서 이어지는 글입니다. 이전 글의 내용이 궁금하시면 보고 오셔도 됩니다. 글 아래에 링크 넣어놓았습니다. 이전 포스팅에서 수학 실력이 빨리 늘지 않는 이유에 대해 말씀드렸습니다. 그럼 수학 실력이 향상되고 성적이 오르는 방법은 무엇일까요? 수학 실력이 향상되기 위해 해야 하는 것. 1. 개념과 유형을 완벽하게 이해하기. - 아는 게 많아져야 하는 건 당연하겠지요. 2. 시간 내에 풀 수 있도록 시간을 재면서 문제 풀기. - 시간 내에 문제를 풀려면 시간을 재면서 연습을 많이 해야 합니다. 3. 많은 문제를 풀어보기. - 여러 유형의 문제를 많이 풀어보는 건, 개념을 문제에 활용해 보고 끝까지 답을 내보는 경험을 하는 데 가장 좋은 방법입니다. 4. 문제를 정확히 읽고 연산을 정확히 하도록 평소에 문제를 풀 때 신경 써서 습관으로 만들기. - 연산이 약하다면 따로 연산 교재를 하는 방법도 있지만, 그것보다는 하고 있는 교재를 풀 때 신경을 써서 풀면서. 개선해나가는 게 더
함수, 어렵지 않아요. 중2 일차함수 그래프의 평행, 일치 [내부링크]
중2 일차함수 그래프의 성질에서 기울기에 대하여 배웠으니 이제 일차함수 그래프의 평행과 일치에 대해 배워보겠습니다. 일차함수 그래프의 평행 평행 조건은 기울기가 같고, y 절편은 다르다는 것을 기억하세요!!! 일차함수 그래프의 일치 일치 조건은 기울기가 같고, y 절편이 같다, 또는 식이 같다고 기억하세요!!! 일차함수 그래프의 평행과 일치를 배웠으니 정확한 이해를 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 두 직선이 평행할 때, 좌표 구하기. 일차함수의 평행과 일치에 대해 알려드렸습니다. 알고 나면 참 쉽지요? 함수는 차근차근 함수의 언어를 이해하면 점점 수월해집니다. 매일매일 한 가지씩 배워서 알아가면 점점 함수가 쉬워질 거예요. 다음에도 쉬운 함수 개념을 가지고 오겠습니다.^^
은지쌤의 쉬운 함수, 중2 함수 - 일차함수의 식 구하기. [내부링크]
중2 일차 함수, 이제 본격적으로 들어가고 있습니다. 일차함수 그래프의 성질을 알아봤으니까 이제 일차함수의 식을 구해봐야지요. 일차함수 식 구하기. 이제 출발합니다~!!! 일차함수의 식 구하기. 1. 기울기와 y 절편이 주어질 때 2. 기울기와 한 좌표가 주어질 때 3. 두 좌표가 주어질 때 4. x 절편과 y 절편이 주어질 때 일차함수 식을 구하는 법은 이렇게 4가지입니다. 하나하나 차근차근 알려드릴게요. 1. 기울기와 y 절편이 주어질 때 일차함수 식은 y=ax+b의 형태입니다. a는 기울기, b는 y 절편입니다. 예> 기울기가 3, y 절편이 -1인 일차함수의 식은, a=3, b=-1이므로 일차함수의 식은 y=3x-1 간단하지요? 2. 기울기와 한 좌표가 주어질 때 예> 일차함수의 그래프가 기울기가 2이고 좌표 (-1, 4)를 지난다고 할 때, y=ax+b에서 기울기 a=2이므로 y=2x+b에서 한 좌표 (-1, 4)를 지나니까 좌표 (-1, 4)를 대입합니다. 4=-2+b
중2 일차함수 활용, 어렵지 않아요 - 문제 유형 5문항 [내부링크]
이제까지 일차함수 그래프에 대해서 배웠습니다. 이제 일차함수의 활용을 배워볼게요. 일차함수 활용 문제 푸는 방법 1. 변화하는 양을 변수 x, y로 설정한다. 2. x와 y의 관계식을 y=ax+b의 형태로 식을 세운다. 3. 문제에서 구해야 하는 값을 보고 구한다. 4. 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다. 내용을 보면 별 건 아닌 것 같은데, 감은 오지 않지요? 일차함수 활용 문제는 유형별로 문제를 풀어보고 문제를 푸는 방법을 배우는 게 좋습니다. 그럼 문제를 풀어볼까요? 1. 가열해서 온도가 일정하게 올라가는 일차함수 활용 2. 용수철저울 문제 3. 일차함수 활용 도형 문제 4. 양초 길이 문제, 그래프가 나온 일차함수 활용 일차함수 활용 문제에서 그래프가 나오면, 무조건 일차함수 식부터 구한다. x, y가 의미하는 것 확인한다. 문제에서 구해야 하는 것을 확인하고 구한다. 일차함수 활용 문제 유형을 풀어봤습니다. 다양한 유형이 있지만 비슷합니다. 별로 어렵지 않습니다. 함
중2 일차함수와 일차방정식 관계 - 2문항 [내부링크]
중2 일차함수 개념 설명이 거의 마지막을 향해 가고 있습니다. 중2 일차 함수와 일차방정식의 관계만 하면 일차함수가 끝납니다. 이렇게 매일 조금씩 쌓은 게 모여서 수학 실력이 되는 거니까 지금까지 잘 따라오면서 공부하신 여러분의 수학 실력은 쑥쑥 자라고 있을 거예요. 일차함수의 마지막 단원, 일차함수와 일차방정식의 관계, 이제 들어갑니다~^^ 일차방정식의 그래프 미지수가 두 개인 일차방정식의 해의 순서쌍 (x, y)를 좌표평면 위에 나타낸 것. 감이 안 오지요? 직선의 방정식 간단히 말하면, 일차방정식은 이런 식입니다. 당연히, 그래프를 그리면 직선입니다. ax+by+c=0를 직선의 방정식이라고 합니다. x=m, y=n의 그래프 1. x=m 그래프의 특징이 직선 위의 좌표들이 y 값은 달라지는데 x 값은 다 4입니다. x=4의 그래프입니다. 문제에 나오는 x=4의 그래프를 의미하는 여러 가지 표현이 있습니다. x축에 수직이고 (4, 5)를 지나는 직선 y 축에 평행하고 (4,
함수의 기초, 좌표의 대칭이동 [내부링크]
오늘은 좌표의 대칭이동에 대해 배워볼까요? 좌표평면 위에 x축과 y 축이, 원점이 있고, 좌표 축을 중심으로 사분면이 나누어집니다. 1-1 과정의 대칭이동은, x축 대칭이동 y 축 대칭이동 원점 대칭이동 이렇게 세 가지 대칭이동이 나옵니다. x축, y 축 대칭이동은 x축, y 축을 중심으로 접었을 때 같은 위치에 있게끔 이동시키는 것이고, 원점 대칭은 원점을 중심으로 같은 위치에 있게끔 이동시키는 겁니다. 좌표평면 위의 한 좌표 A(2, 4)를 대칭이동을 해 볼까요? x축 대칭이동을 하면, x좌표는 그대로, y좌표만 부호가 바뀝니다. y 축 대칭이동을 하면, y좌표는 그대로 x좌표의 부호만 바뀝니다. 원점 대칭이동을 하면, x좌표, y좌표 모두 부호가 바뀝니다. 정리해 보면, 이렇게 부호가 바뀐다는 것을 알 수 있어요. 좌표의 대칭이동에서는 요것만 기억하면 됩니다. 참, 쉽지요? 중학교 1학년에 배우는 대칭이동이, 함수가 나오는 내내 나옵니다. 한 번 배워서 중등, 고등 때 계속 알
앞으로의 블로그 포스팅의 계획을 알려드립니다. [내부링크]
안녕하세요. 은지쌤입니다. 제 블로그를 찾아주시는 분들께, 앞으로 올릴 글의 내용과 방향을 알려드리는 게 글을 보시고 공부하는 데 도움이 될 것 같아서 앞으로의 포스팅 계획을 대략 알려드리겠습니다. 1. 함수의 모든 것 - 함수를 어려워하는 학생들을 위해 중1-1의 함수의 개념부터 학년을 따라가면서 확장하는 내용입니다. 중1-1 정비례와 반비례, 중2-1 일차 함수, 중3-1 이차함수, 고등수학(상) 이차방정식과 이차함수, 직선의 방정식, 고등수학(하) 유리함수까지 연결할 예정입니다. 중등과정이 어떻게 차곡차곡 연계가 되는지 알려드리고 꼭 알아야 하는 개념 위주로 포스팅할 예정입니다. 우선은 개념 위주로 진행하고, 필요하다면 간간이 문제 풀이를 병행할 예정입니다. 함수가 어려운 학생들은 학년별로 거슬러가서 앞 부분부터 공부하면 도움이 될 거라 생각합니다. 2. 시험에 잘 나오는 문제 유형 - 내신 기간에는 시험에 꼭 나오는 문제 유형을 문제 풀이로 포스팅할 예정입니다. 내신 때 알아
함수가 어려운 학생들을 위한 함수의 기초, 정비례와 반비례 [내부링크]
오늘도 함수의 기초를 함께 할 건데요. 중1 학생들이 함수에서 처음 만나는 그래프를 배워볼 겁니다. 준비되었나요? 정비례 두 변수 x, y에서 x 값이 2배, 3배, 4배... 가 될 때, y 값도 2배, 3배, 4배...의 관계에 있을 때 y는 x에 정비례한다고 한다. - 정비례 그래프 y=ax 함수의 그래프는 아래 그림처럼 x, y좌표를 구해서 좌표평면에 좌표의 위치를 잡아서 그려주면 됩니다. 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선의 형태가 됩니다. 그래프를 보면 특징이 있지요? 정비례 그래프에서는 정비례의 개념과 그래프의 형태만 알고 있으면 됩니다. 처음이니까 표를 만들어서 그래프를 그렸지만, 정비례 그래프가 원점을 지나는 직선의 형태가 된다는 것을 배웠으니, 원점과 한 좌표만 위치를 잡고 연결해 주면 됩니다. 반비례 - x 값이 2배, 3배, 4배... 가 될 때, y 값은 1/2배, 1/3배, 1/4배...의 관계에 있을 때, y는 x에 반비례한다고 한다. - 반비례 그래프 y
학교 시험이 끝난 후 꼭 해야 하는 것 - 스스로 점검하고 발전하는 계기로 만들기 [내부링크]
시험이 끝난 후, 학생들은 뭘 할까요? 시험이 끝나기도 전에, 미리 친구들과 놀러 갈 약속을 잡기 바쁘지요. 시험 끝난 날, 학생들은 시험 성적이야 어떻든 간에 일단 신나서 놀러 갑니다. 공부를 열심히 해서 시험을 잘 본 학생들은 그러려니 해도, 공부도 열심히 하지 않아서 부모님 속을 많이 썩였던 학생들은 뭘 했다고 그렇게 신나게 노는지. 놀 때는 공부 안 한 학생들이 더 신이 나지요. "넌 공부도 열심히 안 해놓고 뭘 했다고 놀아?" 부모님이 아이들한테 이렇게 소리라도 치면, 학생들은 공부를 나름 하려고 스트레스를 많이 받았으니 스트레스를 풀어야 한다고 그럴듯한 논리를 폅니다. 그리고 하루, 이틀, 일주일, 열흘을 내내 놀지요. 그러다 보면, 다음 내신을 준비할 때가 또 오게 됩니다. 시간은 참 잘 가니까요. 이렇게 놀면서 시간을 그냥 보내도 될까요? 학년에 따라 시간의 값어치가 다르게 느껴지긴 하지만, 공부는 너무 오래 멈춰있으면 좋지 않지요. 금세 다시 공부를 잡고 이어가야지
일차함수의 뜻과 함숫값. 중2-1 [내부링크]
함수의 모든 것, 이제 중1-1에서 중2-1로 올라갑니다 중학교 2학년에서는 일차함수가 나옵니다. 중1에서 정비례라고 배우던 게 일차함수라는 걸 알게 되는 거지요. 함수의 정의 기억하나요? 변수 x, y 값에 대하여 x 값에 y 값이 오로지 하나의 값으로 결정되는 관계. x 값 하나에 y 값이 하나!!! 그럼 일차함수는 뭘까요? y=(x에 관한 일차식) x, y의 함수 중에서 x에 대한 일차식으로 된 것만 일차함수라고 합니다. 일차함수가 되기 위한 조건 중1-1에서 배운 정비례는 y=ax의 식이지요. 일차함수 중 b=0인 것이니, 정비례는 일차함수입니다. 함수의 표현과 함숫값 x 값에 대해 정해지는 y 값을 함숫값이라 하고, 함수의 표현은, y=f(x) - f(3)=5는 x=3일 때 y=5라는 뜻입니다. 예> y=2x+3에서 f(2)는 x=2일 때의 함숫값이므로, x=2를 식에 대입하면 y=7, f(2)=7 정확히 이해하기 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 함수를 고르는 문제 개념
중2 일차함수 그래프의 평행이동, x 절편, y 절편 [내부링크]
오늘은 중2 일차함수 두 번째입니다. 드디어 일차함수 그래프를 배워볼 건데요. 이번 내용은 일차함수 그래프의 평행이동, 그리고 일차함수에서 새로 등장하는 용어, x 절편, y 절편, 기울기에 대해 알려드릴게요. 준비되었나요? 중1-1에서 정비례 그래프를 배웠지요? 일차함수 개념을 배울 때 정비례가 일차함수라는 것을 알려드렸어요. 먼저 우리가 알고 있는 정비례 그래프부터 그려볼게요. 일차함수 그래프의 평행이동 그림에서 보면 y 축의 방향으로 +2만큼 위로 올라간 게 보이지요? 이렇게 이동한 걸 y 축 방향으로 평행이동했다고 합니다. 위 그림에서는 y 축 방향으로 +2만큼 평행이동한 것이지요. y 축 평행이동을 하면 그래프가 y 축의 방향으로 위아래로 움직이게 됩니다. 그림에서는 y=x의 그래프를 y 축 방향으로 +2만큼 평행이동해서 y=x+2의 그래프가 되었습니다. 일차함수 y=ax+b의 그래프는 y=ax의 그래프를 y 축 방향으로 b 만큼 평행이동한 것입니다. y 축 평행이동한 일
학교 시험을 코앞에 둔 학생들에게 꼭 해주고 싶은 말 [내부링크]
대부분 중학교의 중간고사가 코앞으로 다가왔습니다. 지금까지 생각 없이 설렁설렁 지내던 학생들도 시험이 코앞이니 마음이 급해져서 밀린 공부를 하느라고 바빠졌을 겁니다. 그동안 착실히 공부해놓은 학생들도 막판에 꼼꼼하게 마무리하느라고 정신이 없을 때입니다. 이럴 때, 잘 마무리하는 게 중요할 텐데요. 이런 때에 어떤 말을 해줘야 학생들한테 힘을 주고, 도와줄 수 있을까 생각하게 됩니다. 이 시기의 학생들을 보면, 마음이 급하다 보니 뭐든 급하게 서두르다가 중요한 것을 놓치기도 하고, 해야 할 것이 많다 보니 우왕좌왕하다가 뭐 하나 제대로 못 하고 이도 저도 아니게 한 가지도 완성도 있게 하지 못하기도 하더군요. 오늘도 한 학생에게 이런 말을 했습니다. 잠깐만, 좀 차분하게 해. 맘이 급해서 서두르니까 오히려 자꾸 틀리잖아. 조금 차분하게 마음 가라앉히고 하는 게 나아. 차분하게 집중해서 한 번에 정확하게 풀어. 지금 이 시점에 학생들에게 해줄 수 있는 말 중 가장 도움이 되는 말은, 서
중학교 공식 고3까지 가져간다. 중학교 도형 파트 수학공식 정리 [내부링크]
중학생 때 배우는 공식 중 고3 때까지 나오는 공식 정리 들어갑니다. 고등과정에서 중등과정에서 확장되어 배우는 공식과 고등과정을 배운 후 잘 쓰지 않는 공식을 제외했습니다. 중등과정에서 배우고 나서 고등과정에서 문제에 자주 등장하지만 학생들이 잘 잊어버리는 공식을 다뤄봤습니다. -1-2 부채꼴 넓이 공식 구 부피, 겉넓이 공식 - 2-2 직각삼각형 닮음 공식 공식으로 적어놓았지만, 그림으로 외우는 게 훨씬 기억하기가 쉽습니다. 그림을 그려서 넣었는데 잘 그렸나요? 피타고라스 정리를 배우면 직각삼각형 닮음과 같이 활용합니다. 피타는 아무래도 제곱이 나오니까 계산이 복잡해질 수 있어서 계산이 쉬운 쪽으로 선택해서 사용합니다. 직각삼각형 넓이 공식 초등 때부터 나오는 삼각형 넓이 공식입니다. 이것도 그림으로 기억하는 게 쉽습니다. 내각의 이등분선 공식 외각의 이등분선 공식 내각의 이등분선과, 외각의 이등분선도 그림으로 기억하는 게 쉽습니다. - 3-2 삼각비를 활용한 삼각형 넓이 공식 삼
함수가 어려운가요? 함수의 기초, 함수란 무엇인가? 1-1 [내부링크]
많은 학생들이 수학을 어려워합니다. 학생들한테 가장 어려운 단원이 어딘지 물어보면, 거의 다 함수가 어렵다고 하더군요. 생각해 보면 학생들이 함수를 처음 배울 때는 중학교 1학년인데, 용어부터 어려워하는 것 같습니다. 그리고 그 이후 학년이 올라가면서 계속 개념이 확장되면서 배우게 되니까 한 번 제대로 알지 못하면 계속 어려울 수 밖에 없겠지요? 그래서 준비했습니다. 함수의 기본부터 차근차근 배워서, 학년을 올라가면서 확장해 보겠습니다. 차근차근 밟아서 함수를 함께 정복해 보자고요. 1-1 정비례와 반비례 - 중1에서 함수를 처음 배울 때는 정비례와 반비례로 배웁니다. 함수의 개념 - 두 변수 x, y에 대하여 x 값이 정해짐에 따라 y 값이 하나로 정해지는 관계가 있을 때, y를 x의 함수라고 한다. 중학교 과정에서는 함수의 정의가 이렇게 되어 있습니다. 잘 못 알아듣겠지요? 여기서 중요한 건 변수입니다. 변수는 변하는 수라는 의미입니다. 변수 x, y라는 뜻은 x 값과 y 값이
[책리뷰]알고 나면 꼭 써먹고 싶어지는 역사 잡학 사전 B급 세계사-서프라이즈 같은 책 [내부링크]
언제나 B급 또는 마이너라는 이름이 붙으면 재미가 있는 것 같다. 표면적으로 알려져 있는 것과 다른 면을...
네이버 블로그
티스토리
커뮤니티