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20-2. Systems of ODEs_Nonhomogeneous linear systems of ODEs [내부링크]
Nonhomogeneous linear systems of ODEs 예제를 풀어보자. 미정계수법을 활용하여 아래 system의 general solution을 구하라. 같은 문제를 method of variation of parameter를 이용하여 풀어보자. u를 적분하고 거기에 Y를 곱해주면 최종적으로 particular solution을 구할 수 있다.
[CH. 8] Laminar Internal Flows : Heat Transfer (3) [내부링크]
Pr#의 크기에 따라 momentum, themal boundary layer의 두께는 어떻게 될까? Pr#이 1인 경우 momentum BL δ와 thermal BL δt는 같다. Pr#이 1보다 크면, δ가 δt보다 두껍다. (=벽면의 momentum이 더 잘 전달된다.) Pr#이 1보다 작으면, δt가 δ보다 두껍다. (=벽면의 temperature가 더 잘 전달된다.) 벽면의 온도가 일정할 때 themal developing 되고 있는 flow에 대해 생각해보자. 먼저 Govern equation은 아래와 같다. 이 식의 해를 구하기 위해 온도, 속도, 거리 등에 대해 아래와 같이 무차원수를 정의해보자. 무차원수를 Govern equation에 넣고 정리하면 아래의 식을 얻는다. Re#와 Pr#의 곱이 크면 가장 우측의 항을 무시할 수 있다. 또한 Hydrodynamically fully developed 되었다면 아래의 속도식을 적용할 수 있다. 해는 아래의 형태를 가질것이
18-3. Matrix eigenvalue problems_Eigenbases and diagonalization [내부링크]
이제 diagonalization에 대해서 알아보자. 어떠한 행렬 A에 대해 서로 다른 eigenvalue에 해당하는 eigenvector들은 선형 독립이다. 만약 어떠한 n x n 행렬이 n개의 서로 다른 eigenvalue를 갖고 있다면, 그에 해당하는 n개의 eigenvector들은 모두가 선형 독립이며, 이 벡터들고 basis를 구성할 수 있다. 이것을 eigenbasis라고 한다. eigenbasisd의 편리함에 대해 알아보자. 임의의 벡터 x를 eigenbasis로 분해가 가능할 때 위와 같이 x에 어떠한 변환(행렬 A를 곱하는)을 eigenvalue를 통해 쉽게 구할 수 있다. 예제를 풀어보자. 예제) 아래 행렬의 eigenbasis를 구하라. 벡터 x1과 x2가 선형 독립임을 알 수 있으며, eigenbasis를 구성하는 것을 알 수 있다. similar matrix의 정의에 대해 알아보자. 어떠한 행렬과, 그 행렬을 similar transformation한 행렬을
19-1. Higher-order linear ODEs_Homogeneous linear ODEs [내부링크]
이제 3차 이상(Higher order)의 선형 미분방정식에 대해 다뤄보자. 먼저 homogeneous 선형 미분방정식에 대해 배워보자. n차의 선형 미분 방정식이 있다면 그 형태는 아래와 같다. 만약 r(x)가 항상 0이라면 homogeneous equation이고, 아니라면 nonhomogeneous equation이다. 이 방정식의 해는 n개의 해가 있는데 이 해들의 선형 중첩된 것(linear superposition)은 모든 해를 다 포함한다. 즉, 아래와 같다. 선형 독립과 Wronskian은 매우 밀접한 관계를 가진다. n차의 Wronskian은 아래와 같다. Wronskian이 미분방정식이 정의된 구간내에서 한 점이라도 0이 아니라면 Wronskian에 포함된 모든 해들은 선형독립이다. 2차 미분방정식을 풀었을 때 배웠던 것들을 활용하여 아래의 4차 미분방정식을 풀 수 있는지 확인해보자. 또한 구한 해들이 선형 독립인지 아닌지도 확인해보자. n차의 미분방정식을 풀기 위
19-2. Higher-order linear ODEs_Homogeneous linear ODE with constant coefficients [내부링크]
이버에는 계수가 모두 상수인 homogeneous linear ODE에 대해서 알아보자. y=eλx를 대입해서 characteristic equation을 만들어서 풀어보면, 아래와 같으며 4가지의 case가 나오며, 해는 아래의 형태와 같다. 예제를 풀어보자.
19-3. Higher-order linear ODEs_Nonhomogeneous linear ODE [내부링크]
이제 nonhomogeneous linear ODE에 대해 알아보자. 계수가 상수인 nonhomogeneous linear ODE의 형태와 그 일반해는 아래와 같다. 미정계수법은 r(x)의 형태에 따라 yp(x)의 형태를 추정하여 대입해서 푸는 방법이다. r(x)의 형태에 따른 해의 형태는 아래와 같다. 예제를 풀어보자. homogeneous solution과 r(x) (forcing term)의 함수의 형태가 같으므로 yp의 형태가 위의 테이블에 나온 형태라고 할 수 없다. 왜냐하면 yh가 이미 그 형태를 포함하고 있기 때문이다. 이런 경우에는 modification rule을 사용해야 한다. modification rule은 yh의 형태에 포함이 되지 않을 때까지 x를 곱하는 것이다. 따라서, 만약 r(x)가 미정계수법을 쓸 수 있을 정도로 간단히 표현되어 있지 않을 때에는 method of variation of marameter를 사용해야 한다. 좀 복잡해보이는데, 예제를 통
20-1. Systems of ODEs_System of linear ODEs [내부링크]
먼저 선형 미분방정식의 연립방정식의 예를 보자. Two water tanks contains 100 liters of water each, but only one of them also contains 2kg of salt. Suppose the two tanks are connected with two pipes and the water is circulated at the rate of 1 liter per second and well-mixed instantly, find concentration of each tank as a function of time. 소금이 포함된 물탱크의 소금의 양을 y1, 반대쪽 탱크의 소금의 양을 y2라고 하자. 물이 1초에 1리터씩 이동하며, 전체양의 100리터 이므로 y1과 y2의 변화는 아래와 같다. 이것을 행렬으로 나타내면, 지난번에 배웠던 eigenvalue problem이 되었다. 이 방정식이 nontrivial solution을 가지
17-2. Vector spaces_Inner product spaces [내부링크]
지금까지 벡터의 개념을 확정한 Vector spaces에 대해 알아봤다. 이번에는 Inner product (내적)에 대해 알아보자. 내적은 어떤 vector spaces에서 무작위로 두개의 벡터를 선택해서 했을 때 그 두개의 벡터에 해당하는 숫자가 어떤 규칙내에서 지정이 되는 것을 내적이라고 한다. 어떠한 규칙을 따라야 하는지 살펴보자. 첫 번째는 내적은 linear operation이라는 뜻이다. 두 번째는 내적에서 두개 원소의 순서는 중요하지 않다. 세 번째는 자기자신과의 내적은 0보다 작지 않다. 네 번째는 자기자신과의 내적이 0일 경우에는 0벡터인 경우에만 해당한다. 아래의 예제를 풀어보자. f와 g를 일반화된 식으로 표현하고 적분해보자. 함수로 시작했지만, 결국 계수들의 관계로 충분히 표현이 되는 것을 알 수 있다. inner product가 만족해야 하는 조건들을 만족하는지 확인해보자. 이전에 본 첫번째 조건을 만족하는 것을 확인하였다. 나머지 조건도 대입해보면 만족하는
17-3. Vector spaces_Linear transformations [내부링크]
선형 변환(Linear transformation)에 대해 알아보자. X와 Y라는 벡터 스페이스가 2개 있다고 하자. 각각의 스페이스에 속한 벡터를 x, y라고 하자. 벡터 x를 벡터 y로 하나씩 지정(맵핑)을 하는 변환 F가 존재할 때 아래의 조건을 만족하면 이 변환은 선형이라고 한다. 예제를 풀어보자. m x n 행렬이 n차원 실수공간에서 m차원 실수 공간으로 가는 선형 변환임을 보여라. 이때 X와 Y의 원소 x, y에 대해 x는 원소를 n개 가진 열벡터로 표시할 수 있고 y는 원소를 m개 가진 열벡터로 표시할 수 있다. 그려면 m x n 행렬 A를 이용해서 아래와 같이 표시할 수 있다. 즉, 행렬 A는 변환이다. 행렬곱의 성질에 의해 위의 선형변환 조건이 만족하는 것을 알 수 있으므로 이것은 선형 변환이다. 특히 정사각 행렬의 경우에는 역변환도 존재한다. 아래의 역변환을 찾아보자. (역행렬을 찾으면 된다.) 역행렬의 공식을 적용해서 구해본 것이다. 출처 : https://ter
18-1. Matrix eigenvalue problems_Eigenvalues and eigenvectors [내부링크]
어떠한 행렬의 chracteristic value는 무엇일까? A가 n x n 행렬이라면 x는 n x 1 열벡터가 된다. A에 x를 곱한 값도 n x 1 열벡터가 될텐데 이것이 x에 어떤 상수를 곱한 값일 때 이 상수를 Eigenvalue라고 하고, x를 Eigenvector라고 한다. 이것을 어디에 쓸지 알아보기 전에 어떻게 구하는지를 예제를 통해 먼저 알아보자. 이것이 nontrivial한 해를 가지기 위해서는 determinant가 0이어야 한다. 따라서 위에서 보이듯이 eigenvector는 하나로 딱 결정되는 것은 아니고 상수배까지 결정된다. 결과가 맞는지 대입해서 확인해보자. 위에 정의한 것을 만족하는 것을 확인할 수 있다. Characteristic eqaution eigenvalue를 한번 더 구해보자. 이처럼 eigenvalue가 중근일 경우, eigenvector에 대해 하나의 식만 나오고 나머지 하나는 free parameter로 정의될 수 있다.
[CH. 8] Laminar Internal Flows : Heat Transfer (2) [내부링크]
지난번에 이어 이번에는 벽면의 온도가 일정한 경우에 대해 Govern equation을 풀어보자. 먼저 Govern equation을 다시 써보면, 벽면의 온도가 일정하므로 식 ①에 대입하여 정리하면 아래와 같다. 이것을 Govern equation에 대입하고, 아래의 Boudary condition을 적용해보자. Hydrodynamically Fully developed 되어있다고 가정하면, 이전에 구한 u를 대입할 수 있다. 이식을 infinite series solution으로 풀면, 이를 통해 Nu를 구해보면, 이전에 구했던 Heat flux가 일정할 때의 Nu 보다 Ts가 일정할 때의 Nu가 더 작다는 것을 알 수 있다. 즉, 벽면에서의 열전달은 Heat flux가 일정할 때가 더 크다. (아래 그림에서 Temp. profile의 기울기가 더 큼) Fully developed temp. profile for constant heat rate and constant surfa
18-2. Matrix eigenvalue problems_Symmetric, skew-symmetric and orthogonal matrices [내부링크]
행렬의 성분이 모두 실수인 경우에 대해 symmetric, skew-symmetric, orthogonal 행렬이 어떤 것인지 알아보자. 아래의 예제를 풀면서 이러한 행렬들의 특징에 대해 알아보자. 예제) orthogonal 행렬의 판별식(determinant)이 1 또는 -1임을 보여라. 예제) 실수 사각행렬은 항상 symmetric 행렬과 skew-symmetric 행렬의 합으로 표현할 수 있음을 보여라. 위의 두 행렬을 더해보자. orthogonal transformation은 두 개의 벡터 사이의 내적이 변환을 한 후에도 보존이 되는 특징을 가지고 있다. 어떤 real square 행렬 A에 대해 orthogonal transformation한 결과를 각각 u와 v라고 하면, 이러한 성질에 의해 norm도 보존이 된다.
[CH. 7] Laminar Internal Flows : Momentum Transfer [내부링크]
CH6은 Tubulent flow 관련된 내용으로 skip. 이제 external이 아닌 Internal laminar flow에 대해 알아보자. 가장 간단한 형태인 Fully developed laminar flow in circular tube / steady state에 대해 알아보겠다. circular tube는 축에 대해 대칭이므로 가장 간단한 형태로 해를 구할 수 있다. CH4에서 구했던 식을 가져와보면 아래와 같다. Fully developed (FD) 된 이후에는 x방향으로의 속도 변화가 없고, tube 표면에서의 suction과 blowing이 없다고 하면 vr이 0이 되므로 좌변이 모두 0이 된다. 따라서 위의 식은 좌변과 우변은 각각 x에 대한 함수와 r에 대한 함수로 독립이다. 따라서 적분을 하고 Boundary condition을 대입하여 적분상수를 구한다. Boundary condition은 아래와 같다. FD이므로 속도는 일정하며, 관 표면에서의 속도는 0
16-1. Solution of linear systems_Existence and uniqueness / Homogeneous linear system [내부링크]
아래와 같은 linear system을 생각해보자. 이러한 시스템의 해가 존재하기 위해서는 어떠한 조건이 필요할까? 위의 행렬식을 열벡터를 이용해서 표현해보자. aug. matrix는 coeff. matrix에서 열벡터가 하나 추가되었으므로 aug. matrix의 rank는 coeff. matrix의 rank와 같거나 1만큼 쿨 수 밖에 없다. 만약, 이 선형시스템의 해가 존재한다면 rank가 같다. 만약, rank가 같다면, 해가 존재한다. 즉, 해가 존재하기 위해서는 coeff. matrix의 rank와 aug. matrix의 rank가 같아야 한다. 그렇다면 그 해는 유일할까? 두 행렬의 rank가 n으로 서로 같고, 해가 x1 , ... , xn 그리고 y1, ... , yn 이렇게 두개 있다고 해보자. 해가 두개 있다면 두개가 서로 같으니 결국 해는 하나밖에 없다라는 것이 된다. 만약 두 행렬의 rank가 n보다 작다면 어떻게 될까? 만약 두 행렬의 rank가 n보다 작다면
[CH. 8] Laminar Internal Flows : Heat Transfer (1) [내부링크]
이번에는 laminar internal flow에서 heat transfer에 대해 생각해보자. 계산의 편의성 및 실제 적용되는 사례를 고려하여 몇가지 가정을 한다. circular duct constant fluid properties negligible body force negligible flow-direction-pressure gradient no mass concentration gradient, no source ideal gas CH4에서 나왔던 식을 다시 써보면, 여기에서 소거되는 항목들을 생각해보면 아래와 같고, 이를 식에 대입하여 정리해보면 여기에서 좌변은 convection term이고, 우변은 diffusion(conduction) term 이다. 이제 Hydro Dynamically(HD)하게 Fully Developed(FD) 되어 있고 Thermal 하게도 Fully Developed된 경우에 대해 생각해보자. 이전에 모멘텀 equation을 통해 얻어
16-2. Solution of linear systems_Determinants / Inverse of a matrix [내부링크]
Determinants Determinant의 정의와 Carmer's rule에 대해 알아보자. 3 x 3 행렬의 determinant는 어떻게 구할까? Inverse of a matrix 역행렬이랑 정사각행렬에 대해서만 다룰 수 가 있다. 왜냐하면 두개의 자리를 바꿔가면서도 곱할 수 있어야 하기 때문이다. 역행렬이 존재하기 위해서는 n x n 행렬의 rank가 n과 같아야 한다. 반대로 rank가 n과 같다면 역행렬이 존재한다. 이를 증명해보자. 역행렬을 구해보자. (using Gauss-Jordan elimination) A행렬의 우측에 항등행렬 I를 붙여서 augmented matrix를 만든 후 Gauss-Jordan elimination을 해본다. 이를 통해 원래 행렬을 항등행렬의 형태로 만들어본다. 먼저 A를 상삼각행렬의 형태가 되도록 GJ elimination을 하고 이후에 주대각성분이 1이 되도록 상수를 곱해준뒤 아래에서 위로 올라가면서 GJ elimination을 통
17-1. Vector spaces [내부링크]
Vector spaces 첫번째 성질은 교환법칙이다. 두번째는 결합법칙이며 세번째는 항등원이 존재한다는 것이고, 네번째는 역원이 존재한다는 것이다. 이어서 scalar multiplication을 살펴보면, Linear independence an basis n+1개의 벡터 a(i)와 n+1개의 스칼라 ci가 주어졌을 때 아래를 만족하는 해가 ci가 모두 0인 것만 존재할 때 벡터 a(i)들은 linearly independent 하다. 이 벡터들을 모아 놓은 것을 basis라고 하며 해당되는 벡터 space의 모든 벡터들은 basis의 선형 조합으로 표현할 수가 있다. 예제를 보면서 살펴보자. ex) Find a basis for the vector space of all 3 x 3 skew-symmetrix matrixes. 먼저 skew-symmetrix matrix의 정의는 아래와 같다. 이제 문제를 풀어보자. basis는 독립적인 원소의 갯수 3개와 마찬가지로 3개의 벡터로
15-1. Introduction to linear algebra: matrices, vectors and linear systems_Matrices and vectors [내부링크]
이제 선형대수학(linear algebra)에 대해 배워보자. 아래에 대한 내용을 배울것이다. Matrixes Vectors Gauss elimination Rank of a matix Linear independence of vectors Matrix and Vector 행렬(Matrix)은 개개의 숫자나 함수들을 사각의 array로 연결한 것이다. 행렬 안에 들어있는 개별적인 요소들을 entry라고 한다. 위의 행렬은 m개의 행이 있고 n개의 열이 있다. 이러한 행렬을 m x n matrix라고 한다. 여기에서 m x n 은 행렬의 크기 또는 사이즈라고 한다. 특히 m=n일때 이 행렬을 정사각행렬(square matrix)라고 하고 a11, a22, ... , ann 을 main diagonal이라고 한다. 그리고 행으로 이루어진 각각의 행들을 row vector라고 하고 열로 이루어진 각각의 열들을 column vector라고 한다. 벡터 내부의 각각의 요소들은 componen
[CH. 5] Integral Equation of boundary layer (3) [내부링크]
지난번에 Govern eqaution을 모두 적분하는 첫번째 방법으로 적분해를 찾아보기로 했고, 이를 통해 최종적으로 얻어냈던 식은 아래와 같다. 이제 u와 T에 대해 적절한 가정을 해보자. 적절하다는 것은 Boundary condition을 만족해야 함을 의미한다. 먼저 u의 BC를 살펴보면, 아래와 같이 정리할 수 있다. 이제 u를 u∞로 나누어만든 무차원수를 y를 δ로 나눈 무차원수의 함수로 표현할 수 있다. 3차식까지를 포함하도록 하면 형태는 아래와 같으며, 위의 BC를 만족하게 만드는 a1~a4의 값은 아래와 같다. 위의 식을 가장 처음식에 대입하여 풀면 δ에 관한 식을 얻는다. 적분에 의한 방법과 exact한 방법이 꽤 정확한 것을 확인할 수 있다. 이제 T profile을 가정해보자. 먼저 BC를 정의하면 아래와 같다. 위의 식을 T에 대해 정리하고 이를 가장 처음의 두번째 식에 대입한다. 그러면 최종적으로 아래의 식을 얻는다. exact solution과 결과가 같다.
15-2. Introduction to linear algebra: matrices, vectors and linear systems_Gauss elimination [내부링크]
이제 연립방정식을 풀면서 행렬을 써보자. 이때 가장 중요하게 사용하는 방법인 Gauss elimination에 대해 알아보자. 위의 linear system은 미지수 n개이고, 방정식은 m개이다. 미지수의 앞에 붙은 계수를 모아놓은 행렬을 coefficient matrix라고 한다. 그리고 이 행렬에 위의 식의 우변에 있는 b열 (b1, b2, ..., bm)을 붙여놓은 행렬을 augmented matrix라고 한다. augmented matrix가 주어진다면, linear system이 완전히 정의된 것이다. Row-equivalent Interchage of two rows (두 행을 교환하는 경우) Multiplication of a row by a nonzero constant (행에 0이 아닌 상수를 곱해주는 경우) Addition of a constant multiple of one row to another (한행에 상수를 곱하고 다른행에 더하는 경우) 위와 같은 경우에
15-3. Introduction to linear algebra_Linear independence of vectors and rank of a matrix [내부링크]
Rank란 행렬을 row echelon form으로 표현했을 때 coefficient가 전부 0이 아닌 행들의 갯수를 의미한다. Rank의 개념에 대해 좀 더 살펴보기 이전에 먼저 벡터의 선형 독립에 대해 알아보자. 벡터들이 선형 독립이기 위해 필요한 조건은 아래와 같다. 만약 c1이 0이 아닌 경우를 생각해보자. 위와 같이 a(0) 벡터가 나머지 벡터들의 linear combination으로 표현이 되었기 때문에 이것은 나머지 벡터들과 독립이 아니다. 즉 depenent 하다는 것이다. 다시 Rank의 의미로 돌아가면, Rank는 행렬의 각각의 행을 행벡터로 봤을 때 그 행벡터들 사이에 linear independent한 벡터들의 갯수이다. Gauss elimination을 통해 row echelon form으로 만들었을 때 dependent한 (=다른 행으로 표현될 수 있는) 행들은 모두 0으로 표현이 되기 때문이다. 예제를 통해서 확인해보자. 아래의 벡터들은 선형 독립인지 확인
[CH. 5] Integral Equation of boundary layer (4) [내부링크]
Boundary Layer(BL)에 대해 생각을 해보자. 일반적으로 BL은 u/u∞=0.99 인 지점까지로 생각을 한다. 이때 0.99는 사실 사용하는 사람이 임의로 정하는 것이라, 객곽성이 약간 결여되어 있다고 할 수 있다. 좀 더 정량화된 개념인 displacement thickness와 momentum thickness에 대해 정의를 해보자. 평판에서의 유동에 대해 생각을 해보면, 평판이 없을 때에는 u∞의 uniform한 flow로 움직이고 있을 것이다. 이후 평판과의 마찰에 의해 flow가 retard 되는 것이다. 이때 retard 된 flow의 두께를 정의하면 이것이 displacement thickness / momentum thickness 이다. 먼저, mass flow에 의한 deficit을 구해보자. 왼쪽(AB 이전)은 평판을 만나기전의 uniform flow이다. 속도는 u∞, 밀도는 ρ∞이다. 오른쪽은(CD 이후) 평판을 지나가면서 drag된 flow이다.
14-1. Applications of Laplace_Unit step function [내부링크]
이제 LT의 활용에 대해서 좀 더 공부해보자. Unit step function (Heaviside function) unit step function 또는 Heaviside function은 특정값에 따라 0 또는 1로 가는 함수이다. 마치 스위치의 on/off를 나타내는 것과 비슷하다. 이함수를 활용하면 보다 공학적으로 활용도가 높은 형태로 표현해서 쓸 수가 있다. (forcing이 없다가 어느 순간 주어진다던지 하는 형태로) unit step function의 LT를 구해보자. t-shifting Find the Laplace transform. 위의 예제를 보면, f함수를 a만큼 시프트 한것과 유닛 스텝 함수가 결합한 형태이다. 여기에 유닛 스텝 함수를 곱하면 이부분(시프트한 부분)이 없어지게 되는 것이다. 아래의 예제도 풀어보자. f를 t로 표현했을 때는 잠깐 켜졌다 꺼지는 형태, 즉 piecewise linear였는데 LT를 취했더니 s가 0보다 클 때 정의가 가능한 co
14-2. Applications of Laplace_Dirac’s delta function [내부링크]
지난번에 봤던 unit step function 함수를 미분하면 어떻게 될까? 사실 연속이 아니라서 미분할 수는 없지만, 어떤 순간 impulse가 있는 것과 비슷할거라는 생각을 할 수 있을 것이다. 이러한 함수를 표현하기 위해서는 아래와 같은 함수가 유용하다. 이 함수의 LT를 구해보자. Dirac's delta function 위의 함수에서 k를 계속 줄여본다고 생각해보자. 또한 그 함수의 적분값이 1이 된다고하면, 그것이 바로 Dirac's delta 함수이다. 이것의 LT를 구할 수 있을까? 한번 해보자.
[CH. 5] Integral Equation of boundary layer (2) [내부링크]
지난번과 유사하게 이번에는 energy equation을 풀어보겠다. 먼저 Governing equation은 아래와 같다. 정리된 momentum eqaution은 아래와 같다. 먼저 온도에 대한 무차원수를 정의하고 이를 η에 대한 함수로 표현한다면, 지난번과 유사한 과정으로 energy equation을 풀면 아래의 결과를 얻는다. 이 식에는 이전에 정의했던 f가 포함된다. 이는 유동에 대한 정보가 포함된다는 것을 의미한다. 또한 momentum equation을 정리한 것과 차수는 낮지만 형태가 유사하다는 것을 알 수 있다. 이제 Boundary Condition을 주면, 벽면에서의 (y=0) 온도는 surface의 온도와 같으므로 Ts가 되고, 이를 θ를 정의한 식에 대입하면 0이 된다. y가 무한대일 때 (Boundray Layer를 벗어낫을 때)의 온도는 T∞가 되며, θ는 1이 된다. 이것을 numerical하게 풀면, 벽면을 Control volume으로 잡고 에너지의
14-3. Applications of Laplace_Convolution [내부링크]
Convolution의 정의는 아래와 같다. 이 연산자는 f와 g의 순서를 바꿔도 같다고한다. 확인해보자. 몇가지 예제를 풀면서 익숙해져보자. Convolution 연산한 함수에 LT를 취하면 어떻게 될까? 곱셉이 된다. 즉 아래와 같다. 이를 initial value problem에 적용해보자. 아래의 예제를 풀어보자.
11-2. Legendre's equation [내부링크]
Power series를 이용하여 아래의 Legendre's equation을 풀어보자. n이 양의 정수인 경우, power series의 항 (n-s)에 의해 s가 n보다 큰 항들은 모두 0이 된다. 이때의 다항식(항이 무한이 아니므로 더이상 power seires가 아니다)을 Legendero polynomial이라고 부른다. 이 식을 잘 정리하면, 아래와 같은 식이 된다.
12-1. Frobenius method [내부링크]
지난 시간에 power series method와 Legendre's eqaution에 대해 알아보았다. 이것은 p, q, r이 analytic한 경우에만 쓸수 있는 방법이다. (즉 power series로 표현 가능한 경우에) analytic 하지 않은 경우에 풀 수 있는 Frobenius method에 대해 알아보자. Frobenius method 여기에서 r은 임의의 실수이다. 위와 같이 얻는 r에 대한 2차 방정식을 indicial eqaution이라고 한다. r의 형태에 따라 우리의 전략이 달라진다. case1은 두개의 근의(허수라도 상관없음) 차이가 정수가 아닐 때 case2는 중근일 때 case3은 두개의 근의 차이가 정수일 때이다. 예제를 풀어보자.
12-2. Bessel's equation and Bessel function [내부링크]
Frobenius method를 이용하여 본격적인 예제를 풀어보자. 위에서 보이듯, a1이 0이 되므로 a3, a5, ... 등은 모두 0이 된다. (xr+s 차수의 식에 의해 s가 2 이상인 경우는 전전번째 항에 비례하므로) a0를 위와 같은 값으로 선택하면 Bessel 방정식의 하나의 해 Jn(x)를 얻는다. n이 0일 때 J0(x)는 cos과 생긴게 비슷하다. 진폭이 줄어들고 주기도 일정하지는 않지만.. n이 1일 때 J1(x)는 sin과 생긴게 비슷하다. 정수가 아닌 경우에 Bessel 함수를 표현하기 위해 Gamma function에 대해 알아보자. Gamma function : generalized factorial 이것을 부분적분을 해보면, 호오.... 뭔가 factorial과 비슷할거 같은 느낌이 든다. υ가 정수인경우는 어떨까? 즉, υ가 정수라면 factorial로 나타내어지고, 정수가 아닌경우에도 이렇게 표현할 수가 있다. 이것을 이용하여 Bessel 함수를 나타
13-1. Laplace transform (linearity, s-shifting) [내부링크]
지난 시간에 공부했던 것을 정리해보자. Laplace transform Laplace transform을 하면 미분/적분이 곱하기/나누기로 바뀌고, 어떤 mechanical/electrical system의 입력과 출력의 관계를 명확하게 볼 수 있다. 또한 이를 이용해서 초기값 문제를 푸는 것도 해보자. Laplace transform의 정의는 아래와 같다. 아래 예제를 풀어보며 LT(Laplace transform)를 어떻게 구하는지 알아보자. Find the Laplace transforms. (3)번 문제에 의해 LT의 linearity를 알 수 있다. s-shifting 어떤 함수에 eat를 곱하면 어떻게 되는지 살펴보자. 아래 함수의 LT를 구해보자.
13-2. Laplace transforms of derivatives & integrals [내부링크]
Laplace transforms of derivatives & integrals 이제 LT를 어디에 이용할 것인지를 살펴보자. 이전에 말했듯이, LT를 쓰면 미분/적분이 곱셈/나눗셈으로 바뀌게 된다. 예제를 통해 살펴보자. 2번 식에 나오는 항의 형태를 보면, 우리가 보통 initial condition으로 쓰는 조건들이 (f(0), f'(0)) 그 항으로 포함이 되어 있는 것을 알 수 있다. 이번에는 적분을 해보자. 이제 미분방정식을 푸는데 활용해보자. 마지막줄에서 보듯이 y(0)와 y'(0)가 모두 0인 경우는 Q=Y/R로 정의할 수 있다. 이때 R은 시스템의 input(forcing이므로)이고, Y는 시스템의 output이다. 따라서 Q는 input 대비 output이다. 또한 Q는 a, b에 의해서만 결정된다.
10-1. Idea of method of variation of parameters [내부링크]
이제 2차 미분방정식의 마지막 풀이법인 method of variation of parameters에 대해 배워보자. 이것은 특히 nonhomogeneous equation을 대상으로 한다. 이전에 배웠던 미정계수법은 r(x)가 간단한 형태인 경우에만 적용이 가능하다. 이보다 일반적인 방법이 바로 method of variation of parameters이다. 이 방법의 아이디어는 생소하진 않다. (reduction of order를 떠올려보도록 하자.) 해의 형태는 위와 같게 된다. 과정을 살펴보자. 여기에서 u, v에 대해 우리가 임의의 조건을 하나줄 것이다. (식을 풀면, u,v에 대해 하나의 식이 나올텐데 미지수가 2개이므로 임의의 조건을 추가함)
[CH. 5] Integral Equation of boundary layer (1) [내부링크]
Integral equation을 시작하기전에, 이전에 다루었던 2D BL(boundary layer) eqaution에 대해 다시 정리해보자. 먼저 공식은 아래와 같다. 유체에 아래의 가정을 통해 식을 좀 더 simple하게 바꿔보자. steady-state incompressilble fluid constant fluid properties flat plate negligible viscous disspation 위의 가정에 의해 아래의 항들을 무시할 수 있으므로, 또한 위의 가정중, 3번 constant fluid properties의 의미는 2번식과 3번식이 분리가 가능하다는 의미이다. 즉 먼저 속도와 관련된 내용을 풀고, 이후 온도와 관련된 내용을 풀면 된다. 이제 similarity solution을 이용하여, 2번식을 풀어보자. 먼저, continuity equation을 만족하는 stream function을 정의한다. 평판의 유동에서, 모든 x에 대해 BL의 edge
10-2. Example of variation of parameters [내부링크]
method of variation of parmeter를 예제를 풀어보자. 첫번째로 해야할 것은 homogeneous solution을 풀어야한다. 다음 예제는 nonhomogeneous Euler-Cauchy equation을 풀어보는 것이다. 먼저 homogeneous solution을 구해보자. 이어서
11-1. Power series method [내부링크]
Power seires A Power series is an infinite series of the form : power series로 그 함수를 표현할 때, 가능한 x의 범위가 있다는 것을 주의하자. homegeneous ODE를 power series를 이용하여 풀어보자. 모든 계수들이 짝수번째의 계수는 a0, 홀수번째의 계수는 a1로 나타내어지므로 이를 다시 표현해보면 이전에 다른 방법으로 구했던 것과 해의 형태가 같은것을 알 수 있다. The ηth partial sum and the remainder Power series를 아래와 같이 partial sum과 remainder로 나누어보자. x=x1에서 power series가 수렴하기 위한 조건은 아래와 같다. Radius of convergence 아래와 같은 2차 미분방정식이 주어졌을 때 p, q, r을 각각 power series로 표현했을 때 각각의 radius of convergence의 교집합 내에서는 po
[CH. 4] Differential Equation of boundary layer (1) [내부링크]
Boundary layer란, 이전에 이야기했듯이 벽면의 정보가 전달되는 층의 두께를 의미한다. momentum의 경우, 벽면의 유체의 속도는 0이므로 유체의 속도가 u∞보다 어느정도 작은 영역이 BL이라고 할 수 있을 것이다. thermal의 경우, 유체의 온도가 T∞와 다른 영역이 되며 (벽면의 영향을 받아서) mass의 경우, 유체의 농도(concetration)이 C∞와 다른 영역이 될 것이다. BL내에서의 미소체적을 control volume으로 생각해보자. BL의 두께가 매우 얇다고 가정을 한다면, y방향의 변화량(∇)이 dominet 할 것이다. x 방향으로의 속도를 u, y방향으로의 속도를 v라고 하고, 온도를 T라고 한다면 2D, steady state, incompressible, X=Y=0(no body force), q0=0(no heat generation), non-reacting한 유체에서 여기에서 1은 continuity equation, 2,3은 mom
[CH. 4] Differential Equation of boundary layer (2) [내부링크]
Energy equation 이번에는 energy equation에 대해 정리해보자. 이전과 같이 Control voulme(CV)은 Boundary Layer(BL) 내에 위치하고 있으며 x축 방향의 속도(u)는 y축 방향의 속도(v)보다 매우 크며, BL의 두께는 매우 얇아 y축 방향의 gradient가 dominent 하다. CV와 관련된 energy flow는 아래와 같이 두가지로 나눌 수 있다. 1) energy crossing CV ① W_dot ② q_dot ③ pυ 2) energy don't cross CV (mass flow) ① e ② KE ③ PE 여기에서 e는 내부에너지, i(=e+pυ)는 엔탈피, KE는 운동에너지, PE는 위치에너지이다. in/out 되는 energy를 모두 생각해보면 아래와 같다. 아래와 같은 가정을 하자. CV는 BL 내부에 위치한다. stdeay state no heat generation no work by external field
9-2. Resonance and damped forced oscillations [내부링크]
지난번, 미정계수법 (method of undetermined coefficients)를 쓸 때 규칙이 3가지 있었다. 첫번째는 표를 통해서 해의 형태를 찾는 것이었으며 두번째는 후보해가 homogeneous solution의 basis인 경우에는 미지수를 더 곱한다. 세번째는 그 basis가 중근을 가질 때에는 미지수를 한번 더 곱했다. 지난번에 이어 resonance에 대해 더 살펴보자. ω0=ω 이고 damping이 없으므로 c=0, 외력은 cos(ω0t) 와 같다. 따라서 미분방정식은 아래와 같으며, 이를 풀면 yp를 살펴보면, 진폭이 t에 비례한다. 따라서 진폭이 t에 선형으로 무한히 증가한다. 즉, resonance가 생겼을 때에는 진폭이 계속 증가한다. 실제로 진동할 수 있는 시스템에서 damping이 없고, 고유진동수와 같은 외력을 주면 진폭이 무한대로 커지게 되며 실제 이와 같은 현상으로 다리 등이 무너지는 경우가 있었다. resonace case와는 다르지만 흥미로
6-2. Mass-spring-damper system [내부링크]
Mass-spring-damper system 저번에 보았던 mass-spring 시스템에서 속도에 비례하는 damping을 추가해보자. Case1) Overdamping 진동이 일어나지 않고 t가 커질수록 y가 0에 가까워짐. Case2) Critical damping t가 커질수록 y가 0에 가까워짐. Case3) Underdamping 진폭이 줄어들면서 진동을 하는 형태. Example Find the smallest value of the damping constant of a shock absorber to remove oscillations of a car with mass 2000kg and spring constant 4500kg/s2. 위와 같이 2nd-order linear ODE with constant coefficient의 실제 예를 확인해보았다. (mass-spring-damper system)
7-1. Euler-Cauchy equations [내부링크]
Method of reduction of order를 이용하여 계수가 상수가 아닌 ODE에 대해 풀어보자. Euler-Cauchy equations 아래와 같이 계수가 상수가 아닌 2nd-order ODE의 해가 xm의 형태라고 가정하자. 이전과 마찬가지로 3가지 case에 대해 검토를 해보자.
7-2. Wronskian, existence and uniqueness of solutions [내부링크]
Existence and uniqueness of the IVP 만약 p(x)와 q(x)가 주어진 구간내에서 연속이고, 아래의 initial condition이 그 구간내에서 주어졌다면 (=x0가 그 구간내에 위치한다면) 이 IVP(initial value problem)은 해가 존재하며, 유일하다. Linear indepedence of soultions "독립"의 정의를 다시 살펴보자. k1, k2가 모두 0일 때에만 위의 식을 만족하는 경우 y1과 y2는 독립이라고 한다. 2nd-order homogeneous linear ODE with continuous variable coefficients를 고려해보자. 여기에서 W는 Wronskian이라고 한다. 예제를 통해 살펴보자. 아래의 예제를 증명해보자.
8. Nonhomogeneous ODEs / Method of undetermined coefficients [내부링크]
Nonhomogeneous ODEs 이제 ODE의 우변이 0이 아닌 Nonhomogeneous ODE에 대해 알아보자. 이러한 ODE의 해가 존재하는지, 유일한지를 살펴보고, nonhomogeneous ODE를 푸는 대표적인 방법중에 하나인 Method of undetermined coefficients에 대해서도 알아보겠다. homogeneous ODE에서와 유사하게, p(x), q(x), r(x)가 주어진 구간내에서 연속이라면 해가 존재하며, 유일하다. 해의 형태가 위와 같은 이유는, Method of undetermined coefficients r(x)의 형태에 따라 particular solution의 형태를 아래의 테이블을 이용하여 정하고 계수를 결정해보자. r(x)에 따른 particular solution의 형태 예제1) 예제2) modification rule 위와 같이 테이블의 particular solution의 형태가 homogeneous solution의 형태
9-1. Mass-spring-damper system with a forcing [내부링크]
지난 시간에 nonhomogeneous ODE와 이의 해를 찾는 method of undetermined coefficients에 대해 알아보았다. 이번 시간에는 이 방법을 이용하여 이전에 배웠던 mass-spring-damper 시스템에 forcing이 있는 경우에 대해 검토해보자. 해를 구하기 위해 아래의 방법을 활용해보자. characteristic equation (for homegeneous part) method of undetermined coefficients (for nonhomegeneous part) 여기에서 ω0는 고유 진동수이다. 만약, damping이 없다면 어떻게 되는지 알아보자. 먼저 homogeneous solution을 구해보면, 여기에서 변의 길이가 c1, c2, C이고 각이 δ인 직각 삼각형을 생각해보자. 한편, 여기에서 중요한 관찰을 할 수 있다. ω0는 m과 k가 주어졌을 때 정해진 값이고, ω는 우리가 조절이 가능한 값이다. (외부에서 입력하
5-1. Homogeneous 2nd-order linear ODEs with constant coefficients (1) [내부링크]
Linear 2nd-order ODEs with const. coeff. Linear 2nd-order ODE는 아래와 같다. y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) Homogeneous 한 경우 r(x)≡0 이고, p(x)와 q(x)가 각각 a, b라는 constant coeffcients라면, y''+ay'+by=0 이전에 1st-order ODE를 풀었던 것을 복습해보고, 이를 통해 2nd-order에서 어떻개 해를 구할 수 있을지를 알아보자. 여기에서 중요한 것은 constant coefficient를 가진 1st-order ODE의 해는 exponential function으로 표현된다는 것이다. 이를 이용해보자. Characteristic equation 여기에는 3가지 case가 있다. case1) a2-4b > 0 : Two real roots case2) a2-4b = 0 : A real double root case3) a2-4b > 0 : Complex conju
[CH. 3] Fluid stresses and flux laws [내부링크]
Shear stress Normal stress Heat transfer conductino에 의한 heat transfer는 이것은 벡터(=방향이 있다)이며, 높은 온도에서 낮은 온도로 흐른다. (∇는 높은 곳으로의 방향을 나타내므로 - 부호를 붙여야 한다.) Heat & mass transfer 2개의 gas가 섞여 있을 때의 Thermal flux는 아래와 같다. Mass transfer 여기에서 convection은 bulk fluid flow에 의한 것이고 diffusion은 concentration gradient에 의한 것이다. 다음과 같은 말이 있다. Even if there is no bulk movement of fluid(convection) it is still possible to have diffusion but vector sum of diffusion of the various components of the mixture will be zero. bul
5-2. Homogeneous 2nd-Order linear ODEs with constant coefficients (2) [내부링크]
Euler Fomula Using the Maclaurin series of ez with z=iw show that eiw=cosw+i*sinw 이것을 염두해두고 chracteristic equation의 세번째 case를 살펴보자. Case3 예제를 풀어보자. Summary
6-1. Mass-spring system [내부링크]
Mathematical model for mass-spring system 변위를 y(t)라고 하면, 용수철에 의한 힘은 F=-ky(t)이며 이것은 ma와 같다. a(가속도)는 변위를 두번 미분한 것이므로 최종적인 식은 아래와 같다. Solution & Natural frequency 시간의 역수의 단위를 가진다. (진동수의 단위와 같음.) 위에서 보다시피 해는 이 진동수와 시간의 결합으로 나타내어진다. 시스템의 특성을 대표하는 용수철 상수와 질량으로 결정되는 이 진동수를 고유 진동수 (Natural frequency) 라고 한다.
3-3. Orthogonal trajectories for curves in 2-space / Existence and uniqueness [내부링크]
1-parameter family of curves : G(x,y,c)=0 예제) 아래의 식을 만족하는 family of curves에 직교하는 선(orthogonal trajectory)을 찾아라. Caucy-Riemann equations Existence and uniqueness Uniqueness theorem 다음과 같은 initial value problem이 있다. y'=f(x, y), y(0)=y0 우변의 f(x, y)가 연속이고 bounded 되어 있다면 이 문제는 적어도 하나의 해를 갖는다. 또한, fy(=f의 y에 대한 편미분)가 연속이고 bounded 되어 있다면, 이 문제의 해는 최대한 하나이다. 즉 위의 두가지 조건을 만족하는 경우, 해는 존재하며 유일하다고 할 수 있다. Lipshitz condition uniqueness theorem보다 realx된 조건인 Lipshitz condition을 만족해도 해가 존재하며 유일하다.
4-1. Second-order linear ODEs [내부링크]
second-order ODE의 형태는 아래와 같다. 다음의 식들을 분류해보자. Linearity principle (superposition principle) sencond-order homogeneous ODE를 거론할 때 Linearity principle이라는 개념이 등장한다. 그 이유는 두개의 독립적인 별도의 해가 존재하기 때문이다. 아래의 예제를 풀어보자. 위에서 보듯이, ODE를 만족하는 두 개의 해에 임의의 상수를 곱하여 더한 값은 해가 된다. 이것이 일반적임을 증명해보자. 주의해야 할 점은, Linearity principle은 nonhomogeneous equation에는 적용되지 않는 다는 것이다. Initial value problem second-order ODE는 initial value가 2개 필요하다. 아래 ODE의 particular solution을 찾아보자. 또한 여기에서 중요한 것은, 두개의 해가 아무거나 할 수 있는 것이 아니라 서로 indep
4-2. Reduction of order [내부링크]
Reduction order 어떠한 2nd-order linear homogeneous ODE의 한 해를 알고 있다면, 다른 해를 찾을 수 있을까? 한 해가 주어진, 아래의 ODE의 basis를 찾아보자. 우리는 나머지 한 해가 다른 한 해의 함수배(실수배가 아닌)라는 사실을 가지고 나머지 해를 구할 수 있는 것을 알았다. 다른 예를 풀어보자. 아래와 같은 2nd-order ODE를 1st-order ODE로 reduce 할 수 있음을 보여라. 위와 같이, y항이 없으면 2nd-order ODE는 1st-order ODE로 치환하여 풀 수 있다. 또 다른 예를 풀어보자. 아래도 1st-order ODE로 reduce 할 수 있을까? 이런 식으로 y가 독립변수 같은 역할을 하도록 하고, Z를 y에 대해서 풀 수 있다. 즉 하나의 2nd-order ODE를 두개의 1st-order ODE로 바꿀 수 있다. Catenary : A hanging cable 아래의 늘어진 전선의 예제를 풀어
3-2. Examples and modeling [내부링크]
Initial value problem 이전에 nonhomogeneous equation을 풀었던 것을 이용하여 예제를 풀어보자. * 이전 내용 예제) Modeling : Drug injection 아래의 문제를 미분방정식으로 모델링하여 풀어보자. t=0일 때 약을 주입하기 시작하여, 일정한 속도로 주입하고 있을 때 (A g/min) 들어간 양에 비례하여 약이 흡수되고 있다. Logistic equation 어떤 감염병이 감염된 사람과 감염되지 않은 사람이 만나는 횟수에 비례해서 퍼지고 있다. 미분방정식을 모델링하여 풀어보자. Bernoulli equation 예제) 다음의 방정식을 linear하게 만들고 풀어보자.
2-2. Method of separation of variables [내부링크]
Separable ODEs ODE의 항들을 아래와 같이 y는 y끼리, x는 x끼리 모을 수 있는 것을 separable하다고 한다. 이 경우 양변을 바로 x에대해서 적분하여 해를 구할 수 있다. 예제를 풀어보자. Modeling examples 1. 어떤 박테리아가 지금 현재 수에 비례하여 증가하는데, 두배가 되는데 일주일이 걸렸다. 이주후에는 몇배가 될까? 2. 외부에서 5도의 온도를 읽고 있던 온도계를 실내로 가지고 왔다. 실내온도는 20도이다. 이 온도계가 1분 후에 12도가 되었다. 이 온도계가 19.9도를 표시하기 위해 필요한 시간은 얼마일까? (Newton's law of cooling) 3. 어떤 수조의 바닥에 작은 구멍이 있어서 물이 새고 있다. 물이 천천히 새고 있어서 수심은 급격하게 변하지 않는다. 수심은 시간에 따라 어떻게 변할까? 수조가 완전히 빌때까지 걸리는 시간은 얼마일까? (Torricelli's law : a leaking tank) Reduction t
[CH. 1] Heat & Mass Transfer [내부링크]
열의 이동은 왜 생길까? 그것은 온도의 차이 (∇T)에 의해 발생한다. 물질의 이동은 왜 생길까? 그것은 농도의 차이(∇C)에 의해서다. 유체의 convective heat & mass transfer (대류열 및 물질 전달)에 대해 생각해보자. 먼저 유체가 정지해있는 경우와 움직임(motion)이 있는 경우를 나눠보면, 유체가 정지해 있는 경우에는, diffusion에 의해서만 열전달이 발생한다. 하지만 motion이 있는 경우에는, diffusion에 bulk fluid motion에 의한 열전달이 추가된다. 따라서 convective heat & mass transfer는 아래의 두가지에 의한 에너지 & 질량의 이동이다. molecular conduction (diffusion) bulk fluid motion (advection) 즉, Convection = diffusion + advection 이다. (학부에서는 Convection = advection 으로 다루었다. a
[CH. 2] Conservation Principle [내부링크]
유체의 conservation Principle은 아래의 3가지에 대해 생각해볼 수 있다. Mass(질량), Momentum(운동량), Energy(에너지) Mass conservation 밀도가 일정한 유체의 control volume (CV) 내에서 질량은 보존된다. mass in - mass out + mass creation = mass stored → mass in - mass out = mass stored (Rate of creation of mass = 0) 예를 들어, 아래의 CV를 가진 유체를 생각해보자. Momentem conservation 운동량 보존의 법칙은, 입자계의 운동량 변화율은 그 물체에 작용하는 외부 힘의 합과 같다는 것이다. Rate of creation of momentum = F (resultant force) Energy conservation CV를 통과하는 모든 에너지와 CV 내부에서 생성되는 에너지의 합은 CV의 에너지 변화율과 같다.
2-3. Exact ODEs and integrating factors [내부링크]
Total differential Total differential(전미분)이란 다음과 같다. 예제) dy/dx를 구하라. Exact ODEs 아래의 형태를 가진 ODE는 exact 한다라고 말한다. 예제) Intergrating factor 아래의 ODE는 exact 하지 않다. 하지만 양변에 1/x2을 곱하면 어떻게 될까? 처음에 exact 하지 않았던 것이 어떠한 함수(intergrating factor)를 곱했더니 exact하게 되었다. intergrating factor를 찾는 방법은 무엇일까? 주어진 ODE가 exact 하지 않은 경우, 임의의 함수(F)를 곱했을 때 exact 하다고 가정한 뒤 이를 만족하는 함수를 찾아내면 된다. 예제를 풀어보자.
3-1. First-order linear ODEs [내부링크]
First-order ODE에 대해서 배워보자. 배우려는 컨셉은아래와 같다. First-order linera ODEs (1차 선형 미분 방정식) Homegeneous and nonhomogeneous ODEs Logistic equation (선형방정식은 아니지만 선형으로 푸는 예) Orthogonal trajectories of cureves in 2-space Existence and uniqueness (해가 존재하는지, 유일한지) 또한 아래의 풀이 방법을 배워보자. Method of separation of variables for homogeneous ODEs Method of intergrating factors for nonhomogeneous ODEs First-order ODEs First-order ODE는 가장 높은 차수의 도함수가 1차인 미분 방정식을 의미한다. 그렇다면 linear ODE (선형 미분 방정식)은 무엇일까? ODE가 homogeneous한지 n
[복사열전달] 6. Partially specular & Non-ideal surfaces [내부링크]
입사되는 빛이 반사하는 형태를 크게 세가지로 구분하면 다음과 같다. 아래의 그림과 같은 형태로 입사/반사된다고 할 때 Specular view factor란 다음과 같이 정의된다. 위의 그림에서 Specular view factor에 대해 생각해보자. Energy balance 위와 같은 surface에서의 energy balance에 대해 생각해보자. 먼저 주의해야할 점은 radiosity(=J)는 diffuse reflection만 포함한다는 점이다.
[열역학] 14. The Classical Statistical Treatment of an Ideal Gas [내부링크]
Thermodynamic Properties from the Partition Function Partition function으로부터 이상기체의 열역학적 상태량을 유도해보자. Dilute gas에서 Maxwell-Boltzmann 분포를 적용하여 평행상태에서의 상태량을 아래와 같이 구했었다. 이제 다른 상태량을 다뤄보자. Partition Function for a Gas Partition function은 시스템에서 사용할 수 있는 상태를 측정하는 척도이며 미시적 시스템과 열역학적 properties 사이의 필수적인 연결 고리이다. 모든 j에 대해 gj=1인 시스템을 생각해보자. 어떤 거시적인 크기의 용기에 담긴 기체 샘플의 경우 에너지 준위는 밀접한 간격을 가지므로 연속적이라고 간주할 수 있다. 그때의 density of states는 다음과 같다. Properties of a Monatomic Ideal Gas monatomic ideal gas(with bosons of z
1-1. Introduction / Mathematical modeling [내부링크]
이번에는 공학자를 위한 수학I을 수강하면서 배운 내용을 정리해보려고 한다. 아무래도, 회사를 다니다가 학위 파견을 나오게 되어 기초적인 수학과 관련된 내용을 거의 잊어버리게 되었고 다시 공부를 하던중에 위와 같은 강의가 있는 것을 알게되어 수강하였다. 이 강의의 목표는 다음과 같다. 상미분방정식(ordinary differential equation)이 무엇이고 어떻게 쓰는 것인가? 선형대수학과 벡터 calculus란? 이러한 수학 방법론들이 공학에서 어떻게 / 왜 쓰이는 것인지? 강의교재 : Advanced Engineering Mathematics / Kreyszig, E. (2011) 수학적 모델링이 공학에서 어떻게 활용되는가? 공학에서의 수학적 모델링은 아래의 형태로 활용된다. 공학적인 문제를 수학적인 모델로 translate하는 것 (mathematical modeling or formulating) 수학적인 문제를 푸는 것 수학적인 결과를 공학적인 context로 설명하는
1-2. Ordinary differential equation and its basic solution methods [내부링크]
미분방정식이란 무엇이고 어떻게 풀어야할까..? 많은 공학 문제에서 우리는 'dynamics'에 관심이 있다. (힘에 의한 물리적인 quantities의 변화) 이것은 시간에 따라 변화하는 것이므로(rate of change) 도함수로 표현이된다. ODE(ordinary differential equation)이란 한개의 미지의 변수가 하나 이상의 도함수로 표현된 것이다. 변수가 두개 이상인 경우는 PDE(partial differential equation)이라고 한다. Example : ODE as mathematical model 어떤 구슬이 지면에서부터 1.5m 높이의 테이블에서 떨어지고 있다. 공기의 저항을 무시할 수 있고, 중력만 고려한다면 바닥까지 도달하는데 얼마나 걸리는가? 풀이) 변수를 구슬이 바닥으로 떨어지는 거리 S라고 하자. 이것은 시간에 따라 변하므로 S(t)로 표현할 수 있다. 이것을 한번 미분하면 속도, 두번 미분하면 가속도가 된다. 또한 초기 조건을 정의하
2-1. First-order ODEs [내부링크]
Order Order란 주어진 미분방정식 내에서 가장 높은 도함수의 차수를 의미한다. 아래의 ODE들의 order는 몇일까? order는 아래와 같다. 1st-order ODE 2nd-order ODE 1st-order ODE (미지수와 미지수의 곱이 있으므로 비선형 ODE임) 4th-order ODE Form of ODEs 1st-order ODE에는 아래의 두가지 형태가 있다. Implicit form : 좌변에 모든 항을 모아놓고 좌변=0의 형태 (F(x,y,y')=0) Explicit form : y'=f(x,y)의 형태 아래의 ODE를 explicit form으로 바꿔보자. Solution of ODE solution(해)란 주어진 범위내에서 미분방정식을 만족하는 함수를 의미한다. General solution and initial condition 일반적으로 미분방정식을 풀면 그 해안에 임의의 상수가 포함되는데, 그것은 해가 하나가 아니라 임의의 상수에 따라서 여러개가 즉
Review of Heat Transfer [내부링크]
학부과정에서의 열전달에서 좀 더 확장된 형태의 대류열 및 물질 전달에 대해 배워보자. 먼저 열전달에 대해 Review 해보겠다. 위의 그림에서 Q(heat)과 W(work)는 무엇일까? Heat : the form of energy that is transferd due to terperature difference Work : an energy interaction which is not cased by termperature difference 따라서 Heat transfer는 아래와 같이 이야기할 수 있다. Heat transfer is thermal energy in transit due to a termperature difference. 열전달과 열역학의 차이는 무엇일까? 열역학은 어떠한 과정의 평형상태(equilibrium state)에 관심이 있음 시스템이 한 평형상태에서 다른 상태로 바뀔 때 필요한 열형태의 에너지 양을 결정하는데 사용됨 열전달은 온도차에 의한 에너지
[열역학] 13. Classical and Quantum Statistics (2) [내부링크]
Classical and Quantum Statistics dilute gas에서의 Maxwell-Boltzmann distribution에 대해 알아보자. dilute gas에 대한 가정은 아래와 같다. 1. 모든 에너지 준위에서 사용 가능한 양자 상태 수에 비해 점유 수가 매우 적음 (Nj«gj) (또는 대부분의 양자 상태가 비어 있음). 2. 두 개 이상의 입자가 주어진 상태를 점유할 가능성은 극히 낮음. (따라서 입자가 파울리 배제 원리를 따르는지 여부는 상관없으며 Fermi-Dirac statistics와 Bose-Einstein statistics는 거의 동일함) Fermi-Dirac / Bose-Einstein statistics으로 부터 Maxwell-Boltzmann statistics를 유도해보면, 이를 Boltzmann statistics와 비교해보고 Maxwell-Boltzmann distribution을 구해보자. Distribution이 동일하기 때문에 Bo
[복사열전달] 2. Electro/Magneto statics [내부링크]
이전 Lecture에서 이야기했듯이 복사는 전자기파와 관련이 있다. 따라서 기본적인 전/자기와 관련된 내용에 대해 알아야한다. 이번에는 electro/magneto statics (정적인 상태)에 대해 알아보자. 본격적인 내용에 앞서, 공학에서 사용되는 벡터 계산에 대해 짚고 넘어가자. Divergence theorem : volume integral of divergence of a vector field = outward flux of the vector through surface enclosing the voulme Stoke's theorem : surface integral of curl of a vector field over an open surface = closed line-integral of vector along the contour bonding the surface 이번 Lecture에서 고려하고자 하는 형태는 가장 간단한 상황에서의 전자기학이다. 모든 전
[복사열전달] 3. Non-relativistic electrodynamics [내부링크]
앞서서 다루었던 전기장에 관한 2가지 식과, 자기장에 관한 2가지 식을 다시 살펴보자. 시간에 따라 전기장 또는 자기장이 변화한다면 위의 식중에 몇가지는 형태가 변경되어야 한다. 상기 변화의 종류는 아래와 같다. Stationary loop in a time-varying magnetic field. Time-varying loop area in a static magnetic filed. Time-varying loop area in a time-varying magnetic field. Modified Gauss's law 시간에 따라 자속 밀도가 변하는 영역에서의 전기장은 보존되지 않는다. 따라서 Static한 상태의 식은 아래와 같이 변경되어야 한다. 일정한 영역에서 자기장이 변화하는 경우에 대해 생각해보면, (Stationary loop in a time-varying magnetic field) 이번에는 일정한 자기장에서 도체가 이동하는 경우에 대해 생각해보자. (Time
[열역학] 12. Classical and Quantum Statistics (1) [내부링크]
Boltzmann Statistics N개의 구별가능한 입자로 이루어진 조합의 평형 configuration을 아래의 제약조건을 고려하여 찾아보자. 이때, 에너지 레벨 j에서의 degeneracy (gj)를 고려하자. 그렇다면 N1개의 입자를 g1 양자 상태를 포함하는 첫 번째 에너지 준위에 넣는 방법과 N2개의 입자를 g2 양자 상태를 포함하는 두 번째 에너지 준위에 넣는 방법은 다음과 같다. 이를 고려하여 전체 경우의 수를 계산하면 아래와 같다. 예를 들어, 3개의 입자를 degeneracy가 2인 에너지 레벨에 배치하는 경우의 수는 라그랑주 승수법을 이용하여 이 통계 모델에서 가장 확률 높은 분포를 찾아보자. The Fermi-Dirac Distribution 이번에는 페르미-디락 분포에 대해 알아보자. fermion에 대한 가정은 아래와 같다. 입자는 동일하고 구별할 수 없다. (↔ Boltzmann statistic과 다름) 2. 입자는 파울리 배제 원리를 따름 : 어떤 양
[복사열전달] 4. Radiation from real surfaces / Energy change : view factors [내부링크]
먼저 Notaion에 대한 이야기를 해보자. 이번 lecture에서는 α, ρ, τ, ε의 porperties가 나오며, 각각의 뜻은 아래와 같다. α : absorptivity (흡수율) ρ : reflectivity (반사율) τ : transmissivity (투과율) ε : emissivity (방사율) 또한 이 properties에는 각각 subscript(아래첨자)와 superscript(위첨자)가 붙는데, 읽을 때의 순서는 아래첨자-위첨자의 순으로 읽고, 각 첨자의 의미/이름은 아래와 같다. 아래첨자 empty(비어있는 경우) : total λ : spectral 위첨자 empty(비어있는 경우) : hemi-spherical ' : directional 예를 들어 이런 방법으로 읽으면 된다. ε : total-hemi spherical emissivity α'λ : spectral-directional absorptivity 또한 위의 네가지 properties 중 e
[복사열전달] 5. Gray diffuse surfaces & resistance network [내부링크]
이제 View factor를 이용하여 radiation heat exchage를 구해보자. (특히 diffuse-gray surface에서..) Radiation energy exchage : black surface Blackbody cavity(enclosure) with the hole (ε=1) Radiation energy exchage : diffuse-gray surface diffuse-gray surface 먼저 diffuse-gray surface의 irradiation을 정의해보면 아래와 같다. (여기서 흡수율은 방사율과 같다고 가정을 한다.) 또한 i면에서 j면으로의 Net heat flow를 구해보면 아래와 같다. 이를 이용하여 Thermal resistance network를 만들어보자. 먼저 surface resistance는 For radiation form i surface 그리고 Space resistance는 For radiation between
[열역학] 8. Thermodynamic Potentials [내부링크]
Indtroduction 따라서, 고립계(isolated system)의 평형상태(equilibrium state)에서 dS=0 또는 S가 최대인 상태이다. 그렇다면 고립계가 아닌 시스템의 평형상태는 어떠할까? → 시스템의 "에너지"가 최소인 상태이다. → "에너지"를 thermodynamic potentials이라고도 한다. 예를 들어, S와 V가 일정할 때 평형상태는 어떨까? 열역학 제1법칙과 2법칙에 의해 다른 제약 조건이 있는 평형상태의 경우, 다른 열역학적 포텐셜을 도입해야 한다. : Enthalpy (H), Helmholtz function (F), Gibbs function (G) Legendre Transformation thermodynamic potentials을 상호 교환하려면 독립 변수 또는 열역학적 좌표( thermodynamic coordinates)를 변경해야 한다. 이 것은 Legendre transformation을 사용하여 수행할 수 있다! Defin
[열역학] 9. The Chemical Potential and Open Systems [내부링크]
The Chemical Potential 열린 계(open system)에서는 질량 또는 mole의 변화를 기본 열역학 방정식에 포함시켜야 한다. chemical potential은 아래와 같이 표현할 수 있다. chemical potential은 분자 사이의 힘과 관련이 있다. 어떤 분자가 근처의 다른 분자에 접근할 때, 1. 운동 에너지를 얻는 반면 위치 에너지를 잃는다. 2. 운동 에너지는 다른 입자와의 충돌을 통해 소멸된다. 3. 이 과정에서 시스템은 내부 에너지를 얻는다! Gibbs-Duhem equation을 유도해보자. 먼저 homogeneous 함수에 Euler's theorem을 이용하면 이것이 Gibbs-Duhem equation으로, "intensive" properties의 변화간의 관계를 보여준다. Phase Equilibrium Phase equilibrium 위의 그림과 같이 동일한 물질로 이루어진 2개의 상을 가진 subsystem의 평형 조건에 대해 알
[열역학] 10. The Third Law of Thermodynamics [내부링크]
Statements of the Third Law 열역학 제3법칙은 0K 근처에서 평형 상태인 시스템의 거동에 관한 것이다. 엔트로피 및 change of Gibbs function은 아래와 같다. 이를 구하기 위해서는 absolute entropy (S0)을 알아야한다. 열역학 제3법칙은 이를 가능하게 해준다. Nernst and Planck statements of the third law를 유도해보자. 이것이 Nernst formulation of the third law이다. 말로 표현하면, "열 평형 상태의 액체 또는 고체에서 일어나는 모든 반응은 절대 온도 0도 근처에서 엔트로피의 변화 없이 일어난다." Planck는 이것을 더 확장하여 아래와 같이 제안하였다. 이것이 Planck’s statement of the third law 이다. "절대 0도 에서 평형 상태의 시스템의 엔트로피는 0이다." 세 번째 법칙의 또 다른 statement는 달성 불가능성 원칙이다. "유
[열역학] 11. Statistical Thermodynamics [내부링크]
통계열역학(Statistical Thermodynamics)은 시스템의 거시적인 특성(macroscopic properties)과 분자적인 특성(molecular properties)과의 연관성을 확립하기 위해 고안되었다. 이것은 확률론적 접근법을 사용하며, 평형 상태에 집중한다. 근본적인 질문은 아래와 같다. - 거시적 시스템을 구성하는 입자(원자/분자)의 에너지 상태는 무엇일까? - 거시적 제약을 만족시키기 위해 이러한 입자들이 평형 상태에서 어떻게 분포되어 있을까? Coin-Tossing Experiment 통계열역학의 기본 개념을 동전 던지기 실험에 적용해보자. (동전은 구별할 수 있다고 가정한다.) 여기에서, Macrostate (or configuration)은 각 에너지 레벨에 있는 입자의 수로 지정된다. (위의 가정에서는 동전의 앞/뒷면의 숫자가 된다.) Microstate는 각 에너지 상태의 입자의 수로 지정된다. 일반적으로 각 에너지 레벨에 대해 하나 이상의 에너지
[열역학] 5. Consequences of the First Law [내부링크]
Gay-Lussac-Joule Experiment 이상기체에서 내부에너지(u)는 온도에만 관계된다라고 알려져 있다. 어떻게 실험적으로 이를 증명할 수 있을까? 내부에너지가 온도에만 관계되기 위해서는 정적비열 뒤의 항이 0이 되면 된다. Joule experiment (free expansion of a gas in an insulated chamber) 위와 같은 실험장치를 생각해보자. 중간의 diaphragm을 제거하면 좌측의 기체가 우측으로 free expansion하게 된다. free expansion의 일(w)은 0이고 단열된 chamber이므로 (q=0) 내부에너지의 변화는 없는 과정이 된다. free expansion 후의 온도를 측정하면 위에서의 정정비열 뒤의 항의 값을 알 수 있다. Gay-Lussac-Joule Experiment를 이론적으로 증명해보자. simple compressible substance의 가역과정에 대해서 1법칙을 적용해보자. 가역과정에서 위의
[열역학] 6. The Second Law of Thermodynamics [내부링크]
The Mathematical concept of entropy 엔트로피(S)라는 새로운 상태변수를 정의해보자. 가역과정에 대해 열역학 제 1법칙을 적용해보면, 이렇게 정의한 dS는 exact differential 일까(엔트로피는 상태 변수일까)? Gibbs equation은 비가역과정에서도 가역과정과 같이 적용이 가능할까? 이번 Lecture를 통해 알아보도록 하자. Classical statements of second law 특정 과정의 불가능함은 아래와 같이 제 2법칙에 대한 유명한 statement으로 소개되었다. Clausius "주기적으로 작동하며 차가운 물체에서 더 뜨거운 물체로 열을 전달하는 것이 유일한 효과인 장치를 만드는 것은 불가능하다." Clausius statement Kelvin-Planck "주기적으로 작동하며 작업 수행과 단일 저장소와의 열 교환 외에는 다른 효과를 내지 않는 장치를 만드는 것은 불가능하다." Kelvin-Planck statement
[열역학] 7. Applications of the Second Law(1) [내부링크]
Entropy changes in reversible processes 가역과정에서의 엔트로피 변화에 대해 알아보자. 먼저 열역학 1법칙과 2법칙을 결합하면, 이를 바탕으로 몇 가지 special한 과정의 엔트로피 변화에 대해 살펴보면 1. 단열과정(Adiabatic process) : δqr=0, ds=0, s=const. (가역 단열 과정 = 등엔트로피 과정) 2. 등온 과정(Isothermal process) 3. 등온/등압 상변화 (Isothermal and isobaric change of phase) 4. 등적 과정(Isochoric process) 5. 등압 과정(Isobaric process) Temperature-Entropy (T-S) Diagrams 카르노 사이클을 T-S 선도에 표현해보면 다음과 같다. T-S 선도 (a) 카르노 사이클, (b) 역카르노 사이클 1→2 : 가역 등온 과정. QH (heat addition) 2→3 : 가역 단열 과정. 작동 유체
[열역학] 7. Applications of the Second Law(2) [내부링크]
Entropy Change for an Ideal Gas 동일한 초기 및 최종 평형 상태에 대해 가역 및 비가역 과정 모두에서 Gibbs equation을 사용하여 엔트로피 변화를 계산할 수 있다. 최종 방정식은 일반적으로 모든 고체, 액체 및 기체에 적용되며, 1. 온도 상승이 높을수록 엔트로피가 더 크게 증가한다. 2. 부피 팽창이 클수록 엔트로피가 더 크게 증가한다. 예를 들어, 기체의 등엔트로피 팽창(ds=0)의 경우, 기체 팽창 → 온도 감소 → 엔트로피 감소 기체 팽창 → 부피 증가 → 엔트로피 증가 두 가지의 효과가 서로 상쇄되어 엔트로피 변화가 없게 된다. TdS Equation Gibbs equation은 아래와 같이 다양하게 표현할 수 있다. (이전에 배웠던 expansivity와 isothemal compressibility를 이용하여..) 이를 통해 가역과정에서의 열 전달량을 계산할 수 있다. 이를 T로 나누고 적분을 통해 엔트로피를 계산할 수 있다. 가역적인
[열역학] 2. Equations of State [내부링크]
Lecture1에서 잠시 다뤘던 상태 방정식 (Eqauations of state)에 대해 좀 더 자세히 알아보자. 상태 방정식은 평형상태(균일하고, 시간에 따른 변화가 없는)의 시스템에 대한 상태변수 (일반적으로 압력, 부피, 온도)의 관계식이다. 가장 많이 쓰이는 ideal gas에 대한 상태 방정식은 다음과 같다. 또한 real gas에 대한 대표적인 상태 방정식은 다음과 같다. ideal gas란, 기체의 밀도가 매우 낮아, 분자 사이의 평균 거리가 충분히 커서 분자간의 위치 에너지가 무시될 수 있는 기체이다. 하지만 real gas에서는 분자간의 힘과 분자의 크기가 고려되어야 한다. van der Waals EOS는 이를 고려한 식으로 각 항의 의미는 아래와 같다. 이 방정식은 다양한 온도와 압력에서 많은 물질의 거동을 만족스럽게 설명한다. 임계점(critical point)에서 아래의 미분값이 0이므로 압력과 온도, 비체적을 다음과 같이 구할 수 있다. P-v-T surf
[열역학] 3. The First Law of Thermodynamics [내부링크]
열역학 제 1법칙은 무엇일까? 간단히 이렇게 이야기할 수 있겠다. 에너지는 보존된다. (Energy is conserved.) 조금 더 복잡하게 표현한다면, 고립계의 에너지의 형태는 바뀔 수 있지만, 총합은 일정하다. 에너지란 무엇일까? 일을 하거나, 열로 전환될 수 있는 능력을 측정한 것이다. 일은 거리를 두고 가해지는 힘에 의한 에너지 전달이며, 열은 온도 차이로 인한 에너지 전달이다. 에너지는 물질에 저장될 수 있을 뿐만 아니라 물질 이동을 통해 전달될 수도 있다. (일과 열은 저장할 수 없다.) Configuration vs. Dissipative work configuration work란 가역과정에서의 일이다. (quasi-static process) 이것은 어떤 intensive variable과 extensive variable의 곱으로 표현된다. W=XdY (X : intensive variable, Y : extensive variable) ex) W=-PdV (P
[열역학] 4. Applications of the First Law [내부링크]
Heat Capacity Heat Capacity의 정의는 흡수한 열량을 증가한 온도로 나눈 비율의 극한값(온도 변화가 0에 가까워지는)이다. 식으로 나타내면 아래와 같다. 이를 질량 또는 몰로 나눈 것을 specific heat capacity라고 한다. 일정한 부피에서의 비열을 정적비열, 일정한 압력에서의 비열을 정압비열이라고 한다. Mayer's Equation 이상기체에서의 정적비열과 정압비열의 관계를 알아보자. simple compressible substance에 대해 열역학 제 1법칙을 식으로 표현해보면 그러나 이상기체에서 내부에너지는 온도에만 관계된다. (Gay-Lussac-Joule exp.) (온도가 일정하다면, 내부에너지는 변하지 않는다.) 이것이 Mayer's Equation이다. Enthalpy and Heats of Transfromation Heat of Transfromation은 상변화가 수반되는 열 전달을 의미한다. 상변화는 부피가 변하는 등온 및 등
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Elliptic PDE_Multigrid Acceleration [내부링크]
Multigrid acceleration은 Elliptic PDE를 풀 때 iterative method의 수렴을 위한 powerful한 방법 중 하나이다. 이 방법은 해의 다른 성분이 다르게 처리되어야 한다는 인식을 기반으로 한다. (각자 다른 속도로 정확한 해에 수렴하기 때문에) 예를 들어, 잔차의 smooth components(low wavenumber)는 0에 천천히 수렴하지만 rough components(high wavenumber)는 빠르게 수렴한다. 어떻게 하는 것인지 알아보자. 해의 근사값과 잔차, 에러를 다음과 같이 정의한다. 예를 들어 알아보자. 아래와 같은 식과 초기 조건을 고려해보자. k가 클수록 더 많은 진동 또는 rough한 성분에 해당된다. 정확한 해를 모르는 것으로 가정하고,유한 차분 근사를(h=1/N의 uniform 간격) 사용해보자. 각각 다른 k값에 대해 반복횟수에 따른 최대 잔차를 확인하면, k가 클수록 수렴이 빠른 것을 확인할 수 있다. 우변
[열공학] 흡수식 냉동 시스템 (Absorption Refrigeration system) [내부링크]
이제 흡수식 냉동 시스템에 대해 알아보자. 이전에 공부했던 증기 압축 냉동 시스템(Vapor compression refrigeration system)은 압축을 위해 전기를 사용하였다. 전기는 쉽게 다양한 형태로 변환이 가능하므로 열(Heat)에 비해 advanced energy라고 할 수 있다. 또한 gas 상태의 냉매를 압축할 때 비체적의 변화가 굉장히 크므로 많은 에너지가 소요된다. 이를 개선하기 위해 액체상태의 냉매를 열을 이용해서 압축하는 것이 흡수식 냉동 시스템이다. 흡수식 냉동 시스템의 내부 유체는 냉매와 흡수제로 구성되어 있다. 일반적으로 사용되는 것은 H2O / LiBr 또는 NH3 / H20 이다. H2O / LiBr의 효율이 좀 더 높고 독성이 없으나, 작동 압력이 매우 낮다. (물의 증발온도를 낮추기 위해 압력을 낮추어야 함) 흡수식 냉동 시스템의 사이클의 구성 요소 및 역할은 아래와 같다. 1. Absorber : 증발기에서 증발된 냉매 증기를 흡수제에 흡수
[열공학] Heat pump (히트펌프) [내부링크]
Heat pump (히트펌프) 란 낮은 온도의 열원에서의 열을 흡수하여 높은 온도로 전달하는 장치이다. 기존의 냉동사이클과 구성이 동일하며, 냉/난방 겸용 장치로 널리 사용된다. 초기 설치 비용이 저렴하고, 설치 공간이 적게 소요된다. 또한 운전 목적(냉방/난방)에 따라 냉매의 흐름 방향을 변경하여(4Way valve) 실내/외 열교환기의 역할을 바꿀 수 있다. 일반적인 증기 압축 Heat pump의 구성은 아래와 같다. 응축열, 증발열, 압축일과 COP의 관계는 아래와 같다. QH = QL + W COPheat = QH / W COPcool = QL / W 히트펌프는 열원과 운전 메커니즘에 따라 구분이 가능하다. 먼저 열원에 따라 구분하고 그 특징을 논해보면 아래와 같다. - Air source heat pump : 공기를 열원으로 하는 히트펌프. 실외기는 여름철 실내 공기의 열을 흡수하여 실외 열교환기를 통하여 방출한다. 겨울에는 반대로.. 히트펌프 시장의 대부분을 점유하고 있으
[열공학] Refrigerant (냉매) [내부링크]
냉매의 타입은 다음과 같다. Halocarbon - 할로겐 계열이 탄화수소로 대체됨. - 주요 성분의 존재 여부에 따라 CFC, HCFC, HFC로 구분 - CFC, HCFC는 환경문제로 인해 사용이 금지됨 Hydrocarbon - 수소와 탄소로만 구성된 냉매 - R-50(methane), R-170(ethane), R-290(propane), R-600(butane), R-600a(iso-butane), R-1270(propylene) - 비체적이 큼 (냉매 봉입량 작음) - 가연성 있음 공비 혼합 냉매 - 두 가지 이상의 순수 냉매의 혼합물 - 증발/응축 과정에서 혼합물의 구성(composition)이 변함 - 상변화 과정에서 온도가 약간 변함 (이를 이용하여 열교환 효율을 높일 수 있음) - 냉매 누설 시 성분이 변함 (vapor pressure가 높은 성분 먼저 누설됨) → 냉매 재충전 시 냉매 모두 회수 후 주입해야 함 Organic compound : R-60x (Buta
[열공학] Air-conditioning (공기조화) [내부링크]
Air-conditioning이란 공기의 온도, 습도, 청결도 및 분배를 제어하여 거주자의 쾌적함을 만족시키는 모든 과정이다. 즉 냉방/난방/환기/공기청정/가습/제습 등이 전부 포함된다고 할 수 있다. 업계에서는 HVAC이라는 말을 자주 쓰는데 이는 Heating, Ventilating, Air Conditioning의 약자이다. Heating은 난방이라고 생각하면 된다. Ventilating은 환기이다. 이를 통해 온도, 습도를 조절하거나 냄새, 연기, 먼지, 기타 오염물질 제거 또는 산소 공급 및 이산화탄소 제거 등을 수행할 수 있다. Air Conditioning은 냉방 및 제습을 하는 것을 의미한다. (여기서의 의미는 위에서 이야기한 것 보다 좁다.) 중앙 공조 방식인 All Air-condtioning 시스템의에 대해 알아보자. 각 구역(Zone)에 공기만 공급하는 방식 장점 - 비어 있는 공간(중앙에 위치)에서 유지보수 가능 - 점유 구역(Zone)에 배수 배관이나 전원
[열공학] Moist Air (습공기) property [내부링크]
습공기(Wet air)는 건공기(Dry air) 수증기(Water vapor)로 이루어져 있다. 건공기는 약 78%의 질소, 21%의 산소, 1%의 아르곤으로 이루어져 있다. 여기에서는 습공기와 건공기 모두 이상기체로 가정하고 다루도록 하겠다. 몇가지 Fundamental Parameter에 대해 알아보자. 1. 포화선 (Saturated line) - 수증기가 포화된 상태 (=상대습도 100%) 2. 노점 온도 (Dew point temperature) - 같은 온도/절대 습도에서 포화 습공기가되는 온도 (표화선을 만나는 지점) 3. 절대 습도 (Humidity ratio) - W = 수증기의 질량 / 건공기의 질량 4. 상대 습도 (Relative humidity) - Φ = 수증기의 mloe 비율 / 포화 습공기에서의 수증기의 mole 비율 5. 포화도 (Degree of saturation) - μ = W / Ws = 절대 습도 / 포화 습공기에서의 절대 습도 6. Relat
[복사열전달] 1. Introduction of thermal radiation [내부링크]
열전달 복사열전달에 대해 다루기 전, 열전달의 기본적인 내용에 대해 먼저 다시 떠올려보자. 열전달에는 3가지 종류가 있다. 전도(conduction), 대류(convection), 복사(radiation) 이다. 전도는 보통 고체의 열전달에서 나타나며 열이 물체속을 이동하는 현상이다. 대류는 액체 또는 기체의 열전달에서 나타나며 액/기체의 분자가 이동하며 열이 전달되는 현상이다. 복사는 온도를 가진(온도가 절대 0도가 아닌) 물체가 발생시키는 전자기파에 의해 열이 전달되는 것이다. 전하(일반적인 형태의 물질에서는 전자와 양성자)의 무작위한 운동은 물질의 전기적인 구조에 영향을 주게 되고, 이러한 입자의 가속은 복사를 발생시키며 이는 온도와 관련이 있다. 모든 절대 영도가 아닌 물체는 복사를 방출 또는 흡수한다. 열복사와 관련된 전자기파의 파장은 10-1~102 μm 이며 이는 일부 자외선/가시광선/일부 적외선 영역을 포함한다. Blackbody(흑체) and Blackbody rad
[열역학] 1. The Nature of Thermodynamics [내부링크]
고전열역학과 통계열역학 열역학이란 무엇일까? 열역학은 에너지와 엔트로피에 대한 학문이다. 또한 열(Heat)과 일(Work), 그리고 이와 관련된 물질의 상태량(properties)을 다룬다. 고전 열역학과 통계열역학의 차이를 알아보자. 고전 열역학은 물질의 본질을 고려하지 않은 실험 법칙을 다룬다. 대부분의 측정가능한 물질의 거시적인 상태량을 설명하는 현상학적 이론이다. 물질의 미세한 구조에 대한 논의가 없지만, 실제로는 유용하다. 통계열역학은 통계적이고 확률적인 접근을 한다. 물질의 분자 구성을 다루며 열역학 법칙이 존재하는 더 깊은 토대를 제공한다. 운동 이론은 분자의 평균적인 성질이라는 측면에서 기체의 거시적인 성질을 이해하기 위해 처음 도입되었으며, 통계열역학으로 확장되었다. 통계적 열역학은 양자역학의 아이디어와 통계적 접근 방식을 포괄한다. 열역학 시스템과 상태량 Open system: mass folw, energy folw Closed system : No mass f
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Elliptic PDE_Successive Over Relaxation Scheme [내부링크]
iteration scheme에 매개변수를 도입하여 수렴속도를 증가시키고, 최적화하는 방법인 Successive Over Relaxation(SOR) method에 대해 알아보자. 여기에 relaxation factor ω를 사용하여 변화를 증가시켜보자. GS를 통해 얻은 식에 SOR(successive over relaxation)을 적용하면 아래의 식을 얻는다. 여기서 해의 수렴 여부는 아래 행렬의 고유값에 dependent 하다. 고유값을 구해보자. discretized Poisson operator에 대해 고유값은 아래와 같다. optimum ω는 무엇일까? λ를 최소화하기 위한 ω를 선택해야 한다. M과N이 커지면 μmax는 1에 가까워지며, ωopt는 2에 가까워진다. irregular geometry와 non-uniform mesh의 경우, 해석적으로 ωopt를 구할 수 없으므로 수치 실험을 통해 ωoptt를 구해야 한다.
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Mixed and Fractional Step Methods [내부링크]
서로 다른 방법을 사용하여 다른 항을 전진시키는 방법에 대해 알아보자. 먼저 아래의 convection-diffusion equation을 고려해보자. 이 방정식은 비선형 convenction과 선형 diffusion term을 가지고 있다. 어떤 numerical method는 한 항에 적합하지만 다른 항에는 적합하지 않다. 예를 들어 leapfrog method는 convection 항에 대해서는 적합하겠지만 (λ가 purely imaginary 이므로 stable) diffusion항에 대해서는 적합하지 않을 것이다. (λ가real and negative 이므로 unstable) 즉, 전체 방정식을 leapfrog로 전진시킨다면 아마도 unstable할 것이다. 따라서 diffusion항에 대해서는 다른 method를 쓰는 것이 더 나을 것이다. 또한, υ값이 diffusion 항의 stability에 제약을 강하게 할 수 있으므로 implicit method가 필요할 수 있다
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Elliptic PDE_iterative solution method [내부링크]
Elliptic equation은 일반적으로 steday state 또는 equilibrium 문제에서 발생한다. 수학적인 관점에서 이 방정식은 해가 도메인의 모든 지점에서 상호 연관되는 boundary value problem이다. Standard elliptic equation에는 아래의 식들이 포함된다. 이 중 Poisson equation에 대해 고려해보자. 이것은 (M-1)(N-1) by (M-1)(N-1)의 Block-tridiagonal matrix를 풀어야 하므로 직접 풀기는 어렵다. 따라서 iterative method를 도입해보자. 위의 식을 행렬식으로 표현해보면 아래와 같다. 여기서 k는 iteration index이다. 또한 A1은 역행렬의 연산이 쉬운 형태여야 한다. xk가 수렴되기 위해서 εk →0 이어야 한다. 따라서 A1-1A2 의 고유값은 계수가 1보다 작아야 한다.
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Elliptic PDE_point Jacobi method [내부링크]
이전에 iterative method에서 살펴봤었던 식에서 행렬 A1의 역행렬을 쉽게 만들기 위해 어떻게 A1을 구성해야할지에 대해 살펴보자. A의 대각원소로 이루어진 행렬 D를 A1으로 정의한다면 쉽게 역행렬을 만들수 있다. 이를 통해 A2를 정의하면 아래와 같다. 이것을 point Jacobi method라 한다. 수렴을 위해 A1-1A2의 고유값을 계산해보자. M과 N이 크다면 λmax의 크기는 1보다 약간 작으므로 수렴이 매우 느리다.
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Elliptic PDE_Gauss–Seidel method [내부링크]
이전의 다루었던 Point Jacobi iteration 방법은 아래와 같다. φl-1,j(k+1)와 φl,j-1(k+1) 는 φl,j(k+1) 보다 먼저 계산되므로 위의 식의 φl-1,j(k)와 φl,j-1(k) 대신 φl-1,j(k+1)와 φl,j-1(k+1)을 쓸 수 있다. 이를 식에 반영하면 아래와 같다. 이를 행렬식으로 표현하고, A=A1-A2에서 A1과 A2를 아래와 같이 정의하자. 이때, D는 A의 대각원소로 이루어진 행렬이고, L은 A의 하삼각 원소의 음수로 이루어진 행렬이며, U는 A의 상삼각 원소의 음수로 이루어진 행렬이다. (LU decomposition한게 아님을 유의한다.) A1은 하삼각 행렬이므로 역행렬을 만들기가 쉽다. A1-1A2의 고유값을 구해보면 Point Jacobi method의 고유값의 제곱임을 알 수 있다. 에러를 비교해보면 Gauss-Seidel mehod의 에러가 Jacobi method의 제곱이 된다. 따라서 GS method가 Jacob
[복사열전달] Emittance [내부링크]
A water pipe made of copper (inner diameter 20 mm, wall thickness 3 mm) is used to deliver warm water (50 C) outdoor between buildings. Due to oxidation of the copper surface, the emittance of the outer surface of the pipe is 0.9. Assume the thermal conductivity of the copper wall is 400 Wm−1K−1, neglect the difference between the areas of the inner and outer surfaces of the pipe, the heat transfer coefficient between the outer surface of the pipe and air is 5 Wm−2K−1 , the heat transfer coeffic
[복사열전달] Heat loss from pipe [내부링크]
Two pipes carrying hot combustion gases are enclosed in a cylindrical duct as shown. Assuming both pipes to be isothermal at 2000K and diffusely emitting and reflecting (ϵ = 0.5), and the duct wall to be isothermal at 500K and diffusely emitting and reflecting (ϵ = 0.2), determine the radiative heat loss from the pipes. matrix approach를 해보자. Governing equation은 아래와 같다. i가 1일 때 지배 방정식은 아래와 같다. 위의 사실을 가지고 지배 방정식을 좀 더 정리해보면 한편 에너지 보존법칙에 의해 q3를 구하고 이를 위의 식에 대입하면 이제 View factor를 구해보자. 아래를 참조하면 View f
[수치해석] 5. Numerical Solution of PDE_implicit methods in high dimensions [내부링크]
high dimension 문제에 대한 안정성 제한을 극복하기 위해 implicit method로 이를 해결할 방법을 찾아보자. Crank-Nicolson method를 2차원 Heat equation에 적용해보자. 이를 풀이하기 위해 정리해보면, 위의 삼대각행렬의 성분인 A, B, C도 행렬이다. 만약 M=N=100 인 경우, 행렬의 요소 수는 108이다. 역행렬을 구하는데는 θ(M3N3) 연산이 필요하므로 너무 expensive 하고 풀기 어렵다. 다음장에서 다른 방법에 대해 알아보자.
[수치해석] Numerical Solution of PDE_approximated factorization and ADI method [내부링크]
PDE를 High dimesions으로 확장할 때 대규모의 행렬 계산 작업이 추가된다. 이를 해결하기 위한 방법을 찾아보자. 아래와 같이 2차원 heat equation에 CN과 CD2(spatial)를 적용해보자. CN을 먼저 적용한 뒤 CD2를 적용하면 아래의 식을 얻을 수 있다. 위에서 Ax와 Ay는 x및 y방향의 도함수를 나타내는 차분 연산자이다. (2nd order accurate) 위의 식을 다시 표현해보면, t에 대해 테일러 급수를 전개하면 원래 오차의 항에 θ(Δt3)이 있으므로 위의 항은 정확도의 차수(order of accuracy)의 변경없이 무시가 가능하다. (이것을 approximate factorization라고 한다) 따라서 equation은 여기서 우변을 F라 하고, z를 아래와 같이 정의하면 위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 각각의 j에 대해 zl,j에 대한 3중 대각 행렬을 푼다. (l+1, l, l-1) 위의 식을 풀기 위해서는 boundar
[수치해석] Numerical Solution of PDE_von Neumann stability analysis [내부링크]
von Neumann stability analysis에 앞서, Matrix stability analysis에 대해 알아보자. 먼저 아래의 PDE를 SD해보자. (CD2 이용) 그리고 시간에 대해서는 Explicit Euler를 적용해보겠다. stable하기 위해서는 위 행렬의 고유값의 크기가 1보다 작아야 한다. 이를 식으로 표현하면, 행렬 B의 고유값(λj)의 크기가 4일 때가 worst case임을 알 수 있다. (λj는 cos(jπ/N)이 1보다 크지 않으므로 real & negative 하다) Δtmax는 Δx의 제곱항에 비례하므로 매우 제한적이다. 정확도를 올리기 위해 Δx를 1/2배로 하면, Δt는 1/4배가 되므로 계산은 8배가 늘어난다. 이제 von Neumann stability analysis에 대해 알아보자. 먼저 아래의 방정식을 CD2를 이용하여 공간에 대해 discretization하고 이후 EE를 이용하여 Full discretization해보면 그리고
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Modified Wavenumber analysis [내부링크]
이번에는 PDE의 안정성 분석의 3번째 방법인 Modified wavenumber analysis에 대해 알아보자. 먼저 아래의 PDE에서 해의 형태를 다음과 같이 가정해보자. 해를 PDE에 대입하여 정리하면 아래의 식을 얻을 수 있다. 이때 k를 wavenumber라 한다. 이제 PDE에 CD2를 적용하여 semi-discretization 해보자. 아까 가정한 해를 위의 식에 대입하면, 아래의 식을 얻을 수 있다. wavenumber를 구한 식과 비교해보면, modified wavenumber는 다음과 같다. CD2가 아닌 다른 유한 차분을 적용한다면, modified wavenumber는 달라진다. 이제 stability를 확인해보자. 이 결과는 Matrix 및 Von von Neumann stability analysis의 결과와 같다. Modified wavenumber analysis의 장점은 다른 time-advancement scheme에 대한 stability lim
[수치 해석]5. Numerical Solution of PDE_Implicit time advancement [내부링크]
이전까지 알아본 바에 의하면, 열 방정식(Heat equation)의 경우 explicit method를 적용하면 안정성(stability)의 제한이 너무 엄격하다는 것을 확인하였다. 따라서 implicit method가 선호되는데, 인기있게 쓰이는 Trapezoidal method에 대해 알아보자. (또는 Crank-Nicolson method라고 한다.) 여기에 CD2를 적용하면 따라서, 매 시간단계마다 tri-diagonal 방정식 시스템을 풀어야 한다. (1차원에서 이를 풀기위해서는 대략 N의 산술 연산이 필요하다.) 이제 안정성(Stability)을 확인해보자. 먼저, 모델 방정식 y'=λy에 Trapezoidal method가 적용되었을 때 amplication factor는 아래와 같다. 한편, Heat equation에 적용된 CN(또는 TR)의 amplication factor는 modifed wavenumber analysis를 사용하여 λ대신 -αk'2을 대입하여
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Accuracy via modified equation [내부링크]
Numerical solution은 exact solution의 근사치이므로 주어진 continuous PDE를 정확하게 만족시키지는 않지만, 수정된 PDE를 만족시킨다. 아래의 PDE에서 exact solution을 가정하고, EE와 CD2를 통해 numerical solution을 구해보자. 따라서 numerical solution은 아래의 modifed PDE를 만족한다. modifed PDE는 numerical method가 시간(t)에 대해 1st-order accurate하고, 공간(x)에 대해 2nd-order accurate 한 것을 알 수 있다. 또한 Δt와 Δx가 0에 가까워지면 exact PDE에 가까워지는 것을 알 수 있다. 또한 에러 항 중 시간에 대한 미분을 공간에 대한 미분으로 바꾸면 아래의 식을 얻게 된다. 미분 앞의 계수가 0이 되면 accuracy를 증가시킬 수 있다. (에러가 줄어드므로) accuracy를 올리기 위한 Δt의 값은 안정성을 위한 Δt
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Du Fort–Frankel Method: An Inconsistent Scheme [내부링크]
Du Fort-Frankel method에 대해 알아보자. 이것은 Leapfrog method(time)와 CD2(spatial)를 고려한다. 이전에 확인했듯이, Leapfrog method는 real & negative λ에 대해 무조건 unstable 하다. Du Fort-Frankel method는 우변에 아래와 같은 2차 근사치를 대입하여 얻는다. 안정성 분석을 해보자. unconditionally stable하며 역행렬의 연산이 필요하지 않다. 2nd-order accuracy를 가진다. 굉장히 좋아 보인다. Du Fort-Frankel method의 modified PDE를 구해보자. 아래와 같이 테일러 급수를 전개한다. 그리고 식을 정리하면 modified PDE를 구할 수 있다. Δt가 일정할 때, Δx가 작아지면 Δt2/Δx2는 커진다. 즉 에러가 증가한다. 따라서 Δx→0 , Δt→0를 임의로 설정하여 정확도를 높일 수가 없다. 우변의 세번째 항은 Δt→0이 Δx→
[수치해석] Numerical Solution of PDE_Multi dimensions [내부링크]
지금까지는 하나의 공간 dimension과 시간에서의 PDE를 고려했다. 이제 다차원 공간 (multi dimensional space)과 시간에서의 PDE를 해결하기 위한 방법에 대해 알아보자. 아래의 2차원 heat equation에 대해 생각해보자. CD2(spatial)와 EE(time)를 적용해보자. 그리드 포인트에서 초기 조건이 주어지면 (φ0l,j) 각 l과 j에 대해 boundary condition을 이용하여 시간에 따라 앞으로 진행하여 다음 시간단계에서의 해를 얻는다. modified wavenumber analysis를 통해 stability를 알아보자. 1차원의 경우와 같은 방법으로 분석할 수 있다. λ가 실수/음수이고 EE를 사용했으므로 위의 결과와 같이, 1 Dimension 대비 제한적(restrictive)이므로 implicit method로 해결해야할 필요가 있다.
[복사열전달] Spherical Radiation Shields [내부링크]
Consider a 30 cm diameter sphere situated concentrically inside a 60cm diameter sphere. If the emittance of the outside sphere is ϵ2 = 0.4 and the emittance of the inside sphere is ϵ1 = 0.5, determine: (a) the radiant heat loss from the inner sphere with no shield present if the temperature of the inner and outer spheres are 560 C and 282 C, respectively. (b) the heat loss if a radiant shield with emittance of ϵ3 = 0.2, with negligible thickness, is introduced midway between the inner and outer
[복사열전달] Heat transfer of exhaust pipe [내부링크]
A particular internal combustion engine has an exhaust manifold at 600C running parallel to a water cooling line at 20C. If both the manifold and the cooling line are 4 cm in diameter, their centers are 7 cm apart, and both are approximately black, how much heat will be transferred to the cooling line by radiation (per length of the pipes)?. View factor (출처 : RADIATIVE HEAT TRANSFER / Michael F. Modest)
[Python] 2nd ODE with numerical method(1) [내부링크]
이번에는 2차 미분 방정식을 파이썬을 통해 나타내보자. 주어진 식은 아래와 같다. 식을 풀어보면 y=cos(ωt) 라는 것을 알 수 있지만, 식을 풀지 않고 해에 대한 그래프를 그려보자. import numpy as np from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt # 주어진 미분 방정식 # y[1]=y', y[0]=y # dydt = [y', y''], y''=-omega**2 * y def model(y, t): dydt = [y[1], -omega**2 * y[0]] return dydt # 초기 조건 y0 = 1.0 # 초기 위치 v0 = 0.0 # 초기 속도 omega = 4.0 # 감쇠율 # 시간 범위 및 간격. exact 해를 찾는 거니까 촘촘하게 t = np.linspace(0, 6, 1000) # odeint를 사용하여 미분 방정식을 푸는 함수 호출하여 solution 변수에 입력 # odei
[Python] 2nd ODE with numerical method(2) [내부링크]
이전의 내용에 Implicit Euler method를 추가해보자. Implicit Euler method는 비선형 방정식을 풀어야 하는데 아래의 ODE에 대해서 풀이된 비선형 방정식의 형태는 다음과 같다. 따라서 코드는 아래와 같다. import numpy as np from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt # 주어진 미분 방정식 # y[1]=y', y[0]=y # dydt = [y', y''], y''=-omega**2 * y def model(y, t): dydt = [y[1], -omega**2 * y[0]] return dydt # Explicit Euler method 정의 def explicit_euler(y0, v0, omega, dt, num_steps): y = np.zeros(num_steps + 1) v = np.zeros(num_steps + 1) y[0] = y0 v[0] = v0
[Python] 2nd ODE with numerical method(3) [내부링크]
이번에는 Runge-Kutta method를 이용해서 numerical solution을 구하고 표시해보자. 코드를 짜보면 다음과 같다. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint # 주어진 미분 방정식 def model(y, t): dydt = [y[1], -omega**2 * y[0]] return dydt # Runge-Kutta 2nd order method def runge_kutta2(y0, v0, omega, dt, num_steps): y = np.zeros(num_steps + 1) v = np.zeros(num_steps + 1) y[0] = y0 v[0] = v0 for i in range(num_steps): k1y = dt * v[i] k1v = -dt * omega**2 * y[i] k2y = dt * (v[i] + 0.5 * k1v) k2v = -
[복사열전달] Tenuous Plasma [내부링크]
The dispersion relation for EM waves in a plasma is given by ω2(k) = ω2p + c2k2 ω2p = 4πNe2/m where ωp is the plasma frequency. (a) For ω > ωp, find refractive index n of the plasma. Is the n greater than or less than 1? Provide your reasoning. (b) For ω < ωp, describe quantitatively the behavior of an EM wave in the plasma. (c) Find electrical conductivity as a function of ω. (a) (b) (c)
[수치해석] Numerical Solution of PDE(partial differential equations)_Semi-Discretization [내부링크]
편미분 방정식(PDE)에 대한 수치해석에 대해서 공부를 해보자. PDE : L(φ)=f 를 물리적으로 분류를 해보면 (L : differential operator) 1. Equilibrium problem : steady state problems - closed boundary : specify something about φ on the boundary - Elliptic PDE 2. Propagation problem : transient nature - open boundary - inital value problems - Parabolic PDE, Hyperbolic PDE 수학적으로 분류를 해보자. 아래의 Quasi-linear 2nd-order PDE hyperbolic PDE if b2-4ac > 0 → two real characteristics parabolic PDE if b2-4ac = 0 → one real characteristics elliptic PDE
[복사열전달] Dispersive midium [내부링크]
Prove the following relations between group velocity ug and phase velocity up in a dispersive medium 먼저 첫번째 식은 아래와 같이 유도할 수 있다. 두번째식은 λ와 β의 관계와 첫번째 식을 결합하여 구할 수 있다.
[복사열전달] Normal incidence of EM wave between a dielectric and a conductor [내부링크]
A plane polarized electromagnetic wave travelling in a dielectric medium of refractive index n is reflected at normal incidence from the interface of a conductor. Noting that the wavenumber (k) is k = ωn/c, find the phase change undergone by its electric vector if the refractive index of the conductor is n2=n(1 + iρ).
[Python] ODE_Trapezoidal method [내부링크]
TR을 이용하여 미분방정식을 풀어보자. 주어진 식에 대해 몇 가지 타입 스텝별로 해의 거동을 살펴보겠다. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint from scipy.optimize import newton # 미분 방정식 정의 def f(y, t): dydt = -((3 * np.tanh(3 * t) + 5) * y) return dydt # Trapezoidal Method로 한 단계 전진을 위한 함수 def trapezoidal_step(y_n, t_n, dt): # newton을 사용하여 비선형 방정식 풀이 implicit_function = lambda y_next: y_n + 0.5 * dt * (f(y_n, t_n) + f(y_next, t_n + dt)) - y_next y_next = newton(implicit_function, y_n) return y_
[Python] ODE_Runge-Kutta method [내부링크]
RK2를 이용해서 미분방정식을 풀어보자. 방정식은 TR에서 썼던 것과 같다. 타입스텝도 동일하게 적용하여 추이를 살펴보자. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint # 미분 방정식 정의 def f(y, t): dydt = -((3 * np.tanh(3 * t) + 5) * y) return dydt # Second-order Runge-Kutta Method로 한 단계 전진을 위한 함수 def runge_kutta_step(y_n, t_n, dt): k1 = dt * f(y_n, t_n) k2 = dt * f(y_n + 0.5 * k1, t_n + 0.5 * dt) y_next = y_n + (1-1/(2*0.5))*k1 + 1/(2*0.5)*k2 return y_next # 초기 조건 y0 = 1 # 시간 범위 t_exact = np.linspace(0, 3, 100)
[복사열전달] Snell’s law and Brewster angle [내부링크]
Consider the following geometry near air-dielectric interface (Consider refractive indices of 1 and n for air and dielectric, respectively.). Also shown are the Electric field polarizations. (a) Apply Snell’s law to describe θ3. (b) Show the following Fresnel’s formula (for electric field polarization above), that is E2/E1 = tan(θ3 − θ1)/(θ3 + θ1). (c) Based on the Fresnel’s formua in (b), Show that there is no reflected wave if tan θ1 = n where θ1 the angle of incidence. (a) (b) (c)
[복사열전달] Emittance [내부링크]
A certain material at 600 K has the following spectral, directional emittance: ϵ′λ = 0.9 cos θ for λ < 1 µm and ϵ′λ = 0.2 for λ > 1 µm. What is the total, hemispherical emittance of the material?
[복사열전달] Selective absorber [내부링크]
Consider a selective absorber that has a diffuse but wavelength-dependent emittance, which can be approximated by: ϵλ = 0.9 when λ < 2 µm and ϵλ = 0.25 when λ > 2 µm (a) The absorber is irradiated by the sun with a strength of qsolar = 1000 Wm−2 from a direction which is 60 from the surface normal. What is the power flux [Wm−2] absorbed by the selective absorber from the solar irradiation? (b) The environment at 20C also emits thermal radiation to the absorber. Assume the radiation from the envi
[복사열전달] View factor [내부링크]
Consider the axisymmetric configuration shown in the figure. Calculate the view factor F1−3. 먼저 A1 위로 가상의 표면을 하나 그리고 이를 A'1이라하고 그 윗면을 A4라고 하자. 그림으로 표현하면 아래와 같다. 아래 그림을 참조하면, VIEW FACTOR CATALOGUE (출처 : RADIATIVE HEAT TRANSFER / Michael F. Modest)
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_System of 1st-order ODEs [내부링크]
system of ODE는 여러 종 간의 화학반응이나 여러 구성요소가 있는 복잡한 구조물의 진동과 같은 물리적 상황에서 자연스럽게 나타난다. 이전에 이야기했듯이, 고차의 ODE는 system of 1st-order ODEs로 변환할 수 있다. 아래의 방법을 통해 알아보자. 개념적 관점에서 볼 때 1 ODE의 numerical soultion과 ODE 시스템의 numerical soultion 사이에는 단 한 가지 근본적인 차이점이 있다. 구분 Single ODE System fo ODEs 형태 dy/dt=f(y, t) dyi/dt=fi(t, y1, y2, ..., ym) i=1, 2, ..., m model problem dy/dt=λy dy/dt=Ay A가 완전한 고유벡터를 가진다고 가정하면 EE의 방법으로 해를 구해보면 λ가 커지면, h는 작아져야 한다. Stiffness Stiffness는 여러 자유도를 가지지만 응답 시간이 크게 다른 물리적 시스템에서 발생할 수 있다. 예)
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Boundary value problems [내부링크]
아래와 같은 Boundary value problem이 있다. 두가지 방법으로 접근해보자. ① Shooting method : boundary value problem → initial value problem 이후 v(0)=E로 추측한 뒤 x=L까지 방정식을 intergrate 한다. 그리고 u(L)과 yL을 비교한다. 일치하지 않는다면 다른 값으로 v(0)를 추측하고, 이를 반복하면 된다. 2nd-order linear equation을 고려해보자. 미분 방정식이 선형이므로 해는 y1과 y2의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. * secant method를 통한 비선형 방정식의 해 구하기 다음의 비선형 방정식을 고려하자. y'1(0)과 y'2(0)을 각각 y1(L), y1(L)로 두고 두 점을 이어주는 선을 그려보자. 그 선과 yL이 만나는 점의 y'(0)으로 guess 하는 것을 반복하면 아래와 같다. y(L)-y'(0)의 관계 (출처 : Fundamentals of Engine
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Runge-Kutta method(RK) [내부링크]
Predictor-Corrector method(PC) & Runge-Kutta method(RK) 방법은 explicit 방법보다 안정성이 우수하고, implicit 방법보다는 work / time step이 더 적은 방법이다. Predictor-Corrector method (PC) PC는 EE를 통해 예측하고 TR을 통해 correct 하는 방법이다. 식을 통해 살펴보면, Model problem에 적용하여 accuracy와 stability를 확인해보자. exact solution과 비교해보면 PC는 globally 2nd-order accurate 하다. PC는 conditionally stable 하다. Stable region for PC λ가 순허수 일때는 unstable 하다. 2nd-order Runge-Kutta method (RK2) RK2는 explicit한 방법으로 아래와 같은 장점이 있다. 좋은 안정성(EE에 비해 stable 영역이 넓음) 계산중에 tim
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Multi-step method [내부링크]
Multi-step method는 이전 time-step의 data를 이용하여 높은 차수의 정확도를 얻는 방법이다. 저장공간과 메모리가 더 많이 요구되며, self-starting이 불가능하다. (시작지점에는 이전 time-step의 data가 없으므로) 따라서 시작지점에는 EE와 같은 다른 수치해석 방법이 요구된다. 또한, RK와는 다르게 계산중에 time-step의 사이즈를 변경할 수 없다. (h is fixed.) Leapfrog method Multi-step method의 하나인 Leapfrog method에 대해 알아보자. (LF) 특징으로는 - not self-starting (y1을 구하기 위해서는 EE나 RK2등의 다른 방법 필요) - 한번의 함수 계산으로 2nd-order accurate (계산 cost 낮음) Model problem에 적용해보자. σ1 은 이 방법이 2nd-order accurate임을 보여준다. σ2 는 spurious root이며 물리적인 의
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Numerical stability [내부링크]
미분 방정식의 numerical solution은 정확하더라도 무한대로 커질수 있다. 따라서 무한대로 커지는지의 여부를 검증하여야 한다. 이를 numerical stability analysis 라고 하며 numerical method의 파라미터(주로 step size h)에 대한 조건을 찾아 numerical solution의 발산여부를 확인하여, 아래와 같이 3가지로 구분한다. Stable numerical method(Absolutely stable / unconditionally stable numerical method) 어떤 파라미터를 선택해도 발산하지 않음. Unstable numerical method 파라미터의 선택과 상관없이 항상 발산함. Conditionally stable numerical method 어떤 파라미터를 선택하면 발산하지 않음. Linear stability analysis 아래와 같은 미분 방정식이 있을 때 이를 two-dimensional 테일
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Stability analysis for Euler method [내부링크]
이전 포스팅에서 언급되었던 Model problem을 적용하여 Euler method의 stability analysis를 진행해보자. 먼저, EE (Explicit Euler)는 아래와 같다. 이를 Model problem에 적용해보자. n이 0, 1, ... , n 일 때 해의 stable 여부는 λRh, λIh 에 따라 달라진다. exact sol.의 해의 Stable region은 다음과 같다. Stable region for exact solution EE의 stable region을 찾아보자. Stable region for EE λ가 실수이고, 음수라면 (λR≦0, λI=0) λ가 허수라면 (λR=0, λI≠0) EE는 unstable 하다. * EE의 accuracy : 1st-order accurate * Signal for instability (λ가 실수이고, 음수일 때 and unstable 할 때) (1+λh)가 -1보다 작으므로 yn은 n이 짝수일 때 양수,
[Python] Explicit Euler [내부링크]
아래의 ODE를 Euler method를 통해 풀어보자. 앞서 포스팅한 EE의 stability analysis에 따르면 h는 4보다 작거나 같아야 stable 하다. h가 1일때와 h가 4.2일 때로 나누어 그래프에 표시해보자. 코드는 아래와 같다. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 정확한 해를 계산하는 함수 def y(t): return np.exp(-0.5 * t) # t의 구간 정의 a = 0 b = 20 # Explicit Euler 메소드를 적용하여 수치적인 해를 계산하는 함수 def EE(h): t_values = np.arange(a, b + h, h) y_values = [1.0] # 초기 조건 y(0) = 1 for t in t_values[:-1]: y_next = y_values[-1] - 0.5 * h * y_values[-1] # y_n+1=y_n-0.5*h y_values.append(y_next
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Implicit(Backward) Euler method [내부링크]
이번에는 Implicit Euler 방법에 대해 살펴보자. Model Problem에 적용하여 Stability를 확인해보면, IE는 λR이 0보다 작거나 같은 경우 무조건 stable 하다. IE는 unconditionally stable 한 장점이 있지만, 비선형 방정식을 풀기위해 계산 비용이 비싸다는 단점이 있다. accuracy는 다음 포스팅에서 다루겠다.
[Python] Implicit (Backward) Euler [내부링크]
Implicit Euler 방법으로 구한 해를 표시해보자. 문제는 Explicit Euler에서의 문제와 동일하게 하고, EE로 구한 해를 같이 표시해보겠다. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import fsolve # 정확한 해를 계산하는 함수 def y(t): return np.exp(-0.5 * t) # t의 구간 정의 a = 0 b = 20 # Explicit Euler method 적용하여 수치적인 해를 계산하는 함수 def EE(h): t_values = np.arange(a, b + h, h) y_values = [1.0] # 초기 조건 y(0) = 1 for t in t_values[:-1]: y_next = y_values[-1] - 0.5 * h * y_values[-1] # y_n+1 = y_n - 0.5 * h * y_n y_values.append(y_next) re
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Numerical accuracy [내부링크]
IE의 accuracy를 확인해보자. IE는 one time step에 대해 2nd-order accurate하고, overall time step(=globally)에 대해 1st-order accurate하다. 또한, → Stability와 accuracy는 관계가 없다. 안정성의 관점에서 우리의 목표는 time step h를 최대한 크게 하는 것이다. time step이 작으면 computaional cost가 증가하기 때문이다. 한편, 진동하는 해를 가지는 문제에서는 phase / amplitude error를 각각 알아볼 필요가 있다. 이러한 유형의 error analysis를 위해 λ가 순허수인 Model problem을 고려해보자. exact sol.은 진폭 1, 주파수 ω인 진동하는 해이다. EE의 크기는 1보다 크므로 unstable 한 것을 알 수 있다. 그리고 σ는 복소수이며 다음과 같이 쓸 수 있다. 다시 exact sol.과 EE를 비교해보면, IE에 대해서도
[수치해석] Trapezoidal method (TR) [내부링크]
적분할 때 나왔었던 TR을 이용한 수치 해석 방법을 소개하겠다. EE와 IE와 함께 비교하면 아래와 같다. TR이 편미분 방정식에 적용되면, 'Crank-Nicolson method'라고 한다. Model problem에 적용하여 accuracy 및 stability를 확인해보자. σ와 exact solution을 비교하여 accuracy를 확인하면 TR은 one-time step에서는 3rd-order, global-time step에서는 2nd-order accurate 하다. Stability를 확인해보자. TR은 absolutely stable 한 것을 확인할 수 있다. λ가 순허수 일때를 생각해보자. λ가 실수 & 음수 일때를 생각해보자. σ는 -1과 1을 진동하지만, 발산하지는 않는다.
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_Linearization for implicit methods [내부링크]
Implicit method의 어려운 점은 일반적으로 각 시간단계에서 비선형 대수 방정식을 풀어야 한다는 것이다. 비선형 initial value problem에서 선형화 기술을 이용하여 iterative 한 절차를 피할 수 있다. 일반 미분방정식과 TR을 고려해보자. f(yn+1, tn+1)에 대해 테일러 급수를 전개해보자 한편 (yn+1-yn)은 아래와 같으므로 위의 식에서 마지막 항 [1/2(yn+1-yn)2...]은 h2에 비례한다. 또한 가장 처음의 식(yn+1=...)에서 f(yn+1, tn+1)에 h/2를 곱했으므로 결국 h3에 비례한다. 이렇게 에러항의 차수와 같아지므로 이를 무시하더라도 accuracy는 변함이 없다. 따라서 이 공식(Linearized TR)은 iteration 없이 globally 2nd-order accuracy를 가진다. * Linear stability analysis (y'=λy) TR과 같이 absolutely stable 하다. (하지만
[수치해석] 3. Numerical Integration_Romberg integration and Richardson extrapolation [내부링크]
Richardson extrapolation : 정확한 해를 얻기 위해 둘 또는 그이상의 상대적으로 정확하지 않은 해를 결합하는 테크닉. Romberg integration : Integral method + Richardson extrapolation 이전 포스팅에서 확인했듯이 TR(Trapezoidal rule)은 다음과 같다. 이번에는 간격을 반으로 줄여서 h→h/2 TR을 적용하고 이를 I2라고 하자. h2을 제거하기 위해 식을 변형해보자 두개의 2nd order를 결합하여 4th order를 얻었다. 한번 더 반으로 줄여서 평가해보자.(h→h/4) 예제) 아래의 적분값과 Romberg integration을 통해 추정한 값을 비교해보자. 먼저 정확한 해와 h을 바꿔가며 TR을 적용했을 때의 값을 구해본다. 이제 Romberg integration을 적용해보자. 6th order에서 구한 값이 해와 정확히 일치하는 것을 확인할 수 있다. (에러는 h6 x fvi에 비례하는데,
[수치해석] 3. Numerical Integration_Adaptive quadrature [내부링크]
Adaptive quadrature는 함수를 정확하게 적분하기 위해 구간을 자동으로 조절하는 기법이다. 이 방법은 전체 구간을 여러 하위 구간으로 나누고 각 하위 구간에서 적분값을 추정한 뒤 정확도를 평가하여 정확도가 충분하지 않으면 해당 구간을 더 세분화하여 적분값을 다시 취하는 방법이다. 이 방법을 적용하면 함수가 급격히 변하는 부분은 더 작은 구간으로 나누어지고 함수가 완만히 변하는 부분은 큰 구간으로 구분되어 계산된다. 이를 통해 정확도는 높이고 computational cost는 줄이고자 하는 것이다. 먼저 허용에러를 ε으로 정의하자. 이것은 이렇게 표현될 수 있다. 여기서 I는 수치해석적 적분값(numerical intergration) 이다. Simpson's rule을 Base로 하여 이 에러가 어떻게 되는지 확인해보자. 먼저 주어진 구간 [xi, xi+1]을 2개로 분할[xi, xi+1/2, xi+1]하여 적분값을 추정해보자. (=Si) 4분할하여[xi, xi+1/4
[Python] Adaptive quadrature [내부링크]
파이썬을 이용하여 Adaptive quadrature 값을 계산해보고 구간이 어떻게 분할되는지를 확인해보자. 먼저 주어진 함수와 구간은 아래와 같다. 파이썬 코드를 짜보자. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import quad from sympy import symbols, exp, log # 전역 변수(프로그램 어디에서든 사용할 수 있는 변수)로 사용할 Nev 정의 : 적분 포인트 개수를 추적하는데 사용 Nev = 2 # Adaptive quardrature를 위한 함수 선언 : 입력값은 함수, 구간a, b, 허용 오차(1구간의 허용오차) def adaptint(f, a, b, Tol): global Nev # 주어진 구간내에서 적분을 수행하고 에러를 계산할 내부 함수 정의 def adaptive_quadrature(a, b, Tol): global Nev # 구간 및 2분할 지점 정의
[수치해석] 3. Numerical Integration_Gauss quadrature [내부링크]
Gauss quadrature는 주어진 함수에 대해 최적의 정확도를 가지는 적분 방법이다. (정확도의 기준은 정확하게 적분될 수 있는 최고 차수의 다항식) (TR은 직선을 정확하게 적분할 수 있고, SR은 3차식을 정확하게 적분할 수 있다.) (Gauss quadrature는 2n+1차의 다항식을 정확하게 적분할 수 있다. (n+1 points를 가지고)) 적분을 위와 같이 표현하게 된다면 (n+1)의 grid points와 (n+1)의 weights로 구성 되므로 총 (2n+2)의 조정가능한 매개변수를 가지게 된다. 가장 높은 accuracy를 위한 xi, wi를 선택해보자. 먼저, f를 (2n+1)차의 다항식이라고 하자. 그리고 f를 지나는 (n+1)의 point를 선정하자. (아직까지는 위치는 모른다.) [x0, f(x0)], [x1, f(x1)], …, [xn, f(xn)] n차의 라그랑주 다항식으로 interpolate를 해보면 여기서 f(x)-P(x)를 정의해보면 이 함수
[Python] Gauss guadrature [내부링크]
파이썬을 이용하여 Gauss quadrature 적분값을 계산해보고 오차를 확인해보겠다. 주어진 함수 및 적분구간은 아래와 같다. n = 5, 9 일때 Gauss-Legendre quadrature 적분값을 계산해보자. import numpy as np import scipy.integrate as spi # f(x) 정의 def f(x): return np.log(x) / x # Gauss quadrature 정의. 함수,구간,point 수 입력 def gauss_quadrature(f, a, b, n): nodes, weights = np.polynomial.legendre.leggauss(n) scaled_nodes = 0.5 * (b - a) * nodes + 0.5 * (a + b) result = np.sum(weights * f(scaled_nodes)) result *= 0.5 * (b - a) return result # 적분 구간 및 point 수 정의. a = 1
[수치해석] 4. Numerical solution of ODE_initial value problems [내부링크]
ODE(ordinary differentail equations)에 대한 Numerical solution을 공부해보자. 먼저 initial value problem과 boundary value problem의 차이를 알아보자. intial value problem은 한 점에서의 모든 조건이 주어진 것이다. boundaryl value problem은 하나 이상의 점에서 조건들이 주어진 것이다. 고차의 ODE는 일반적으로 1차 ODE의 시스템으로 변환될 수 있다. 따라서, 1차 ODE에 대해 고민해보자. 아래와 같은 1차 ODE가 있다. 모든 Numerical method의 목표는 0 ≦ t ≦ tn 의 해를 모두 알 때 t = tn+1 의 해를 얻는 것이다. (그렇다면, tn+2 를 얻을 수 있고 tn+3... 마지막 tf 까지의 해를 모두 얻을 수 있다.) tn+1 에 대해 테일러 급수를 전개해보자. 미분차수가 증가할 수록 항의 갯수가 급격하게 증가한다. 따라서 3차 이상의 항을
[복사열전달] Capacitance and resistance of a coaxial cable [내부링크]
Consider a coaxial cable with the center conductor of radius a and the coaxial conductor of radius b for a cylinder length of l ≫ b, which is filled with a dielectric permittivity ϵ and conductivity σ. (a) Calculate the capacitance between the inner and outer conductors. (b) Calculate the resistance between the center conductor and the coaxial conductor, using Ohm’s law J = σE (a) (b)
[복사열전달] Boundary condition for electric fields in parallel plate capacitors [내부링크]
Consider a parallel plate capacitor below; the plate separation d is filled with two layers of materials with dielectric constants of ϵ1 and ϵ2, electrical conductivity of σ1 and σ2, thickness of d1 and d2, respectively. The electrical potential V is supplied across the capacitor. Neglect edge effects. (a) Calculate the electric field magnitude in material (1) and (2). (b) Calculate the current density flowing through the capacitor using Ohm’law J = σE (c) Calculate the total surface charge dens
[복사열전달] Superposition plane waves [내부링크]
The electric field of an electromagnetic wave is the sum of Find E0 and θ. Phasor 합성을 하자.
[수치해석] 3. Numerical Integration_Trapezoidal and Simpson's rule [내부링크]
이제 적분을 수치해석적으로 진행해보자. 적분은 아래와 같이 계산되어야 한다. 이제 라그랑주 다항식 P(x)를 이용해보겠다. 따라서 이를 f(x)에 넣고 정리하면, 이때 식①을 Newton-Cotes formula, ②를 Cotes number라고 한다. n=1일 때 n=2일 때 위의 식들은 interval이 1일때의 식들이다. 전체 구간에 대한 적분식을 계산해보자. Trapezoidal ruel : Simpson's rule
[수치해석] 3. Numerical Integration_error analysis [내부링크]
Rectangle (Midpoint) rule 앞서 확인했던 적분 공식들의 정확도(accuracy)를 확인해보자. Trapezoidal 및 Simpson's rule의 정확도는 Rectangle (or Midpoint) rule에서 파생이 되므로 먼저 Rectangle (or midpoint) rule에 대한 적분 공식을 도출하겠다. 구간 [xi, xi+1]에 대해 고려해보자. 이제 테일러 급수를 통해 f(x)를 f(yi)의 식으로 변경해보자. 그리고 그식을 대입하여 적분해보면 여기서 짝수의 제곱항은 모두 0이 되므로 (yi가 xi, xi+1의 중점이므로 계산해보면 cancle 됨) leading error는 h의 3차 항이다. (3rd-order accurate for one interval) Trapezoidal rule 이제 Trapezoidal rule의 정확도를 확인해보자. 앞서 구했듯이 적분값은 아래와 같다. 이제 f(xi)와 f(xi+1)에 대해 테일러 급수를 전개하여
[수치해석] 3. Numerical Integration_Trapezoidal with end correction [내부링크]
End correction을 이용하여 Trapezoidal rule의 accuracy를 높이는 방법을 알아보자. 여기서 central difference를 통해 이를 위의 식에 대입하면 전체 domain에 대해 합하면 4th order accurate를 가진다. (End correction이 없을 때는 2nd 였다.) 즉, 양 끝점의 1차 미분값을 통해 TR의 정확도를 4차로 올릴 수 있었다.
[Python] Numerical method에 따른 Integration error 확인하기 [내부링크]
TR(Trapezoidal Rule), SR(Simpson's Rule), TC(Trapezoidal with end Correction) 세가지 방법의 에러를 확인하는 파이썬 코드를 만들어보자. 주어진 함수는 f(x)=exp(x) 이고 적분구간은 [0, 4]이다. 9Points로 분할해보자. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.integrate as spi #f(x)=exp(x) def f(x): return np.exp(x) def f_prime(x): return np.exp(x) # grid 선정 a = 0 b = 4 n = 8 h = (b - a) / n x = np.linspace(a, b, n+1) # 정적분 (numerical method와 에러 비교를 위해) result, error = spi.quad(f, a, b) # 각각의 Numerical method의 적분값 정의 def trape
[수치해석] 2. Numerical differentiation_유한 차분법(Finite Differences) [내부링크]
이제 이산 데이터의 수치 미분을 위한 유한 차분법에 대해 알아보자. xj에서의 도함수에 대한 근사치를 구하기 위해 테일러 급수를 사용한다. 데이터 사이의 간격이 h로 동일하다면 (uniform mesh spacing) 이것을 1st-order Foward Difference라고 한다. - 1st-order : order of accuracy가 1차 라는 의미. 에러(=θ(h))의 차수가 1차임 - xj의 미분을 구하기 위해 xj+1과 xj를 사용하였으므로 Forward difference라고 함 이번에는 xj-1과 xj를 이용하여 차분을 구해보자. 이것은 1st-order Backward Difference라고 한다. 더 높은 차수(더 정확한) 차분을 구하기위해 두 테일러 급수를 빼보자. 이것은 2nd-order Central Difference라고 한다. 계산에 사용되는 데이터를 늘리면 더 높은 차수의 차분을 얻을 수 있다. 예를 들어 주변 4점을 사용한다면 아래의 공식을 얻을 수
[수치해석] 2. Numerical differentiation_Construction of Finite Difference Schemes [내부링크]
주어진 점 j-1, j, j+1의 데이터를 통해 j점에서의 가장 정확한 1차 도함수와 order of accuracy를 찾는 방법에 대해 알아보자. j점의 1차 도함수는 아래와 같이 표현할 수 있다. 각 점의 앞의 계수는 테일러 급수의 조합을 통해 알아낼 수 있으므로 아래의 테일러 테이블을 작성해보도록 한다. 왼쪽은 결과 값이고 이는 테이블 안의 계수와 회색 셀의 도함수 값을 곱한 값의 합과 같다. 테일러 테이블 (Taylor Table) 이제 도함수를 테일러 테이블을 통해 표현해보면, 미지수가 3개 이므로 3개의 방정식이 필요하다. order of accuracy를 최소화 하기 위해 우변의 가장 좌측 3항의 계수가 모두 0이라고 하자. 이렇게 j, j+1, j+2 세 점의 데이터를 통해 구할 수 있는 가장 정확한 1차 도함수를 구해보았다. (2nd-order Forward Difference)
[Python] Accuracy of Finite Difference [내부링크]
파이썬을 이용하여 유한 차분(Finite Difference)의 정확도를 확인하는 코드를 작성해보자. 주어진 함수는 다음과 같다. 정확도를 확인하는 차분은 각각 1st order FD, 2nd order CD, 4th order CD로 하자. (유한 차분법에 대해서는 아래 포스팅을 참조) https://blog.naver.com/jinyjoo_/223249535632 [수치해석] 유한 차분법 (Finite Differences) 이제 이산 데이터의 수치 미분을 위한 유한 차분법에 대해 알아보자. xj에서의 도함수에 대한 근사치를 구... blog.naver.com 코드를 짜보면 아래와 같다. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # f(x) = np.sin(x) / x**3 # 정확한 도함수 계산 def exact_derivative(x): return (np.cos(x) / x**3) - (3 * np.sin(x) / x**4)
[Python] 연립방정식 풀기 [내부링크]
연립방정식을 파이썬을 이용해서 풀어보자. Pade apporoximation을 통해 f'j를 구하기 위해 아래의 테일러 테이블의 방정식을 풀어야 했다. 테일러 테이블 for Pade approximation 연립방정식은 아래와 같다. 코드를 짜보면, from sympy import symbols, Eq, solve # Pade scheme # 미지수 정의 a0, a1, b0, b1, b2, h = symbols('a0 a1 b0 b1 b2 h') # 연립방정식 정의 eq1 = Eq(b0 + b1 + b2, 0) eq2 = Eq(1 + a0 + a1 + b0*(-1*h) + b2*(h), 0) eq3 = Eq(a0*(-1*h) + a1*h + (1/2)*b0*(-1*h)**2 + (1/2)*b2*(h)**2 , 0) eq4 = Eq((1/2)*a0*(-1*h)**2 + (1/2)*a1*(h)**2 + (1/6)*b0*(-1*h)**3 + (1/6)*b2*(h)**3, 0) eq5 =
[수치해석] 2. Numerical differentiation_Pade approximations [내부링크]
이전 포스팅에서 주어진 데이터를 가지고 가장 정확한 1차 도함수의 값을 찾아보았다. https://blog.naver.com/jinyjoo_/223249607879 [수치해석] Construction of Finite Difference Schemes 주어진 점 j-1, j, j+1의 데이터를 통해 가장 정확한 j점에서의 도함수와 order of accuracy를 찾는 방법에... blog.naver.com 이번에는 주어진 데이터에서의 1차 도함수까지 사용해서 해당 지점에서의 1차 도함수 값을 찾아 보겠다. j, j+1, j-1의 데이터를 사용해보자. 식으로 표현하면 다음과 같다. 테일러 테이블을 이용하여 계수를 찾아보도록 하자. 풀어서 써보면, 미지수가 5개이므로 다섯개의 항이 모두 0이 되도록 만들어 보자. 미지수를 구해보면 (연립 방정식을 푸는 방법은 아래 포스팅을 참조) https://blog.naver.com/jinyjoo_/223250214355 [Python] 연립방정식
[복사열전달] Boundary conditinos of polarizations [내부링크]
Determine the boundary conditions for the tangential and the normal components of P at an interface between two perfect dielectric media with dielectric constants ϵr1 and ϵr2. 전기장 E를 normal / tangentail 성분으로 각각 분해하여 Boundary condition을 고려하면 이를 각각 P에 대해 정리하면 아래와 같다.
[Python] Pade approximation과 exact solution 비교 [내부링크]
수치해석에서 Pade approximation을 구해보았다. (상세한 내용은 아래 포스팅 참조) https://blog.naver.com/jinyjoo_/223250249272 [수치해석] Pade approximations 이전 포스팅에서 주어진 데이터를 가지고 가장 정확한 1차 도함수의 값을 찾는 것을 했다. https://blog.na... blog.naver.com 여기서 구한 행렬값을 푸는 파이썬 코드를 만들고 정확한 해와 비교해보자. 행렬은 아래와 같다. 함수 f(x) = sin(5x)에 대해 해와 Pade approx.를 플로팅해보겠다. 범위는 0~3, 구간 수는 15로 하자. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 함수 정의 def f(x): return np.sin(5*x) # exact solution 정의 def exact_sol(x): return 5 * np.cos(5*x) # 구간 / interval 정
[열공학] 열교환기와 대수 온도차 (LMTD temperature difference) [내부링크]
열교환기의 열교환량 Q=UAΔT로 표현할 수 있다. 열교환기에 흐르는 유체의 입/출구 온도와 전열면적, 총합 열전달계수를 모두 아는 경우에 열교환량을 구하는 방법을 알아보자. 먼저 평행류 열교환기의 경우를 살펴보자. 평행류 열교환기에서의 온도 분포 위의 그림에서 정의되는 ΔT는 아래와 같다. 미소 열교환량 dq를 정의해보면 아래와 같다. (hot fluid로 정의했을 때 dTh가 음수이므로 마이너스 부호를 붙여야 한다.) 이를 정리해보자. 양변을 적분하면 한편, Ch와 Cc를 전체 열교환량과 온도차로 정리해보면 대항류 열교환기의 경우는 q에 관한 공식은 같으나 LMTD를 구하는 방법이 다르다. 대항류 열교환기의 온도 분포
[열공학] Heat exchanger e-NTU method [내부링크]
e-NTU (effectiveness number of transfer unit) method는 LMTD를 구할수 있을만큼 정보가 충분하지 않을 경우 사용되는 방법이다. 대항류 열교환기에서의 e-NTU method를 정의해보자. 먼저 아래와 같이 몇가지 변수를 정의한다. The heat exchanger effectiveness : ε 2. Number of heat transfer unit : NTU 3. Capacity rate ratio : Cr 여기에서 qMax와 Cr은 아래와 같다. qMax는 열교환기에서 최대한으로 할 수 있는 열교환량이다. (=열교환기의 길이가 무한할 때) 이론적으로 가능한 최대한의 열교환량은 다음 두가지중의 하나이다. hot fluid의 출구온도가 cold fluid의 입구온와 같아지거나 (Ch < Cc 인 경우) coldt fluid의 출구온도가 hot fluid의 입구온와 같아지거나 (Cc < Ch 인 경우) Ch < Cc 인 경우는 hot flui
[열공학] 교축 과정(Throttling)과 쥴-톰슨 계수(Joule-Thomson coefficient) [내부링크]
1. 교축 과정이란 언제 일어나는가? 흐르는 유체가 어떤 저항(밸브나 캐필러리 같은)을 만났을 때 압력이 떨어지는 과정. 교축과정중에 온도가 떨어지는 물질을 냉매로 쓴다면 냉동사이클을 구성할 수 있다. (교축과정중에 낮아진 온도를 통해 주위의 열을 흡수 시킴으로써 냉동 가능) 이 과정은 등엔탈피과정인데 이유는 아래와 같다. Open system의 에너지 보존 법칙에 의해 아래의 등식이 성립한다. 이때 열전달이 없고(Q=0), 축일이 없고(Ws=0) 위치 에너지가 변하지 않고 운동에너지의 변화를 무시한다면 입/출구의 엔탈피가 같다. 2. 쥴-톰슨 계수 위와 같은 교축과정 중에 일어나는 온도변화를 정량화 한 계수를 쥴-톰슨 계수라고 하며 아래와 같이 표현한다. 쥴-톰슨 계수가 0보다 크고 (압력이 감소할 때 온도가 낮아진다) 단열 팽창이라면 과정중에 유체의 온도가 낮아지고 이를 통해 냉동을 할 수 있다. 쥴-톰슨 계수는 다음과 같이 표현할 수도 있다. 그리고 h의 정의와 맥스웰 rela
[수치해석] 1. Interpolation_Cubic Spline Interpolation [내부링크]
Cubic spline interpolation은 주어진 데이터 포인트 두 점의 사이를 분할된 3차 함수로 통과하도록 만드는 보간 방법이다. gi(x)를 (xi,yi)와 (xi+1,yi+1)을 통과하는 3차 함수라고 하자. gi(x)는 아래와 같이 표현할 수 있다. 인접한 interval에서 1차, 2차 도함수를 같도록 하면 g가 구분적으로 3차 함수 이므로 g''은 구분적으로 1차 함수(piecewise linear)이다. 따라서 g''는 이를 두번 적분하고 적분상수를 각각 C1, C2라 하면 초기 조건을 대입하여 적분상수를 구하면 인접한 interval에서 1차 도함수가 같으므로 (n-1)의 equation이 있지만, 미지수는 (n+1)개 이다. (g''(x0), g''(x1),···,g''(xn)) 따라서 g''(x0)과 g''(xn)를 어떻게 정하느냐에 따라(=end condition) interpolation의 형태가 달라진다. 1) Natural spline : 가장 일반
[Python] Cubic Spline Interpolation [내부링크]
Cubic Spline Interpolation에 대한 내용은 아래 글을 참조하도록 하자. https://blog.naver.com/jinyjoo_/223248462211 [수치해석] Cubic Spline Interpolation Cubic spline interpolation은 주어진 데이터 포인트 두 점의 사이를 분할된 3차함수로 통과하도록 만드는... blog.naver.com 파이썬을 이용해서 Cubic spline을 코딩해보겠다. 주어진 data는 아래와 같다. (Lagrange Interpolation에서 사용했던 Data 이다.) xi -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yi 0.03 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03 코드는 아래와 같다. import numpy as np from scipy.interpolate import CubicSpline import matplotlib.
[열역학] 열역학 법칙 [내부링크]
열역학 법칙은 다양한 방법으로 표현이 가능하다. 0법칙 : 열평형(온도의 정의) 온도가 다른 두 물체를 접촉시키면 온도차가 없어져서 열평형상태에 도달한다. (접촉된 두 물체가 열 평형상태일 때, 열의 이동은 없다.) 온도는 계의 상태나 크기등에 무관한 절대적인 척도가 될 수 있는 열역학적인 개념이다. 1법칙 : 에너지 보존(에너지의 정의) 열과 에너지는 서로 전환이 가능하고 일정한 비례관계가 성립한다. 고립계의 에너지의 형태는 바뀔 수 있지만 총합은 일정하다. 여기서 Q : 열 / U : 내부 에너지 / W : 일을 나타낸다. 2법칙 : 과정의 방향성(엔트로피의 정의) 고립계의 엔트로피는 증가한다. 열은 스스로 저온에서 고온으로 흐르지 않는다. 3법칙 : 절대 엔트로피(엔트로피의 수치 부여) 절대온도 0K에서 엔트로피는 상수가 된다. 어떠한 이상적인 방법으로도 어떤 계를 절대온도 0K에 이르게 할 수 없다.
[열공학] 증기 압축 사이클(Vapor compression cycle) [내부링크]
이전에 살펴본 카르노 냉동 사이클을 현실에 적용하기 위해 revise 해보자. 먼저 액압축에 의한 문제를 해결해야 한다. 액 압축(Wet compression)의 문제점 - 액 냉매가 상승하는 피스톤에 의해 실린더 헤드에 갇혀 밸브 또는 실린더 헤드가 손상될 수 있다. - 고속 컴프레서는 열 전달에 사용할 수 있는 시간이 짧기 때문에 액체에 의한 손상에 취약하다. - 액 냉매가 실린더 벽에서 윤활유를 씻어내어 마모를 가속화할 수 있다. 이러한 문제를 개선하기 위해 액체가 포함되지 않은 포화 증기로 압축을 하자. (dry compression) 팽창장치에 터빈이 아닌 Throttling device를 적용하자. (팽창 밸브 등) → 에너지 변화 및 heat loss가 없으므로 등엔탈피(isenthalpic) 과정이 된다. → 비가역 과정이므로 엔트로피는 증가한다. 변경된 사이클은 아래와 같다. 1 → 2 (압축) : 가역, 단열 압축 2 → 3 (응축) : 가역 방열 3 → 4 (팽창
[열공학] 압축 과정에 따른 압축기일(Compressor work) [내부링크]
압축기 일 압축기 일이란? 전체 stroke동안 압축기가 작동 유체에 한 일이다. 등온 압축 등온 과정이므로 온도가 일정하다. 따라서 아래의 등식이 성립하며, 압축기일은 다음과 같다. 등엔트로피 압축 등엔트로피 압축은 가역,단열 과정이다. 이를 PV에 대한 식으로 정리를 해보자. 먼저 열역학 1법칙에 의해 또한 엔탈피를 정리해보면, 그리고 내부에너지와 엔탈피의 변화를 정적비열과 정압비열을 이용하여 표현하고 정압비열과 정적비열의 비를 이용하여 식을 정리하면 다음의 결과를 얻는다. 이제 압축일을 계산해보자. 폴리트로픽 압축 실제로 압축기의 경우 완전한 등엔트로피 압축은 불가능하며, 이를 폴리트로픽 압축이라고 한다. 폴리트로픽 압축의 경우, 위의 등엔트로피 압축에서 사용한 k 대신에 n을 넣으면 된다.
[열공학] 왕복동식 압축기(Reciprocating compressor)의 체적 효율 [내부링크]
왕복동식 압축기 - Clearance volume(Vd) : 피스톤이 상사점에 도달했을 때 최상단과의 틈 때문에 만들어지는 체적 - Re-expansion loss(Va-Vd) : 흡입 행정 중 빠져나가지 못한(Vd) 부피의 기체가 팽창하며, 이로 인해 감소되는 압축기의 흡입 부피 이를 고려한다면, 체적 효율은 아래와 같다. d→a 과정은 폴리트로픽 과정이므로, 체적 효율을 정리하면 아래와 같다. 냉매의 유량은 체적효율에 행정체적과 회전수를 곱하고 비체적으로 나눠주면 된다. Vp : 행정체적 [m3] Nc : 압축기 회전수 [s-1] 흡입밸브나 토출밸브 측의 압력손실이 없다고 가정하면, Pa=Pb=P1, Pc=Pd=P2로 볼 수 있겠다.
[Python] LU 분해 (LU decomposition) [내부링크]
LU decomposition 이란 어떠한 행렬을 하삼각행렬 L과 상삼각행렬 U의 곱으로 표현해 주는 것이다. - 하삼각행렬 : 주대각을 기준으로 대각 성분의 아랫쪽 항들의 값이 모두 0인 행렬 - 상삼각행렬 : 주대각을 기준으로 대각 성분의 윗쪽 항들의 값이 모두 0인 행렬 이후 L 행렬의 역행렬을 곱해주면 가장 아래 행부터 미지수를 구해나갈 수 있다. (상세한 내용은 아래 링크 참조) [수치해석] LU 분해 (LU decomposition) 한 행에 상수를 곱하고 다른 행에 빼는 연산(Gauss-Jordan elimination)은 행렬의 곱셈으로도 수행할 수 ... blog.naver.com 임의의 행렬 A를 아래와 같이 정의해 보자. 이를 LU decomposition 하는 파이썬 코드를 작성해 보자. import numpy as np # 행렬 A를 인수로 받아 L, U 행렬을 반환하는 함수 정의 def lu_decomposition(A): n = len(A) L = np.z
[대학원 준비] 합격자 발표 및 기숙사 입주 [내부링크]
면접을 마치고 약 5주 뒤에 합격자 발표가 난다. `24년 전기 모집 합격자 발표일 (출처 : https://admission.snu.ac.kr/graduate/general/spring/guide) 발표 시간은 18시 이후라고 되어 있으나 약 30분 정도 일찍 발표가 되었었다. 이후, 예정된 주에 (전기 모집의 경우 2월) 등록금을 납부하여 등록하면 입학이 완료된다. 합격이후에는 연구실에서 연락이 오는데 나는 회사를 다니고 있어서 3월에 학교로 올라갔다. (연구실마다 케이스가 다를 수 있겠다.) 그리고 기숙사 입주를 위해 지원을 하였다. 기숙사 입주 공지 및 정보 등은 아래에서 확인할 수 있다. https://snudorm.snu.ac.kr/ 관악학생생활관 - 관악학생생활관 생활관 NOW 입사 및 퇴사신청 체력 단련 센터 상담센터 시설이용신청 및 조회 민원/수리접수 주요 시설 연락처 자주묻는질문 LifeStoryCommunication Previous Next 생활관 NOW 더보기
[열공학] 카르노 냉동 사이클 (Carnot Refrigeration Cycle) [내부링크]
1. 카르노 냉동 사이클의 과정 카르노 냉동 사이클 (역 카르노 사이클) 1 → 2 : 단열 압축 (Adiabatic Compression) 2 → 3 : 등온 방열 (Isothermal Rejection Of Heat) 3 → 4 : 단열 팽창 (Adiabatic Expansion) 4 → 1 : 등온 흡열 (Isothermal Addition Of Heat) 2. 성능계수(COP) 성능계수는 Coefficient of Performance의 약자인 COP로 표현한다. 냉동 사이클의 COP는 효율성과 동일한 개념으로 아래의 식으로 표현할 수 있다. 이는 사이클의 온도로 표현이 가능하다. (흡수하거나 방출한 열량은 온도와 엔트로피로 표현할 수 있기 때문에) T2가 작아지면 COP는 높아진다. T1이 커지면 COP는 높아진다. (T2보다 T1이 COP에 미치는 영향이 큰데, 이는 T1이 커지면 COP의 분모는 줄이고 분자는 늘어나는 형태로 작용하기 때문이다.) 그렇다면, T1이 T2와
[복사열전달] Electric field and charge [내부링크]
A static charge distribution produces a radial electric field where A and b are constants. (a) Determine the charge density ρ. (b) Determine the total charge Q. (a) vector 계산식을 활용하자. 먼저 전하와 전기장의 관계식을 쓰면, 이를 정리하면, 디렉텔타 함수δ(r) 앞의 exponential term은 없어진다. (r이 1일 때 exponential term과 디렉델타 함수가 동시에 1이고, r이 1이 아닐때는 디렉델타 함수에 의해 exponential term과 무관하게 무조건 0이 되므로) (b) 전체 전하를 구하기 위해서는 (a)에서 구한 전하밀도를 적분하면 된다.
[대학원준비] 대학원 선택 및 영어준비 [내부링크]
대학원 진학을 준비하시는 분들께 도움이 되기를 빌며, 입학 때 준비했던 내용들을 포스팅 해보려고 한다. 1. 대학원 진학 결정 / 입학 요건 박사 학위 취득을 위해 대학원에 진학을 결정한 것은 4월쯤이었던 것 같다. 나는 현재 회사를 다니고 있는데(비수도권), 학위 파견이라는 좋은 기회를 받게 된 것이다. 업무와의 연속성과 평소에 하고 싶었던 연부, 가족과의 생활등을 고려해서 서울대학교 기계공학과에 지원하기로 결정했다. 대학원의 경우 1년에 전기/후기 모집으로 2번 모집을 하며, 전기의 경우 3월, 후기의 경우 9월에는 공지가 나간다. (링크 참조) https://admission.snu.ac.kr/graduate/general/notice 공지사항 - 일반대학원 - 대학원 - 입학 - 서울대학교 입학본부 admission.snu.ac.kr 기계 공학과의 입학 요건을 살펴보니 다음과 같았다. 서울대 기계공학과 전형 안내 (출처 : https://me.snu.ac.kr/ko/gradu
[대학원준비] 면접 및 구술고사 [내부링크]
진학 관련 서류를 작성해서 제출을 완료하면, 불과 몇주뒤에 면접을 보게 된다. 공과대학의 경우 협동과정 인공지능 전공을 제외한 모집 단위에서 면접 및 구술고사, 서류심사 성적을 합산하여 총점순으로 합격자를 선발하였다. 즉, 지원하면 일단 면접까지 바로 간다. 기계공학과의 면접 및 구술고사에 대한 전형방법의 안내는 아래와 같다. 면접 및 구술고사 (출처 : https://me.snu.ac.kr/ko/graduate_me) 일단 이것을 보고 준비를 했는데.. 나는 이렇게 생각했다. '박사의 경우 석사/석박사 통합과 달리 심화 질문에 대한 언급이 없으니 전공 관련 질문을 안하나 본데?' (본인의 경우 학부를 졸업하고 일을 시작한지 오래 되어 역학에 대한 기억이 가물가물하다..) 그리고 이곳저곳에서 서울대 면접 후기를 찾아보았는데 박사의 경우 면접 시 전공 관련 질문을 하지 않고 진학을 하게 된 이유와 목적, 어떤 연구를 하고 싶은지, 그 연구를 통해 사회에 어떤 기여를 하고 싶은지 이런
[복사열전달] Electrostatic quadrupole [내부링크]
Consider three charges (+q, −2q, and +q) are arranged along the z-axis at z=d/2, z=0 and z=-d/2 respectively. Determine V at an arbitrary distant point P(R,θ, ϕ) 점전하로 부터 R만큼 떨어진 위치의 전위는 아래의 식으로 표현할 수 있다. 주어진 위치(z=d/2, z=0 and z=-d/2 )의 각각의 점전하를 q1, q2, q3이라고 하자. 이에 의해 생기는 전위는 아래와 같다. z=0에서의 거리를 R이라고 하고(R2 = R), R과 z축의 각도를 θ라고 하면, (아래 그림 참조) R1과 R3의 크기는 다음과 같다. 점전하와 임의의 점과의 거리 이제 테일러 급수를 통해 위의 식들을 근사해보자. d는 R보다 매우 작으므로, 3차항 이상은 무시하여 근사하겠다. 같은 방법으로 R3에 대한 식을 구한다. 처음의 식에 대입을 하면
[복사열전달] Ampere’s circuital law [내부링크]
A magnet is shown in Figure below. The relative permeability of the soft Fe yoke is 3000. If a current I = 1 A is to produce a field of about 100 gauss in the gap, how many turns are required? Constraints: consider a closed path whose horizontal length and height get comparable to those of the magnet. Ampere’s circuital law에 따르면 마그넷 내부의 H : B / (μr x μ0) 마그넷 외부의 H : B / μ0 자석을 둘러싸도록 폐곡선을 정의하고 이를 선적분 한다.
[Python] 냉매 물성치 확인 [내부링크]
Python에서 냉매 물성치를 확인하기 위해서는 CoolProp이라는 라이브러리를 설치해야한다. 설치를 위해서 아래와 같이 입력해준다. pip install coolprop CoolProp의 물성 DB는 아래의 링크를 통해 확인할 수 있다. (각각 Pure / Mixture Fluid) http://www.coolprop.org/fluid_properties/PurePseudoPure.html Pure and Pseudo-Pure fluid properties — CoolProp 6.5.0 documentation Pure and Pseudo-Pure fluid properties Contents Pure and Pseudo-Pure fluid properties Introduction Thermodynamic properties of Fluid List of Fluids Ideal Curves Introduction Nearly all the fluids modeling in Co
[복사열전달] Radiation from light bulb [내부링크]
The incandescent light bulb is an object in which a thin metallic wire (filament) is surrounded by a transparent glass. Once the filament gets electrically heated, the visible light can be generated and emitted to the surroundings. Consider an incandescent light bulb with a filament (surface area: 10−5 m2 , emissivity: 1), and assume 150 W of electrical power is supplied and consumed by the filament. (a) Consider the filament as a blackbody, what is the corresponding temperature of the filament?
[복사열전달] Spectral emission and absorption [내부링크]
A black sphere of very high conductivity (isothermal) is orbiting earth. (a) What is its temperature? (Consider the sun but neglect radiation from the earth and the stars). (b) What would be the temperature of the sphere if it were coated with a material that behaves like a black body for wavelengths between 0.4 µm and 3 µm, but does not absorb and emit at other wavelengths? (a) 열평형상태에서는 방출되는 에너지와 흡수하는 에너지가 같다. 방출되는 에너지를 Qe, 흡수되는 에너지를 Qa라 하면, 여기서 Qe에는 지구의 표면적을, Qa에는 지구의 단면적(투영면적)을 적용하는 것에 유의한다.
[수치해석] Lagrange Polynomial Interpolation [내부링크]
n+1개의 데이터 포인트(간격이 반드시 균일할 필요는 없음)가 있다고 생각해 보자. x = (x0, x1, … , xn) y = (y0, y1, … , yn) 이 데이터를 통과하는 n차의 다항식이 아래와 같다. 이 방정식의 계수(a0 ~ an)를 모두 찾는 것보다는 다른 방법을 생각해보기로 한다. 각 점 xj와 관련된, n차의 다항식을 아래와 같이 정의해 보자. (각각의 점마다의 Lj(x)가 있다고 생각을 하자.) x가 xj 아니라면(x=x0 or x1 ...) 모두 0이고, x가 xj와 같다면 Lj(xj)는 다음과 같다. αj를 아래와 같이 정의한다면, Lj는 x가 xj가 아니라면 0, 그외의 경우는 1이되는 중요한 특성을 가지게 된다. 다음으로 데이터를 가중치로 하는 이러한 다항식의 선형 조합 P(x)를 만들어보자. (이것을 라그랑주 다항식, Lagrange polynomial 이라고 한다.) x = xj 일 때, xj를 제외한 x0, x1, …, xj-1, xj+1, …, xn
[Python] Lagrange Interpolation [내부링크]
파이썬을 이용하여 Lagrange Interpolation을 실행하는 코드를 만들어 보자. (Lagrange Interpolation에 대한 내용은 아래 링크를 참조) [수치해석] Lagrange Polynomial Interpolation n+1개의 데이터 포인트가 있다고 생각해 보자. x = (x0, x1, … , xn) y = (y0, y1, … , yn) ... blog.naver.com 주어진 Data는 아래와 같다. xi -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yi 0.03 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03 코드는 아래와 같다. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Lagrange interpolation 정의 def lagrange_interpolation(x, x_data, y_data): n = len(x_data) result
[복사열전달] Blackbody distribution [내부링크]
Consider a blackbody distribution (a) Use eq. under long wavelength limit, derive Rayleigh-Jeans approximation. (b) Use eq. under short wavelength limit, derive Wien’s approximation. (a) 파장이 긴 경우는 아래와 같다. 테일러 급수에 의하면 주어진 분포의 exponential term은 아래와 같이 정리할 수 있으며, 고차항인 2차 이상은 무시 가능하다. (1차항도 1보다 매우 작으므로) 이를 바탕으로 주어진 식을 정리하면, (b) 파장이 짧은 경우는 아래와 같다. 이를 주어진 분포에 대입하면
[복사열전달] Internal heat generation [내부링크]
Assuming earth to be a black sphere with a surface temperature of 300 K, what must earth’s internal heat generation be in order to maintain that temperature (neglect radiation from the stars, but not the sun) (note: radius of the earth RE = 6.37 × 106 m, solar constant: 1367 Wm−2 ). 지구가 흡수하는 열을 Qa, 방출하는 열을 Qe, 만들어내는 열을 Qg라고 하자. 지구는 300K에서 열평형 상태이므로 Qa - Qe + Qg = 0 (방출이므로 마이너스 부호를 씌운다!) 먼저 흡수한 열량은, 태양에서 보내준 것만을 흡수하므로 Qa = 지구의 단면적 (projection area) x solar constant Qa = Ap x qsol = π · RE2 · qsol
[수치해석] LU 분해 (LU decomposition) [내부링크]
한 행에 상수를 곱하고 다른 행에 빼는 연산(Gauss-Jordan elimination)은 행렬의 곱셈으로도 수행할 수 있다. 이를 이용하여, 어떠한 행렬을 상삼각행렬과 하삼각행렬로 분리할 수 있다. (LU decomposition) 아래와 같이 행렬 A를 정의하자. 첫 번째 행에(-a21/a11)을 곱하고 두 번째 행에 더해주는 연산을 하는 행렬은 아래와 같다. 첫 번째 행에(-a31/a11)을 곱하고 세 번째 행에 더해주는 연산을 하는 행렬은 아래와 같다. 이렇게 첫 번째 열의 하삼각 성분을 제거하였다. 같은 방법으로 두 번째 열의 하삼각 성분을 제거하면, 상삼각행렬 U를 구할 수 있다. 여기에, E32, E31, E21의 역행렬을 곱해준다면 하삼각행렬 L도 구할 수 있다. 예제)
[수학] 테일러 급수 (테일러 시리즈) [내부링크]
테일러 급수란? 함수 y = f(x) 가 x= a 에서 한없이 미분가능한 경우, 테일러 다항식을 차수에 무관하게 계속해서 구할 수 있다. 따라서 다음과 같은 무한급수를 얻는데, 이를 x = a에서 y = f(x)의 테일러 급수라고 한다. 대한수학회 수학 백과 테일러 급수의 증명 a에서 한없이 미분 가능한 함수 f(x)는 x에 관한 무한한 차수의 다항식으로 아래와 같이 나타낼 수 있다. 식①에 x에 a를 대입하면 식①을 미분하고 x에 a를 대입하면 위의 식을 미분하고 x에 a를 대입하면 미분하고 x에 a를 대입하는 것을 반복하면 an 까지 구할 수 있고 이를 다시 쓰면, 대표적인 테일러 급수 테일러 급수를 이용하여 많이 활용되는 근사법은 아래와 같다.
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